1抽象函数题型全归纳及答案

关注公众号《品数学》抽象函数题型全归纳及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：定义域问题（一） 已知/⑶的定义域，求力虱的定义域，解法：若丁（方的定义域为以工兀Mb，则力虱力］中以=式对工机从中解得天的取值范围即为力鼠工）］的定义域.例题1：设函数，（方的定义域为［0，1］，则（1）函数一）的定义域为；（2）函数位-0的定义域为解析：（1）由已知有口0/£1，解得-1W工Ml，故/（一）的定义域为［T，1］（2）由已知，得。工、5-2名1，解得40工09，故1/（m—2）的定义域为［4,9］（二）已知力虱万］的定义域，求丁（方的定义域.解法：若力鼠方］的定义域为潴WxW舛，则由黑WxW双确定以为的范围即为了（方的定义域.例题2：函数》二，［1敏克+明的定义域为口ExW9，则/力的定义域为.解析：由口M工W9，得1W工+1WL。，所以。，电5+1），1，故填［0,1］（三） 已知力虱工）］的定义域，求力辄尺］的定义域.解法：先由力虱力］定义域求/（力定义域，再由」（方定义域求得了［妣幻］定义域.例题3：函数/=/（1+1）定义域是［-2,引，则/=/（2x-1）的定义域是解析：先求，（幻的定义域，的定义域是【—2,3］，--2二1WT+1W4,即/（幻的定义域是［―1,4］高中数学资料共享群（群号：284110736）

关注公众号《品数学》再求力曲（工）］的定义域，・・・一1£2犬-1M4,二口工了三，••J(2x-1)的定义域是[0,1]（四）运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.例题4：函数」（方的定义域是（0,1］，求宽幻=/炽+啰•-厘<0的0）的定义域.0<x-^-a0<x-^-a<1解析：:由已知，有，0<x-a即a<<1+a函数的定义域由41-s）n（M1+0确定2 二函数g"）的定义域是（F,1+0a<-a【巩固1】 已知函数/（/）的定义域是［1,2］,求f（x）的定义域.解析：*>。的定义域是［1,2］,是指1工工12,所以*：/）中的炉满足1三一二4从而函数仪外的定义域是［1,4］【巩固2】 已知函数/q）的定义域是［-1，2］,求函数,I隹J?一力］的定义域.解析：/"）的定义域是［T，幻，意思是凡被£作用的对象都在［-1,2］中，由此可得所以函数力1"1"©一刈的定义域是［1，争【巩固3】 f（x）定义域为（0，1），则y=f（x+a）+f（x—a）（1a1<；）定义域是.高中数学资料共享群（群号：284110736）关注公众号《品数学》10<x+a<1 \—a<x<1-a解析：因为x+a及x-a均相当于心)中的“所以L<x-a<1'a<x<1+a(1)当一」4a<0时，贝Uxg(-a,1+a)；(2)当0<a<—时，则xg(a,1-a)^2 ^2解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.一x一例题5：已知f(--)=2x+1,求f(x).x+1TOC\o"1-5"\h\zx uu u22—u 2—x解析：设——-=u，则x=-——，f(u)=2-——+1=-——・•・f(x)=-——x+1 1-u 1-u 1-u 1-x.凑合法：在已知f(g(x))=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法.例题6：已知f(x+1)=x3+—，求f(x)x x3解析：：f(x+1)=(x+1)(x2-1+—)=(x+1)((x+1)2-3)xx x2xx又〈Ix+—1=1xI+—!->1，.二f(x)=x(x2-3)=x3-3x,(|x|21)xIxI.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例题7：已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).解析：设f(x)=ax2+bx+c,则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c2(a+c)=4 1 3=2ax2+2bx+2(a+c)=x2+2x+4比较系数得12a=1 na=-,b=1,c=-222b=2高中数学资料共享群(群号：284110736)

关注公众号《品数学》.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例题8：已知y=f（X）为奇函数，当X>0时,f（X）=Ig（x+1）,求f（X）解析：；f（X）为奇函数，，f（X）的定义域关于原点对称，故先求X<0时的表达式.V-X>0，，f(-x)=lg(-X+1)=lg(1-X)，lg(1+X),X>0-lg(1-X),X<0;f(X)lg(1+X),X>0-lg(1-X),X<0，当X<0时f(X)=-lg(1-x)，f(x)=例题9：f(X)为偶函数，g(X)为奇函数，且有f(x)+g(x)=-L,求f(x),g(x).X-1解析：Vf(X)为偶函数，g(X)为奇函数，，f(-X)=f(X)，g(-X)=-g(X)，不妨用-"^代换f(X)+g(X)=— ①中的X,X-1，f(-X)+g(-X)=-1-即f(X)一g(X)=- ②-X-1 X+11X显见①+②即可消去g(X)，求出函数f(X)=--再代入①求出g(X)=--X2-1 X2-15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(X)的表达式例题10： 设f(X)的定义域为自然数集，且满足条件f(X+1)=f(x)+f(y)+xy，及f(1)=1，求f(x)解析：Vf(x)的定义域为N,取y=1，则有f(x+1)=f(x)+x+1Vf(1)=1，.・・f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3……f(n)=f(n-1)+n以上各式相加，有f(n)=1+2+3+ +n=n(n+>，f(x)=—x(x+1),xeN2 2【巩固4】 设函数f(x)存在反函数，g(x)=f-1(x),h(x)与g(x)的图象关于直线X+y=0对称，则函数h(X)=A.-f(X) B,-f(-X) C.—f-1(x) D.-f-1(-X)高中数学资料共享群（群号：284110736）关注公众号《品数学》解析：要求y=h(x)的解析式，实质上就是求y=h(x)图象上任一点P(x°,y°)的横、纵坐标之间的关系.点P(x°,y°)关于直线y=-x的对称点(-y°,-x°)适合y=f-i(x),即-x°=g(-y°).又g(x)=f-1(x)，，-x°=f-1(-y°)n-y°=f(-x°)ny°=-f(-x°)，即h(x)=-f(-x)，选B.【巩固5】 设对满足歪h口，xhI的所有实数*，函数满足了口)+7[?)=1+了，求£6)的解析式.T—1 JT—1解析：在——)=l+x 6中以——代换其中乂，得：TOC\o"1-5"\h\zX Z/(—⑵兀 X—1 X再在(1)中以-工代换X，得了(——1)+〃功=三 ⑹X—1 X-1 X-1(1)一(2)+⑹化简得：(⑶二T--1评析：如果把X和——分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.三、 求值问题这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例题11： 已知定义域为K+的函数，&)，同时满足下列条件：①/(2)=1，=1；②/①元，求f(3)，f(9)的值.解析：取克=2下=3，得/⑹=，⑵十八3)高中数学资料共享群(群号：284110736)

关注公众号《品数学》因为，0)=1/(6)=g,所以/⑶二一g又取汗=，=3,得了(9)=兴：5+/0)二-|例题12： 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4—x)且f(2—x)+f(x—2)=0,求f(2000)的值.解析：由f(2—x)+f(x—2)=0，以t=x—2代入，有f(-1)=f(t),二.f(x)为奇函数且有f(0)=0，又由f(x+4)=f[4-(-x)]=f(-x)=-f(x),「.f(x+8)=-f(x+4)=f(x)f(x)是周期为8的周期函数，二.f(2000)=f(0)=0【巩固6】 已知f(x)的定义域为R+，且f(x+y)=f(x)+f(y)对一切正实数x，y都成立，若f(8)=4，则f(2)=.解析：在条件f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=4，得f(8)=f(4)+f(4)=2f(4)=4，f(4)=2又令x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)=2，.=f(2)=1【巩固7】 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足：f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值.解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x)是周期函数，显然f(x)丰1，于是f(xf(x+2)=f(x+4)=1+f(x+2)1-f(x+2)1+1+f(x)1-f(x)11+f(x)1-1-f(x)高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》所以f(X+8)=-—1—=f(X),故f(X)是以8为周期的周期函数，f(x+4)从而f(2001)=f(8*250+1)=f(1)=1997值域问题例题13： 设函数，6)定义于实数集上，对于任意实数x、y,+总成立，且存在羌10为，使得/(为)¥/(4)，求函数/(幻的值域.解析：令/=/=□，得/(0)=[/(。)『，即有/(5二。或1.若/[。)=。，则渴=/(i+Q)=，5)，(。)=。，对任意大三尺均成立，这与存在实数巧工右，使得(心)成立矛盾，故/⑼00，必有，⑼二1.由于对任意克、下匕立均成立，因此，对任意无三尺，有/W= +$=/(|v*=[/(1)]2>0ba £-1下面来证明，对任意汽E&/(I)0。设存在/三交，使得1A/)=0，则/e〉二j(而-而)=/(%)八-而)二o这与上面已证的矛盾，因此，对任意K匕旦/所以「⑴X评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【巩固8】 已知函数f(X)对任意实数X,y有f(X+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时f(x)>0,f(-1)=-2，求f(x)在[-2,1]上的值域.解析：设X1<X2且X1,X2GR，则X2-X1>0，由条件当X>0时，f(X)>0，.二f(X2-X1)>0又f(X2)=f[(X2-X1)+XJ=f(X2-X1)+f(X1)>f(X])，.•.f(X)为增函数，令y=-X，则f(0)=f(X)+f(-X)又令X=y=0，得f(0)=0，.:f(-X)=-f(X)，故f(x)为奇函数，高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》・•.f(1)=-f(1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4・•・f(x)在［-2,1］上的值域为［-4,2］求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉"f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.例题14： 已知f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在(0，1)上为增函数，满足f(a-2)-f(4-a2)<0，试确定a的取值范围.解析：・••f(x)是偶函数，且在(0，1)上是增函数，，f(x)在(-1，0)上是减函数，-1<a—2<1 _一由《 得%泠<a<M5.-1<4-a2<1(1)当a=2时，f(a-2)=f(4-a2)=f(0)，不等式不成立.(2)当<3<a<2时，-1<a—2<0f(a-2)<f(4-a2)=f(a2-4)o<-1<a2-4<0n“<a<2a-2>a2-4(3)当2<a<<5时，’0<a-2<1f(a-2)<f(4-a2) /1 0y=f(a2-4)o,0<a2-4<1n2<a<J5a-2<a2-4综上所述，所求a的取值范围是a：3,2)U(2,.③.例题15： f(x)是定义在(-8,1］上的减函数，若f(m2-sinx)<f(m+1+cos2x)对xeR恒成立，求实数m的取值范围.m2-sinx<3解析：：:\m+1+cos2x<3m2-sinx>m+1+cos2xIm2-sinx<3对xeR恒成立o<Im2-sinx>m+1+cos2x高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》m2-3<sinxTOC\o"1-5"\h\z对xwR恒成立=彳 1 5m2-m-l>sinx+cos2x=-(sinx--)2+—对xwR恒成立，< 5J-，—V2<m<--—为所求m2-m-1>— 2[ 4【巩固9】 已知函数/（X）是定义在（-8，1］上的减函数，且对一切实数X,不等式/（k-sinx）N/（左2-sin2x）恒成立，求k的值.左2-sirux<1<上一sinxV左2—sin2xTOC\o"1-5"\h\z解析：由单调性，脱去函数记号，得 [^2<i+sin2x (i)川1 1k2-k+—>(sinx--)24 2由题意知（1）（2）两式对一切1£A恒成立,左2<(1+sin2x)=111/_ min t «则有} 1 1 9}n左二—1-k+—>(sinx--)2=—、 4 2max4【巩固10】已知函数/(%)对任意x，yeA有/(x)+/(y)=2+/(x+y),当x>。时，/(x)>2,/(3)=5,求不等式/(。2一2"—2)<3的解集.解析：设1、xeA且x<x则x-x>01 2 1 2， 2 1 ,f(x-x)>2,即/(%-x)-2>02 1 2 1/V(xp=f[(X2-xHx>f(x-xRf(xp-2>f(x),,-,f(x)>f(x)故/（X）为增函数,又〃3)=/(2+l)=〃2)+〃l)—2=3〃D—4=59/(1)=3,于(a2—2a—2)<3=/(I),即“2—2”一2<1,「.一l<a<3高中数学资料共享群（群号：284110736）

关注公众号《品数学》因此不等式f(a2—2a—2)<3的解集为｛。1-1<a<3上单调性问题例题16： 设f(x)定义于实数集上，当xn口时，，(芯)>1,且对于任意实数x、y,有=/㈤,求证:/(1)在R上为增函数.证明：在/5+#=/(幻/(7)中取克=>=0，得/(0)=[/[0)广若/(。)=。，令工=0,>=。，则工)=0，与矛盾所以「⑼/。，即有八。"1当天口口时，/缶>1>0；当当天口口时，/缶>1>0；当km口时，一月>。，/(-x)>1>0而/")，/(-力=/(0)=1，又当了=口时，/(0)=!>0所以，所以对任意^三区，恒有1A工)>o设—如<西<均c+o0，则七一工1>a/(心—马)>i“8)"1>1+(后-玉)]=/(勺”(叼-药”/(g)，.•.『二/(回在R上为增函数例题17： 已知偶函数f(x)在(0,+8)上是减函数，问f(x)在(-8,0)上是增函是减函数，并证明你的结论.证明：如图所示，易知f(x)在(-8，0)上是增函数，证明如下：任取x<x<0n-x>-x>0因为f(x)在(0，+8)上是减函数，所以f(-x1)<f(-x2).又f(x)是偶函数，所以f(-xJ=f(x1,(-xJ=f(x2)，从而f(x1)<f(x2)，故f(x)在(-8,0)上是增函数.【巩固11】如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5,那么f(x)在区间[-7，-3]上是A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》解析：画出满足题意的示意图1,易知选B.奇偶性问题例题18: 已知函数仁匕凡0)对任意不等于零的实数勺、叼都有1A/也)=jg+fg)，试判断函数f(x)的奇偶性.解析：取马二一1，电=1得：= ，所以，@二0再取町二元，出二T则-幻=/(-1)+/(工)，即/(一0二/我)因为幻为非零函数，所以外为偶函数.【巩固12]若函数y=f(x)(f(x)丰0)与y=-f(x)的图象关于原点对称，求证：函数y=f(x)是偶函数.证明：设y=f(x)图象上任意一点为P(x0,y0)y=f(x)与y=—f(x)的图象关于原点对称，/-P(x0,y0)关于原点的对称点(-x0,-y0)在y=—f(x)的图象上，.y0=-f(-x。…0=f(-x0)又y0=f(x0)，.二f(-x0)=f(x0)即对于函数定义域上的任意x都有f(-x)=f(x)，所以y=f(x)是偶函数.周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y=f(x)满足对定义域内任一实数x(其中a为常数)，f(x)=f(x+a)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数；f(x+a)=-f(x)，则f(x)是以T=2a为周期的周期函数；高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》fG+a)=±尢，则f(x)是以T=2a为周期的周期函数；f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是以T=2a为周期的周期函数；f(x+a)=匕x)，则f(x)是以T=2a为周期的周期函数.+f(x).f(x+a)=-与x)，则fQ)是以T=4a为周期的周期函数.+f(x).f(x+a)=[f?，则f(x)是以T=4a为周期的周期函数.-f(x). 函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)(a>0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a..函数y=f(x)(xeR)的图象关于直线x=a和x=b(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数；.函数y=f(x)(xeR)的图象关于两点A(a,y°)、B(b,y0)(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数；.函数y=f(x)(xeR)的图象关于A(a,y0)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x)是以4(b-a)为周期的周期函数；例题19： 设f(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2)，求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f(x+T)=f(x)(T为非零常数)则f(x)为周期函数，且周期为T.TOC\o"1-5"\h\z证明：f(x)=f(x+1)-f(x+2) (1)・•・f(x+1)=f(x+2)-f(x+3) (2)(1)+⑵得f(x)=-f(x+3) (3)高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》由(3)得f(%+3)=—f(%+6) (4)由(3)和(4)得f(%)=f(%+6).上式对任意%£R都成立，因此f(%)是周期函数，且周期为6.例题20： 设函数f(%)的定义域为比且对任意的x，y有一c一f(%+y)+f(%-y)=2f(%)•f(y)，并存在正实数c，使f(-)=0.试问f(%)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.，一一 兀解析：仔细观察分析条件,联想三角公式，就会发现：y=cos%满足题设条件,且cos-=0，猜测f(%)是以2c为周期的周期函数.,cc cc ccf[(%+2)+2]+f[(%+2)—2]=2f(%+2)f(2)=0・•.f(%+c)=-f(%)・•・f(%+2c)=-f(%+c)=f(%)故f(%)是周期函数，2。是它的一个周期.【巩固13】设f(%)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线%=1对称.对任意%，%£[0，」都有f(%+%)=f(%)•f(%).证明f(x)是周期函数.1 2 2 1 2 1 2证明：依题设y=f(%)关于直线%=1对称,故f(%)=f(2-%),%£R又由f(%)是偶函数知f(-%)=f(%)，%£R，f(-%)=f(2-%),%£R，将上式中-%以%代换，得f(%)=f(%+2),%£R这表明f(%)是R上的周期函数，且2是它的一个周期f(%)是偶函数的实质是f(%)的图象关于直线%=0对称又f(%)的图象关于%=1对称，可得f(%)是周期函数，且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f(%)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线%=a(a*0)对称，证明f(%)是高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》周期函数，且2a是它的一个周期.证明：f(%)关于直线x=a对称.，f(x)=f(2a一x),xgR又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),xgR，：.f(-x)=f(2a-x),xgR将上式中-x以x代换，得f(x)=f(2a+x),xgR二.f(x)是R上的周期函数，且2a是它的一个周期思考二：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于直线x=a和x=b(a丰b)对称.证明f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.证明：:f(x)关于直线x=a和x=b对称:.f(x)=f(2a-x),xgR,f(x)=f(2b-x),xgR,:.f(2a-x)=f(2b-x),xgR将上式的-x以x代换得f(2a+x)=f(2b+x),xgR:.f[x+2(b-a)]=f[(x-2a)+2b]=f[(x-2a)+2a]=f(x),xgR二.f(x)是R上的周期函数，且2(b-a)是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f(x)还是不是周期函数？我们得到思考三：设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称.证明f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.，证明：・••f(x)关于x=1对称，，f(x)=f(2-x),xgR又由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),xgR,:.fQ-x)=-f(-x),xgR将上式的-x以x代换，得f(2+x)=-f(x),xgR・•・f(x+4)=f[2+(x+2)]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),xgR二.f(x)是R上的周期函数，且4是它的一个周期f(x)是奇函数的实质是f(x)的图象关于原点(0，0)中心对称，又f(x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们得高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》思考四：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a,0)中心对称，且其图象关于直线x=b(b丰a)对称.证明f(x)是周期函数，且4(b-a)是它的一个周期.证明：.•・f(x)关于点M(a,0)对称，，f(2a-x)=-f(x),xgR;f(x)关于直线x=b对称，:.f(x)=f(2b-x),xgR,:.f(2b-x)=一f(2a-x),xgR将上式中的-x以x代换，得f(2b+x)=一f(2a+x),xgR:.f[x+4(b-a)]=f[2b+(x+2b-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]=-f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x-2a)]=f(x),xgR二.f(x)是R上的周期函数，且4(b-a)是它的一个周期由上我们发现，定义在R上的函数f(x)，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f(x)是R上的周期函数.进一步我们想到，定义在R上的函数f(x)，其图象如果有两个对称中心，那么f(x)是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f(x)是定义在R上的函数，其图象关于点M(a,0)和N(b,0)(a丰b)对称.证明f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.证明：:f(x)关于M(a,0),N(b,0)对称/.f(2a-x)=-f(x),xgR,f(2b-x)=-f(x),xgR:.f(2a-x)=f(2b-x),xgR将上式中的-x以x代换，得f(2a+x)=f(2b+x),xgR:.f[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x-2a)]=f(x),xgR・•.f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期九、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》1、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数；⑨正弦型函数y=Asin(3x+⑺既是轴对称又是中心对称；⑩余弦函数;⑪正切函数;。》耐克函数；⑬三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异.Q0绝对值函数：这里主要说的是y=/(IxI)和y=lf(x)1两类.前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如yTlnx1就没有对称性，而y=1sinx1却仍然是轴对称.⑮形如y=弁2b(C丰0,ad丰bc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x=-dcx十ct c(由分母为零确定)和直线y=?(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(-d,a).cc(2)抽像函数的对称性1、函数y=/(x)图像本身的对称性(自对称问题)(1)轴对称y=f(x)的图像关于直线x=a对称of(a+x)=f(a-x)of(x)=f(2a-x)of(-x)=f(2a+x)f(a+x)=f(b—x)oy=f(x)的图像关于直线x=(a+x)；(b-x)=Wb对称.特别地，函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x).高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》(2)中心对称y二f(%)的图像关于点(a,b)对称Of(a+x)+f(a—x)=2bOf(x)+f(2a-x)=2bOf(-x)+f(2a+x)=2b.f(a+x)+f(b—x)=2cOy=f(x)的图像关于点(Wb,c)对称.特别地，函数y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f(x)+f(-x)=o.(3)对称性与周期性之间的联系①若函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称(a丰b)，则函数f(x)关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为1b-a|；且函数f(x)为周期函数，周期T=2b-a|；特别地：若y=f(x)是偶函数，图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2同的周期函数；②若函数f(x)既关于点(a,0)对称，又关于点(b，0)对称(a丰b)，则函数f(x)关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为b-a\；且函数f(x)为周期函数，周期T=2b-a\；③若函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称(a丰b)，则函数f(x)关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为|b-。|，相邻对称轴或中心的距离为21b-a|；且函数f(x)为周期函数，周期T=41b-a|.特别地：若y=f(x)是奇函数，图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为41al的周期函数.2、两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)图像关于直线x=0对称.(2)函数y=f(x)与y=f(2a—x)图像关于直线x=a对称高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》(3)函数y=于(―X)与y=于(2a+X)图像关于直线％=—a对称(4)函数y=f(a+X)与y=f(b—x)图像关于直线(a+x)—(b—x)=0对称即直线x=b—a对称(5)函数y=f(X)与y=-f(X)图像关于x轴对称.(6)函数y=f(x)与y=f(-x)图像关于y轴对称.(7)函数y=f(x)与a—X=f(a—y)图像关于直线X+y=a成轴对称.(8)函数y=f(X)与X—a=f(y+a)图像关于直线X—y=a成轴对称.(9)函数y=f(X)与y=f-1(X)的图像关于直线y=X对称.(10)函数y=f(x)与y=-f-1(-x)的图像关于直线y=-X对称.(11)函数y=f(X)有反函数，则y=f(a+X)和y=f-1(a+x)的图像关于直线y=X+a对称.(12)函数y=f(X)与y=2b—f(2a—X)的图像关于点(a,b)成中心对称.特别地，函数y=f(x)与y=—f(—x)图像关于原点对称.例题21： 函数2=/⑴满足了")+/(—©=2002，求/一1(元)+/一1(2。。2—同值.解析：已知式即在对称关系式，(口+力+/(白一幻二2右中取厘=口，方=2叩2,所以函数7二『(X)的图象关于点(0，2002)对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数尸= 的图象关于点(2002,0)对称.所以/-1K+iooD+,-lion—功.0将上式中的*用工-1口口1代换，得/一1(幻+ —工)三口评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数,二/(工)对一切实数乂都满足+行+/(鼻-幻=四，则函数?=〃工)的图象关于点(a，b)成中心对称图形.十、 综合问题1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.高中数学资料共享群(群号：284110736)关注公众号《品数学》例题22： 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x<0时，f(x)是增函数，若x1<0,%2>0，且Ix11<1xJ,则f(-x1),f(-x2)的大小关系是.解析：,/x<0,x>0且IxI<IxI,/.0<-x<xn-x<x<0又x<0时，f(x)是增函数，「.f(-x2)<f(x1)f(x)是偶函数，，f(-x1)=f(x1)，故f(-x1)>f(-x2)2)讨论方程根的问题例题23： 已知函数f(x)对一切实数x都满足f(1+x)=f(1-x)，并且f(x)=0有三个实根，则这三个实根之和是.分析：由f(1+x)=f(1-x)知直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.又f(x)=0有三个实根，由对称性知x1=1必是方程的一个根，其余两根x2,x3关于直线x=1对称，所以x+x=2x1=2，故x+x+x=3.3)