ch 广义变分原理

第2章广义变分原理第2节泛函及其变换格式第3节含可选参数的广义变分原理第1节虚力原理与最小余能原理第4节第5节第6节弹性力学基本方程一、平衡方程二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、边界条件(应力,位移)位移应力弹性力学基本方程—矩阵表示位移列阵体积力列阵应力列阵应变列阵表面外法线方向余弦矩阵微分算子列阵表面力列阵已知位移列阵二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、应力边界条件一、平衡方程位移边界条件虚位移原理

弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条件的虚位移，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。总虚变形功：对于平面问题：虚位移原理总外力虚功：最小势能原理在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。总势能：即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。最小势能原理形变势能：外力势能：形变势能变分:外力势能变分:即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。

广义变分原理第1节虚力原理与最小余能原理广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理。一、虚力原理给定位移状态协调的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立：二、最小余能原理变形体的总余能：在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充分必要条件是，变形体的总余能取驻值——最小余能原理。虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。第1节虚力原理证明（续1）一、必要性证明已知位移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。二、充分性证明已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调第1节虚力原理证明（续2）根据格林公式，可得第1节虚力原理证明（续3）第2节泛函及其变换格式一、概述1、变量的分类——泛函变量、增广变量泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函变量2、泛函所满足条件的分类——强制条件、自然条件、增广条件泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的增广变量3、两泛函间关系的分类——广义等价、等价、互等泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为强制条件由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为自然条件泛函中泛函变量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为增广条件两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函广义等价若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函等价若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为互等4、泛函的变换格式——放松格式、增广格式、等价格式有一个泛函变成另一个泛函有3种常用的格式：放松格式、增广格式、等价格式。第2节泛函函及其变换换格式（续续1）二、放松格格式——拉拉氏乘子法法余能原理的的数学表示示：强制条件为为：利用拉氏乘乘子将强制制条件吸收收到泛函中中的泛函变变换，即为为放松格式式。第2节泛函函及其变换换格式（续续2）三、增广格格式——高高阶拉氏乘乘子法二类变量的的广义余能能原理（Hellinger-Ressner原理）：：将增广条件构构造二次型型引入少变量量无条件泛泛函，从而而获得多变变量无条件件泛函的泛泛函变换，，即为增广格式。第2节泛函函及其变换换格式（续续3）三、等价格格式利用自然条件构造二次型型。将无条件泛泛函变为含含可选参数数的无条件件泛函，即即为等价格式变换。第3节