第8章非线性系统分析

第8章非线性系统分析第一页，共130页。一定条件下，可进行线性化处理，作为线性系统来分析。这类系统统称为非本质非线性系统。但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。本章主要介绍分析非线性系统的两种常用方法：相平面法和描述函数法。

第二页，共130页。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能用线性微分方程（一般只能用非线性微分方程来描述,具有非线性数学模型）来描述,则称为非线性系统，或称为本质非线性系统。这样的系统有以下特点。第三页，共130页。一.非线性系统的特点

线性系统与非线性系统相比，其稳态和动态特性有着显著差别。1.瞬态响应线性系统瞬态响应曲线的形状与输入信号大小无关，与初始条件无关。如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。

第四页，共130页。

非线性系统在不同初始条件下的响应但非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应过程为单调衰减，而在另一初始条件下则为衰减振荡，如图所示而非线性系统瞬态响应曲线的形状除与系统结构和参数有关外，还与输入信号大小，初始条件有密切关系。第五页，共130页。2.稳定性

线性系统的稳定性仅和系统的结构和参数有关，而和系统的输入信号大小，初始状态无关。

而非线性系统的稳定性，除了和系统的结构，参数有关外，还与系统的初始状态及输入信号大小有密切关系，这一点非常重要。即可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系统可能不稳定。第六页，共130页。（1）当初始条件xo＜1时,1－xo＞0,上式具有负的特征根,其暂态过程按指数规律衰减,该系统稳定。（2）当xo=1时,1-xo=0,上式的特征根为零,其暂态过程为一常量。（3）当xo＞1时,1-xo＜0,上式的特征根为正值,系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。暂态过程如图所示非线性系统的稳定性如某系统数学模型为非线性方程为：第七页，共130页。3.自持振荡（自激振荡）

线性系统在输入信号作用下才有输出，输出响应有稳定和不稳定两种形式。

线性二阶系统只在阻尼比=0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程,这时系统处于临界稳定状态。实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么发散至无穷大,要么衰减至零。第八页，共130页。信号作用下，由系统结构和参数所确定的一种具有固定频率和振幅的振荡状态，通常是一种非正弦的周期振荡。

自持振荡是人们特别感兴趣的一个问题,对它的研究有很大的实际意义。

非线性系统的自振荡

而非线性系统中，除了稳定和不稳定运动形式外，还有一个重要特征，就是系统可能发生自持振荡----在没有周期第九页，共130页。4.多值响应和跳跃谐振

线性系统中，输入信号为正弦信号时系统输出是同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同。

而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象，（包含有各次谐波分量）；存在跳跃谐振或多值响应。第十页，共130页。非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况下,引入某些非线性环节使系统获得比线性系统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都属于非线性控制范畴。

第十一页，共130页。由于非线性系统的特点，线性系统的分析方法均不能采用。非线性系统的分析方法有相平面法和描述函数法，相平面法是一种图解分析法，描述函数法是一种近似分析法。也可采用基于Simulink的非线性系统分析方法。第十二页，共130页。

静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。

一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：§8-2常见非线性特性第十三页，共130页。输入输出1.死区特性很小时作为线性特性处理（不灵敏区特性）当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。较大时将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性死区或不灵敏区第十四页，共130页。

理想死区特性的的数学描述为：

死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。第十五页，共130页。

当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化,而保持恒定。输入输出放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等等。2.饱和特性第十六页，共130页。理想饱和特性的数学描述为：

饱和特性的存在，将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有利。出于对系统安全性的考虑,常常加入各种限幅装置,其特性也属饱和特性。第十七页，共130页。

继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,继电特性有双位特性，三位特性，继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。

3．继电特性第十八页，共130页。输入输出输出输入输出输入输出输入各种继电器特性理想继电器

具有饱和死区的单值继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性第十九页，共130页。

继电特性的数学描述为：理想继电器特性具有饱和死区的单值继电器第二十页，共130页。具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器第二十一页，共130页。输出输入4.间隙特性元件开始运动 输入信号<a时，无输出信号； 当输入信号>a以后，输出随输入线性变化。元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2a，输出随输入线性变化。齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙输入输出之间具有多值关系第二十二页，共130页。间隙特性的数学描述为：间隙输出相位滞后，减小系统的稳定裕量，控制系统的动态特性和稳态特性变坏自持振荡。一般来说，间隙的存在对系统总是不利的:(1)首先它使系统的稳态误差扩大；(2)使系统的动态性能变差，使振荡加剧，稳定性变差。第二十三页，共130页。输入输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。5.非线性增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。第二十四页，共130页。

相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。

§8-3相平面法

第二十五页，共130页。因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到n维‘状态空间’——以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。

第二十六页，共130页。1.相平面的基本概念

考察二阶非线性时不变微分方程:描述该系统特性必须有两个变量

和，系统在某一初始状态下的解可由表示第二十七页，共130页。

也可将时间t作为参变量，用的关系曲线来表示。

称为系统的状态变量，不直接用时间变量而用状态变量表示系统动态过程的方法称为状态空间法，也称为相空间法。第二十八页，共130页。1.相平面，相点和相轨迹以为横坐标，为纵坐标的平面称为相平面，相应的分析法称为相平面法；相平面上的点称为相点；由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称为相平面轨迹，简称相轨迹；不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族，由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。第二十九页，共130页。2.相轨迹方程和平衡点考察二阶非线性时不变微分方程:引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:第三十页，共130页。一般形式为消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程求解可得相轨迹方程，即表示相平面上的一条曲线，即相轨迹。第三十一页，共130页。相轨迹的性质：1.一般情况下，相轨迹不相交。相点处的斜率由唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。2.当某一相点满足第三十二页，共130页。

此时两个状态变量对时间的变化率都为零，系统的状态不再发生变化，即系统到达了平衡状态，相应的状态点（相点）称为系统的平衡点。平衡点处有的斜率第三十三页，共130页。则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜率不确定的点在数学上也称为奇点，故平衡点即为奇点。奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。第三十四页，共130页。

研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。

8-3线性系统的相轨迹第三十五页，共130页。

设二阶线性系统的微分方程为

取相坐标，上式化为：或设n为正，根据阻尼比的不同取值范围进行讨论第三十六页，共130页。1、无阻尼运动（=0）

此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为

对上分离变量并积分，得式中，A为由初始条件决定的积分常数。第三十七页，共130页。初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。无阻尼二阶线性系统的相轨迹第三十八页，共130页。2、欠阻尼运动（01）

系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,已知系统的零输入解为

式中,A、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。

第三十九页，共130页。可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。欠阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹第四十页，共130页。3、过阻尼运动（＞1）系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的表达式为

式中,A1,A2——初始条件决定的常数；1,2——特征根第四十一页，共130页。不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。相轨迹是一族汇聚到原点的抛物线，单调地趋于平衡点(奇点)—坐标原点，如图所示。这种奇点称为稳定节点。

过阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹第四十二页，共130页。4、负阻尼运动(<0)（系统不稳定，根据极点位置分三种情况分别讨论）

(l)-1＜＜0时,特征根为S右半平面的共轭复根,响应为振荡发散,相轨迹是一族从原点向外卷的对数螺旋线,如图所示。奇点为坐标原点,称为不稳定焦点。

-1＜＜0时的相轨迹第四十三页，共130页。(2)

＜-1时，特征根是两个正实根，响应为单调发散，相轨迹是一族从原点出发向外单调发散的抛物线，如图所示。奇点为坐标原点，称为不稳定节点。

＜-1时的相轨迹第四十四页，共130页。(3)对图所示的正反馈二阶系统

方框图其特征方程式为特征根为第四十五页，共130页。特殊情况：两边积分得：双曲线方程特征根为一正，一负第四十六页，共130页。特征根为一对符号相反的实根，响应依然单调发散的，相轨迹是一族双曲线，如图所示。这时的奇点也是坐标原点，称为鞍点。相轨迹第四十七页，共130页。以上分析表明，二阶线性系统特征根在复平面上位置不同时，时域响应的形式不同，相轨迹的形状也完全不同。可见相轨迹的形状与系统闭环极点的位置密切相关，与奇点类型也密切相关。第四十八页，共130页。第四十九页，共130页。第五十页，共130页。8.3非线性系统的相图对于非线性系统，描述二阶非线性系统的微分方程为表示非线性系统的平衡点（奇点），它往往不止一个。第五十一页，共130页。对于非线性系统，奇点类型与相轨迹的类型仅适用于奇点附近的区域。整个系统的相图就可能由几个不同类型的相轨迹组成。对于非线性系统奇点性质分析，采用小范围线性化的方法。假设奇点在坐标原点，将在奇点附近展开成泰勒级数，并取一次近似，第五十二页，共130页。假若平衡点在坐标原点时得：第五十三页，共130页。令：方程组可改写为特征方程线性化方程组第五十四页，共130页。在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。第五十五页，共130页。例：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。解：令求得奇点（0，0），（-2，0）。第五十六页，共130页。（1）奇点（0，0）线性化方程为特征根（0,0)奇点为稳定焦点，其附近的相轨迹为收敛的对数螺旋线。（2）奇点（-2，0）奇点不在坐标原点，令，则原方程变为第五十七页，共130页。线性化方程：特征根S1=-1.69，S2=1.19（-2，0）奇点为不稳定的鞍点，相轨迹为双曲线。第五十八页，共130页。对于非线性系统还有一种与线性系统不同的运动状态---自持振荡，它在相平面图上表现为一条孤立封闭曲线，称之为极限环或奇线。极限环附近的相轨迹都卷向极限环，或从极限环卷出。因此，极限环将相平面分成内部平面和外部平面，极限环内部（外部）的相轨迹，不能穿过极限环进入它的外部（内部）。2.极限环（奇线）第五十九页，共130页。分析极限环邻近相轨迹的特点，可将相轨迹分成：（1）稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均收敛于该极限环，稳定极限环对应稳定的自持振荡。（2）不稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹均从该极限环发散出去，不稳定极限环对应不稳定的自持振荡。第六十页，共130页。（3）半稳定极限环：极限环内部和外部的相轨迹有一侧收敛于该极限环，而另一侧的相轨迹从极限环发散出去，半稳定极限环。稳定的极限环可通过实验观察到。第六十一页，共130页。8.4相轨迹图的绘制

绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的‘素描’，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第六十二页，共130页。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、δ法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。

第六十三页，共130页。

系统方框图1、解析法

当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时，可使用解析法求出相轨迹方程的解，再绘制相轨迹。例含有理想继电器特性的非线性系统如图所示，试绘制其相轨迹。

第六十四页，共130页。非线性部分输入/输出关系为解:系统线性部分输入/输出关系为

因为故该系统的相轨迹方程式为第六十五页，共130页。

对所得相轨迹方程进行分离变量并积分，得式中A1，A2为积分常数，由初始条件求得。由此，可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平面分为两个区域，即I区及II区，它们分别对应于以上两个方程式，每个区域内的相轨迹都是一族抛物线。第六十六页，共130页。I区轨迹运动,则相点逐步移动到C点,在C点发生切换又沿II区的相轨迹经A点趋向B点,周而复始。这两条抛物线构成一个封闭曲线,故本例时间响应呈周期运动。系统相轨迹图若系统的初始条件处于A点，A点位于II区内，应按照II区对应的轨迹运动，则随时间推移相点将逐步移动到B点，越过B点相点进入I区，将按照第六十七页，共130页。1、等倾线法当系统相轨迹方程不易用解析法求解时,可使用等倾线法绘制系统的相轨迹。将上式表示为：对非线性系统：第六十八页，共130页。其中，是相轨迹的斜率，令，为一常数，则有，上式称为等倾线方程，各相轨迹与该曲线交点的斜率相等，且等于。第六十九页，共130页。绘制思路：对于给定斜率，求解等倾线方程，得到一条等倾曲线。给定不同的值，可在相平面上绘制不同的等倾曲线。由给定的初始条件出发，沿各条等倾曲线所决定相轨迹的切线方向，依次画出系统相轨迹。

第七十页，共130页。试用等倾线法绘制系统的相轨迹。解：系统的微分方程可以化或令得等倾线方程取不同的值，分别绘制等倾线，等倾线为直线【例】

线性二阶系统的运动方程为第七十一页，共130页。图中作出了取不同值时的等倾线及等倾线上表示斜率值的小线段。若给定的初始条件为A点,从A点出发顺时针将各小线段光滑地联接起来,就得到了从A点出发的一条相轨迹。绘制非线性系统相轨迹的图解方法还有法等。系统相轨迹图第七十二页，共130页。四、由相平面图求时间解相轨迹是系统的时间响应在相平面上的映象，它虽然可以反映系统时间响应的主要特征，但不能直接表示时间信息，如需要求出系统的时间响应，可以采用以下两种方法。1、根据相轨迹的平均斜率求时间t

设系统的相轨迹如图所示，设相点由A点转移到B点所需的时间为tAB，第七十三页，共130页。考虑到，故在此期间的平均值为由相轨迹求时间响应据此可求得相点由A点转移到B点所需的时间式中：用同样的方法可求出相点由B点转移到C点的时间，以次类推可得X(t)的曲线，便可以进一步求得其时域响应指标。

第七十四页，共130页。根据相轨迹图,以x为横坐标,

为纵坐标画出曲线,如图所示。由于即当时间由t1变至t2时,有2、用面积法求时间t第七十五页，共130页。

积分的数值等于曲线与X轴之间包围的面积,如图中阴影部分所示,利用解析法或图解法可以求得此面积。

由面积法求时间响应第七十六页，共130页。8.4非线性系统的相平面分析对于非线性系统，其非线性微分方程为而式

表示两曲线的交点就是非线性系统的平衡点（奇点），非线性系统的起点往往不止一个，对于非线性系统，奇点类型与相轨迹类型仅适用于奇点附近的区域。1.非线性系统的奇点及奇点的性质第七十七页，共130页。对于非线性系统奇点性质分析，可采用小范围线性化方法：第七十八页，共130页。2.非线性系统的相平面分析带死区继电器特性的非线性系统【例】图为带死区的继电器系统，设系统在静止状态下施加阶跃信号r(t)=R·l(t)，试分析该系统。解：由结构图知e=r-c得第七十九页，共130页。将上式转换成关于的方程并考虑非线性特性，有由系统线性部分的结构有非线性方程转化为三个线性微分方程，它们分别对应于相平面上I，II，III区。第八十页，共130页。令，得I区相轨迹的等倾线方程

I区内相轨迹的等倾线为一系列平行于e轴的直线,其中对应于=0的等倾线为，此为I区相轨迹的渐近线。用等倾线法绘出I区相轨迹族如图所示。

对相平面e＞a的区域，即I区，则相应方程可表示为

第八十一页，共130页。即相轨迹是斜率=-1/T的直线或者是的直线。对-a＜e＜a的区域，即II区，相应方程表示为令得对e＜-a的区域，即III区，

与I区内相轨迹做法类似，用等倾线法可作出III区相轨迹族。第八十二页，共130页。

由图中可以看出,在直线e=a及e=-a处,相轨迹发生了转折,该直线称为开关线.它表示继电器由一种状态转换为另一种状态。令分别代入I、II、III区方程，其中I、III区无解,表明相轨迹在I、III区内无奇点。带死区继电器非线性系统相平面图第八十三页，共130页。

II区中的解为,表明在II区内的所有点都是奇点,都可以成为系统最终的平衡位置,这种线段称为奇线。从初始相点M1(R，0)出发,相轨迹经过M2、M3、M4、M5最后终止在M6点。在M2、M3及M5处,继电器的工作状态都发生了转换。M1处的误差为正向最大值,M4处误差为反向最大值,在终点M6处仍有残余误差,这是由于继电器特性带有死区,当误差的绝对值小于死区特征值时,非线性环节无输出,系统进入平衡状态。第八十四页，共130页。8.5描述函数法描述函数法主要用于分析非线性系统稳定性、自振荡特性及消除自振荡的方法。虽然是一种近似方法，但对常见实际非线性系统而言，分析结果基本满足工程需要，在非线性系统分析及设计中得到了广泛应用。第八十五页，共130页。

系统开环部分可分离为：

非线性环节N(A)，线性部分G(s)8.5.1描述函数的定义

设非线性系统的结构图如图所示假定：①非线性环节不是时间的函数；

②非线性环节特性是斜对称的；

③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。正弦信号输入时，输出不含直流分量。非线性环节用正弦函数作为输入信号，输出可忽略所有高于一次的谐波分量。第八十六页，共130页。N(A)为非线性环节，它的输出量与输入量之间为非线性函数若设其输入为正弦信号X(t)=ASint则其输出一般不是正弦信号，但仍是一个周期信号，其傅立叶级数展开式为式中

第八十七页，共130页。这表明，非线性环节的输出信号y(t)中含有基波及各高次谐波。通常谐波的次数越高，其相应的傅立叶系数越小，即相应的谐波分量幅值就越小。

如果系统线性部分G(s)具有良好的低通滤波特性，则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计，可以近似认为当输入为正弦信号x(t)时，只有y(t)的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点，其高次谐波分量可忽略不计，即第八十八页，共130页。式中基波幅值

基波初相位此时，非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节，可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性特性的等效幅相特性。

定义：正弦信号作用下非线性环节输出量的基波分量与其输入正弦量的复数比即为非线性环节的描述函数，其数学表达式为

第八十九页，共130页。式中：N（A）——非线性环节的描述函数

A——正弦输入信号的振幅

——非线性环节输出基波分量的振幅

——非线性环节输出基波分量相对于输入信号的相位

第九十页，共130页。描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记作N(A)，当非线性元件中包含储能元件时，N同时为输入信号振幅及频率的函数，记作N（A，）。8.5.2典型非线性环节的描述函数1.死区特性的描述函数第九十一页，共130页。第九十二页，共130页。考虑图示死区特性，当输入为正弦函数时，输出如图所示，特性是单值奇对称的，所以，并且第九十三页，共130页。第九十四页，共130页。2.理想继电器特性的描述函数傅氏展开斜对称、奇函数A0=An=0(偶次对称性)第九十五页，共130页。3.一般非线性

描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:因为它是单值、奇对称的，，先求出：

第九十六页，共130页。所以

第九十七页，共130页。饱和特性死区特性死区饱和特性常见非线性环节的描述函数第九十八页，共130页。非线性增益I非线性增益II第九十九页，共130页。理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性第一百页，共130页。间隙、滞环特性第一百零一页，共130页。和非线性特性求出输出，然后由积分式求出，最后由求出。

概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入第一百零二页，共130页。此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似出。

第一百零三页，共130页。考虑如图所示的非线性系统，假设线性动态部分具有良好的低通特性，那么非线性特性可以用描述函数N(A)来表示。为了引入频率特性分析法，我们还假设G(s)是最小相位环节。对于非线性系统，主要分析是稳定性，自持振荡产生的条件，自持振荡的幅值和频率的确定及如何消除自持振荡。8.5.3描述函数分析法第一百零四页，共130页。1.非线性系统的稳定性

根据线性系统稳定性的频率特性法，将频率特性推广到图示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：

特征方程为

因为是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上曲线是否包围实轴上的（-1，j0)点。

第一百零五页，共130页。由上式得：

与线性系统的Nyquist判据相比，-1/N(A)相当于线性系统中的临界稳定点（-1,j0).只是在非线性系统中，临界不是一个点，而是一条曲线。Nyquist判据判别非线性系统的稳定性：当G(jw)为最小相位系统时，第一百零六页，共130页。(1)如果在复平面上，-1／N(A)曲线不被G(j)曲线所包围，则非线性系统是稳定的。

第一百零七页，共130页。(2)如果在复平面上，-1／N(A)曲线被G(j)曲线所包围，则非线性系统不稳定。

第一百零八页，共130页。(3)如果在复平面上，-1／N(A)曲线与G(j)曲线相交，非线性系统处于临界状态，则在非线性系统中产生周期性振荡（稳定或不稳定），稳定自持振荡的振幅由-1／N(A)曲线交点处对应的A值决定，振荡的频率由G(j)曲线交点处的值决定。第一百零九页，共130页。2.自持振荡非线性系统的自持振荡是在没有外界输入信号作用下，系统产生的具有固定频率和振幅的稳定的等幅运动。此时若满足即系统产生自持振荡。如果不止一组参数满足，则系统存在几个等幅运动（稳定或不稳定的自持振荡）。描述函数的负倒第一百一十页，共130页。当微小扰动使振幅A增大到c点时，

c点“(-1,j0)”

被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。当微小扰动使振幅A减小到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。a点为不稳定自持振荡点。分析法第一百一十一页，共130页。当微小扰动使振幅A增大到e点时，

e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，

f点“(-1,j0)”

被G(j)