第二章23简单线性回归模型统计检验

第二章23简单线性回归模型统计检验第一页，共53页。

1、拟合优度检验

拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。

度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）R2

问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？第二页，共53页。2、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下样本回归直线

第三页，共53页。如果Yi=Ŷi即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。可以认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。第四页，共53页。

对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和,可以证明：记总体平方和（TotalSumofSquares）回归平方和（ExplainedSumofSquares）残差平方和（ResidualSumofSquares）第五页，共53页。TSS=ESS+RSS

Y的观测值围绕其均值的总离差(totalvariation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机势力(RSS)。在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此

拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差TSS第六页，共53页。3、可决系数R2统计量

称R2为（样本）可决系数/判定系数（coefficientofdetermination)。

可决系数的取值范围：[0，1]R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高，模型的解释程度越高。第七页，共53页。在例2.2收入-消费支出例中，

注：可决系数是一个非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。

第八页，共53页。

第四节回归系数的区间估计和假设检验一、OLS估计的分布性质二、回归系数的区间估计三、回归系数的假设检验第九页，共53页。是关于样本观测值Yi的线性函数因为是关于Y的线性函数，而Y是关于随机扰动项ui的线性函数，所以也是ui的线性函数，且服从正态分布

一、OLS估计的分布性质第十页，共53页。第十一页，共53页。第十二页，共53页。（2）在小样本情况下，若用无偏估计代替去估计标准误差，则进行标准变化的统计量不再服从正态分布，而是服从自由度为n-2的t分布第十三页，共53页。

假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。

二、回归系数的区间估计第十四页，共53页。如果存在这样一个区间，称之为置信区间（confidenceinterval）；

1-称为置信系数（置信度）（confidencecoefficient），

称为显著性水平（levelofsignificance）；置信区间的端点称为置信限（confidencelimit）或临界值（criticalvalues）。第十五页，共53页。t分布假如接受域拒绝域拒绝域0第十六页，共53页。举例：一元线性模型中，i(i=1，2）的置信区间:在变量的显著性检验中已经知道：

意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示为：

即第十七页，共53页。于是得到:(1-)的置信度下,i的置信区间是

在上述收入-消费支出例中，如果给定=0.05，查表得：

由于于是，1、2的置信区间分别为：（175.40，528.59)

（0.4803，0.5797)

第十八页，共53页。XiYi第十九页，共53页。

得，在显著性水平下，临界值为，则的估计区间是

回归系数的区间估计：3种情况（1）的方差已知，与的区间估计。由第二十页，共53页。(2)的方差未知，大样本下与的区间估计在大样本下，用代替，仍可利用正态分布作区间估计，此时的区间估计分别为：

第二十一页，共53页。(3)的方差未知，在小样本下，与的区间估计。在小样本下：

在显著性水平下，临界值为，则的区间估计分别为：

第二十二页，共53页。三、回归系数的假设检验

回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。

变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。

计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。

第二十三页，共53页。1、什么是假设检验

所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。

先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，利用适当的符合某种概率分布的统计量和给定的显著性水平，构造一个小概率事件，如果小概率事件发生，说明原假设不正确，就拒绝原假设。第二十四页，共53页。总体假设检验的过程

（提出假设→抽取样本→作出决策）抽取随机样本均值

X=20我认为人口的平均年龄是50岁提出假设拒绝假设!别无选择.作出决策第二十五页，共53页。2、变量的显著性检验：t检验为了解释回归模型中解释变量对被解释变量是否有显著影响，在计量检验中通常把回归系数作为原假设，检验原假设是否成立。第二十六页，共53页。

检验步骤：

（1）对总体参数提出假设H0：1=0，H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值（3）给定显著性水平，查t分布表，得临界值t/2(n-2)（4）比较，判断若|t|>t/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1；若|t|

t/2(n-2)，则拒绝H1，接受H0；第二十七页，共53页。t分布0接受原假设H0拒绝原假设H0假如接受域拒绝域拒绝域临界点临界点小概率事件小概率事件第二十八页，共53页。第二十九页，共53页。举例：对于回归方程中的1，可构造如下t统计量进行显著性检验：在上述例2收入-消费支出例中，首先计算2的估计值

第三十页，共53页。t统计量的计算结果分别为：

给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，就拒绝原假设，说明家庭可支配收入对消费支出的影响确实是显著的；

|t2|>2.306,表明在95%的置信度下，拒绝截距项为零（H0：2=0）的原假设

第三十一页，共53页。t统计量25.52>临界值2.306，就拒绝原假设,说明家庭消费支出对家庭可支配收入的回归系数是显著的

tt0.05/2=2.3063.16t0.01/2=3.25P(t>2.306)=0.0000第三十二页，共53页。第三十三页，共53页。案例分析:中国城市居民消费支出第三十四页，共53页。第三十五页，共53页。第五节回归模型预测

第三十六页，共53页。第五节回归模型预测1、对Y0平均值的点预测总体回归函数当人均收入Xi=8000时，人均消费第三十七页，共53页。2、对Y0平均值预测的置信区间

由于

于是回归分析表解释：其中于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0)的置信区间为

第三十八页，共53页。3、对Y0总体个值的预测区间

由Y0=0+1X0+知:

于是

式中:从而在1-的置信度下，Y0的置信区间为

第三十九页，共53页。在收入-消费支出例中，得到的样本回归函数为

则在X0=1000处，Ŷ0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为：673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

第四十页，共53页。同样地，对于Y在X=1000的个体值，其95%的置信区间为：673.84-2.306130.87<Yx=1000<673.84+2.306130.87或(372.03,975.65)总体回归函数的置信带（域）（confidenceband）个体的置信带（域）

第四十一页，共53页。对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。第四十二页，共53页。eviews应用软件中的广义差分法

在Eview/TSP软件包下，广义差分采用了科克伦-奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估计。在解释变量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到参数和ρ1、ρ2、…的估计值。

其中AR(m)表示随机误差项的m阶自回归。在估计过程中自动完成了ρ1、ρ2、…的迭代。第四十三页，共53页。案例2：用回归模型预测木材剩余物

伊春林区位于黑龙江省东北部。全区有森林面积218.9732万公顷，木材蓄积量为2.324602亿m3。森林覆盖率为62.5%，是我国主要的木材工业基地之一。1999年伊春林区木材采伐量为532万m3。按此速度44年之后，1999年的蓄积量将被采伐一空。所以目前亟待调整木材采伐规划与方式，保护森林生态环