电路分析第二民

电路分析第二民第1页/共333页4.1正弦量的基本概念4.1.1正弦量的三要素以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般解析函数式为

i(t)=Imsin(ωt+θ)相应的波形图如图4.1所示(设θ>0)。i(t)表示电流的瞬时值，也可写成i。Im、ω、θ分别表示正弦量的振幅值、角频率、初相。第2页/共333页图4.1正弦量的波形图第3页/共333页

1.瞬时值和振幅值交流量任一时刻的值称瞬时值。瞬时值中的最大值(指绝对值)称为正弦量的振幅值，又称峰值。通常用大写字母加下标“m”来表示。Im、Um分别表示正弦电流、电压的振幅值。振幅值表示正弦量瞬时值变化的范围或幅度。第4页/共333页

2.周期和频率正弦量变化一周所需的时间称为周期。通常用“T”表示，单位为秒(s)。实用单位有毫秒(ms)、微秒(μs)、纳秒(ns)。正弦量每秒钟变化的周数称为频率，用“f”表示，单位为赫兹(Hz)。周期和频率互成倒数，即

周期和频率表示正弦量变化的快慢程度。周期越短，频率越高，变化越快。直流量也可以看成f=0(T=∞)的正弦量。我国和世界上大多数国家都采用50Hz(T=0.02s)作为电力工业的标准频率(美、日等少数国家采用60Hz)，习惯上称为工频。第5页/共333页

3.相位、角频率和初相正弦量解析式中的ωt+θ称为相位角或电工角，简称相位或相角。正弦量在不同的瞬间，有着不同的相位，因而有着不同的状态(包括瞬时值和变化趋势)。所以，相位反映了正弦量的每一瞬间的状态或变化的进程。相位的单位一般为弧度(rad)。相位角变化的速度称为角频率，其单位为rad/s或1/s。相位变化2πrad，经历一个周期T，那么(4-2)由式(4-2)可见，角频率与频率成正比。第6页/共333页根据ω、f、T的关系，正弦量的解析式可以写成作波形图时，横坐标可用角度ωt或时间t表示，图4.1列出两种横坐标以作比较。

t=0时，相位为θ，称其为正弦量的初相。初相反映了正弦量在计时起点处的状态，称初始状态。此时的瞬时值i(0)=Imsinθ，称为初始值。同一初始值，对应两个不同的初相值，该二值为互补关系。如Um=537V的正弦电压，初始值为u(0)=268.5V， ,则 或第7页/共333页

正弦量的初相与计时起点(即波形图上的坐标原点)的选择有关，且在t=0时，函数值的正负与对应θ的正负号相同，如图4.2所示。图4.2计时起点的选择第8页/共333页

当θ=0时，正弦波的零点(规定正弦波瞬时值由负变正时的过零点为正弦波的零点)，就是计时起点，如图4.2(a)所示；当θ>0时，正弦波零点在计时起点之左，其波形相对于θ=0的波形左移θ角，如图4.2(b)所示；当θ<0时，正弦波零点在计时起点之右，其波形相对于θ=0的波形右移θ角，如图4.2(c)所示。因此，从正弦波的零点相对于坐标原点的位置可以确定初相为了统一起见，规定初相的绝对值不超过180°，超过180°者，θ要换算成小于180°的角，因此确定θ角正负的零点均指离计时起点最近的那个零点。在图4.3中，确定θ角的零点是A点而不是B点，θ=-120°而不是240°。第9页/共333页图4.3初相的规定第10页/共333页

综上所述，当正弦量的振幅、角频率、初相确定时，这个正弦量就惟一地确定了。故将振幅、角频率ω(或f、T)、初相θ称为正弦量的三要素。正弦量的初相值与参考方向的选择有关，当参考方向改变后，解析式为-Imsin(ωt+θ)=Imsin(ωt+θ±π)取“+π”还是取“-π”，是由θ±π的绝对值不超过π来决定的。第11页/共333页

例4.1

图4.4给出正弦电压uab和正弦电流iab的波形。

(1)写出uab和iab的解析式并求出它们在t=100ms时的值。

(2)写出iab的解析式并求出t=100ms时的值。图4.4例4.1图第12页/共333页

解由波形可知uab和iab的最大值分别为300mV和5mA，频率都为1kHz，角频率为2000πrad/s，初相分别为和，它们的解析式分别为(1)t=100ms时，uab、iab分别为第13页/共333页(2)第14页/共333页4.1.2相位差两个同频率的正弦量之间相位之差称为相位差，用φ或φ带双下标表示对于第15页/共333页电压u与电流i的相位差φ(或φui)=θu-θi

可见，两个同频率正弦量的相位差，等于它们的初相之差。当两个同频率正弦量的计时起点改变时，它们之间的初相也随之改变，但二者的相位差却保持不变。由于初相与参考方向的选择有关，因此相位差也与参考方向的选择有关。同频率正弦量初相相同时称之为同相，如图4.5(a)所示的u和i。第16页/共333页

图4.5相位差的几种情况第17页/共333页

如果两个正弦量到达某一确定状态的先后次序不同，则称先到达者为超前，后到达者为滞后。如图4.5(b)所示的u1和u2，θ1>θ2，u1超前u2，或者说u2滞后u1

。两个正弦量的相位差为π(180°)，称之为反相，如图4.5(c)所示的i1和i2。同一正弦量，相反参考方向下的iab和iba反相。两个正弦量的相位差为π/2(90°)，称之为正交，如图4.5(d)所示的u和i。规定相位差的绝对值|φ|≤π，否则，将使超前或滞后发生颠倒。第18页/共333页

在正弦电路的分析计算中，为了比较同一电路中同频率的各正弦量之间的相位关系，可选其中一个为参考正弦量，取其初相为零，这样其它正弦量的初相便由它们与参考正弦量之间的相位差来确定。各正弦量必须以同一时刻为计时起点才能比较相位差，故一个电路中只能有一个参考正弦量，究竟选哪一个则是任意的。第19页/共333页

例4.2

求两个正弦电流i1(t)=-14.1sin(ωt-120°)A，i2(t)=7.05cos(ωt-60°)A的相位差φ12。

解把i1和i2写成标准的解析式，求出二者的初相，再求出相位差。则第20页/共333页

例4.3

三个正弦电压uA(t)=311sin314tV，uB(t)=311sin(314t-2π/3)V，uC(t)=311sin(314t+2π/3)V，若以uB为参考正弦量，写出三个正弦电压的解析式。

解先求出三个正弦量的相位差，由已知得第21页/共333页以uB为参考正弦量，它们的解析式为第22页/共333页4.1.3正弦量的有效值由于正弦量的瞬时值是随时间变化的，无论是测量还是计算都不方便，也不能确切地反映在能量方面的效果。因此，在工程实际中，采用交流电的有效值，用大写字母表示，如I、U分别表示电流、电压的有效值。交流电的有效值是根据它的热效应确定的。如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R,在一个周期T内所产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值叫做交流电流的有效值。第23页/共333页由此得出所以，交流电流的有效值为(4-3)同理，交流电压的有效值为(4-4)

交流电的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期的平均值的算术平方根，所以有效值又叫方根均值。第24页/共333页对于正弦交流电流i(t)=Imsin(ωt+θ)代入式(4-3)，它的有效值为(4-5)第25页/共333页可见，正弦量的有效值等于它的振幅值除以。因此，有效值可以代替振幅值作为正弦量的一个要素，并在其解析式中用 替代Um(或用替代Im)。交流电气设备铭牌上所标的电压值、电流值都是有效值。一般交流电压表、交流电流表的标尺都是按有效值刻度的。如不加以说明，交流量的大小均指有效值。第26页/共333页

例4.4

一个正弦电流的初相角为60°，在t=T/4时电流的值为5A，试求该电流的有效值。

解该正弦电流的解析式为由已知得或第27页/共333页则对应的有效值第28页/共333页练习与思考4.1-1一个工频正弦电压的振幅值为311V，在t=0时的值为-155.5V，试求它的解析式。

4.1-2已知i(t)=1.5sin(1000πt-60°)A，u(t)=120sin(1000πt+240°)V，求i比u超前或滞后多少相角和时间?4.1-3(1)i1(t)=10sin(100πt+30°)A,i2(t)=10cos(100πt-15°)A,i1和i2的相位差φ12=30°-(-15°)=45°，对吗?(2)i1(t)=10sin(100πt+３0°)A，i2(t)=-10sin(100πt+60°)A，i1和i2的相位差为-30°，对吗?第29页/共333页4.1-4三个同频率正弦电流i1、i2

、i3的最大值分别为1A、2A、3A。若i1比i2超前30°，较i3滞后150°，试以i3为参考正弦量，写出三个电流的解析式。

4.1-5用于整流的二极管反向击穿电压为50V，接于220V市电上，需要几只二极管串联才行。第30页/共333页4.2正弦量的相量表示法4.2.1正弦量的相量表示设某正弦电流为根据欧拉公式可以把复指数 展开成上式的虚部恰好是正弦电流i，即第31页/共333页上式中，Im［］是“取复数虚部”的意思，而(4-6)是一个与时间无关的复常数，其模是正弦量的有效值，辐角是正弦量的初相。二者是正弦量三要素的两个要素。当角频率ω给定时，它们就完全确定了一个正弦量。由于在正弦电路中，所有电流、电压都是同频率的正弦量，频率常是已知的，便是一个足以表示正弦电流的复数。像这样一个能表示正弦量有效值及初相的复数就叫做正弦量的相量。同样，正弦电压的相量为(4-7)第32页/共333页

相量是一个复数，它表示一个正弦量，所以在符号字母上加上一点，以与一般复数相区别。特别注意，相量只能表征或代表正弦量而并不等于正弦量。二者不能用等号表示相等的关系，只能用“”符号表示相对应的关系相量也可以用振幅值来定义。第33页/共333页图4.6正弦量的相量图第34页/共333页

例4.5

已知正弦电压u1(t)=141sin(ωt+π/3)V，u2(t)=70.5sin(ωt-π/6)V，写出u1和u2的相量，并画出相量图。解

相量图如图4.7所示。第35页/共333页图4.7例4.5图第36页/共333页

例4.6

已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们的相量分别为 ，试求这两个电压的解析式。解第37页/共333页4.2.2两个同频率正弦量之和设有两个同频率正弦量利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即其中第38页/共333页

可以看出，要求出同频率正弦量之和，关键是求出它的有效值和初相。可以证明，若u=u1+u2，则有

因此，同频率正弦量相加的问题可以化成对应的相量相加的问题。其步骤为：

(1)由相加的正弦量的解析式写出相应的相量，并表示为代数形式。

(2)按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。

(3)由和的相量的有效值和初相写出和的正弦量。第39页/共333页图4.8两个相量加减的三角形法则第40页/共333页图4.9相量加减的多边形法则第41页/共333页例4.7求uA+uB和uA-uB。解(1)相量直接求和。第42页/共333页则(2)作相量图求解。见图4.10，根据等边三角形和顶角为120°的等腰三角形的性质可以得出上述同样的结果，读者自行分析。第43页/共333页图4.10例4.7图第44页/共333页练习与思考4.2-1下列电压、电流中，哪几个能用相量表示?哪几个能按相量进行运算?第45页/共333页4.2-2写出下列各正弦量对应的相量4.2-3已知i1(t)=17.3sin2000tmA，i2(t)=10cos2000tmA，求i=i1+i2,并作相量图。第46页/共333页4.2-4两个同频率正弦电压u1(t)、u2(t)的有效值各为40V、30V。

(1)什么情况下它们之和的有效值分别为70V和10V?(2)什么情况下它们之和的有效值为50V?(3)什么情况下它们之和的有效值最大?是多少?(4)什么情况下它们之和的有效值最小?是多少?第47页/共333页4.3电容元件和电感元件4.3.1电容元件

1.电容元件电容元件是各种实际电容器的理想化模型，其符号如图4.11(a)所示。当电容器的两极板间加上电压时，沿电压的方向将有等量的正、负电荷分别聚集在两个极板上，于是两极板间建立了电场，电源能量转换为电场能储存在电容器中。当外加电压去掉后，电荷可以继续聚集在极板上，电场依然存在。电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电容，理想电容器只存储电能而不消耗电能，它的电容为一常数，电荷量q总是与端电压u成线性关系，即

q=Cu

(4-8)第48页/共333页

电容C是体现电容元件储存电荷能量大小的参数。SI中电容的单位为法拉，简称法，符号为F。常用单位有微法(μF)和皮法(pF)。式(4-8)表示电容元件电荷量与电压之间的约束关系，称为线性电容的库伏特性，它是过坐标原点的一条直线。如图4.11(b)所示。一般电容器不特别声明，都当作理想电容。第49页/共333页2.电容元件的伏安特性对于图4.11(a)，当u、i取关联参考方向时，结合式(4-8)，有(4-9)当u＞0，且du/dt＞0时，电容极板上的电荷随之增加，这就是电容的充电过程，此时，i>0，即电流的实际方向与图4.11(a)中的参考方向相同。当du/dt<0时，电容极板上的电荷随之减少，这就是电容的放电过程，此时，i<0,即电流的实际方向与图4.11(a)中的参考方向相反。第50页/共333页图4-11理想电容的符号和特性第51页/共333页

式(4-9)为电容元件在u、i为关联参考方向下的伏安特性，当u、i为非关联参考方向时，有电容的伏安特性说明：任一瞬间，电容电流的大小与该瞬间电压变化率成正比，而与这一瞬间电压大小无关。即使电容两端电压很高，但不变化，电流值仍为零。反之，当电压为零时，电流不一定为零。由于在电压变动条件下电路才有电流，所以电容元件又称为动态元件，它所在的电路称为动态电路。在直流激励的电路中，达到稳定状态后，电容电压保持不变，其电流为零，相当于开路。可见,电容具有隔直流作用。第52页/共333页

电容电压的变化受到电流的约束。电容电流为有限值，因而电容电压不能跃变。对式(4-9)进行积分可求出某一时刻电容的电压值。任选初始时刻t0以后，t时刻的电压为若取t0=0，则(4-10)第53页/共333页3．电容元件的电场能关联参考方向下，电容吸收的功率

电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时，总共吸收的能量，即t时刻电容的电场能量。(4-11)当电容电压由u减小到零时，释放的电场能量也按上式计算。第54页/共333页

动态电路中，当电容的u、i方向一致，即电容充电时，p＞0，|u|增大，电容从外电路吸收能量。当u、i方向相反，即电容放电时，p＜0，|u|减小，电容向外电路释放能量。可见在动态电路中，电容和外电路进行着电场能和其它能的相互转换，本身不消耗能量。第55页/共333页

例4.8(1)2μF电容两端的电压由t=1μs时的6V线性增长至t=5μs时的50Ｖ，试求在该时间范围内的电流值及增加的电场能。

(2)原来不带电荷的100μF的电容器，今予以充电，充电电流为1mA，持续时间为2s，求电容器充电后的电压。假定电压、电流都为关联参考方向。

解

(1)由式(4-9)得增加的电场能量第56页/共333页(2)由式(4-10)和已知条件u(0)=0，求出2s末的电压第57页/共333页4．电容的串、并联

(1)电容的并联如图4.12所示，并联的每一个电容两端电压相同，为u。等效电容的电荷量

q=q1+q2+q3

对于线性电容元件有q=Cu，q1=C1u，q2=C2u，q3=C3u

代入电荷量关系式得Cu=(C1+C2+C3)u

第58页/共333页图4.12电容的并联第59页/共333页则(4-12)

电容并联的等效电容等于各电容之和。电容的并联使总电容值增大。当电容器的耐压值符合要求，但容量不够时，可将几个电容并联。第60页/共333页(2)电容的串联如图4.13所示，串联的每个电容上的电荷量相同，为q。由KVL得u=u1+u2+u3

对于线性电容元件有代入电压关系式得则(4-13)第61页/共333页图4.13电容的串联第62页/共333页电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数之和。电容的串联使总电容值减少。每个电容的电压为分压值与各电容成反比，小电容分得高电压。而两个电容串联时，有(4-14)两个电容的分压值为(4-15)第63页/共333页

例4.9

电容都为0.3μF，耐压值同为250V的三个电容器C1、C2、C3的连接如图4.14所示。试求等效电容，问端口电压值不能超过多少?

解

C2、C3

并联等效电容C23=C2+C3=0.6μF总的等效电容C1小于C23，则u1＞u23，应保证u1不超过其耐压值250V。当u1=250V时，所以端口电压不能超过u=u1+u23=250+125=375V。第64页/共333页图4.14例4.9图第65页/共333页4.3.2电感元件

1．电感元件电感元件是实际电感线圈的理想化模型。其符号如图4.15(b)所示。图4.15电感元件的符号和特性第66页/共333页

用导电性能良好的金属线绕在某种材料制成的骨架上就成为实际的电感线圈。线圈内装有铁磁材料的叫铁心线圈，不装的叫空心线圈。当线圈中有电流时，在线圈内部及周围建立了磁场，由于线圈的密绕而磁场主要集中在线圈内部。电流通过线圈产生磁通Φ，它与N匝线圈相交链，线圈的磁链Ψ=NΦ。通常在选定Φ和Ψ与产生它的电流i的参考方向符合右手螺旋定则，如图4.15(a)所示。在SI中，Φ的单位与Ψ相同，为韦(伯)，符号为Wb。其它单位有麦克斯韦(Mx)，1Mx=10-8Wb。电阻不计的空心线圈只储存磁能而不消耗能量，可以用理想电感元件的模型表示。第67页/共333页

磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感或自感。理想电感元件的电感为一常数，磁链Ψ总是与产生它的电流i成线性关系，即(4-16)

电感L是体现电流激励的磁场强弱的参数。在SI中，电感的单位为亨(利)，符号为H，常用的单位有毫亨(mH)、微亨(μH)。式(4-16)所表示的电感元件磁链与产生它的电流之间的约束关系称为线性电感的韦安特性,是过坐标原点的一条直线，如图4.15(c)所示。第68页/共333页

2．电感元件的伏安特性根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁通的参考方向符合右手螺旋定则时，可得当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时，结合式(4-16)有式(4-17)称为电感元件在u、i取关联参考方向时的伏安特性，当u、i为非关联参考方向时，有第69页/共333页

电感元件的伏安特性说明：任一瞬间，电感元件端电压的大小与该瞬间电流的变化率成正比，而与该瞬间的电流无关。即使电感的电流很大，但不变化，电压仍为零。反之，电流为零时，电压不一定为零。由于在电流变动的条件下才有电压，所以电感元件也称为动态元件，它所在的电路称为动态电路。在直流激励的电路中，达到稳态后，电感的电流始终不变，它的电压为零，相当于短路。可见电感对直流起短路作用。电感电流的变化受到电感电压的约束，电感电压为有限值，因而电感电流不能跃变。第70页/共333页

对式(4-17)进行积分可求出某一时刻电感的电流值。任选初始时刻t0后，t时刻的电流为(4-18)若取t=0，则(4-19)

由此说明，某一瞬间的电流能反映以前电压的情况，即电感电流有“记忆”电压作用。第71页/共333页3.电感元件的磁场能关联参考方向下，电感吸收的功率电感电流从i(0)=0增大到i(t)时，总共吸收的能量，即t时刻电感的磁场能量(4-20)

当电感的电流从某一值减小到零时，释放的磁场能量也可按上式计算。在动态电路中，当电感元件的u、i方向一致时，p＞0，|i|增大，电感从外电路吸收能量。当电感元件的u、i方向相反时，p＜0，|i|减小，电感向外电路释放能量。可见在动态电路中，电感元件和外电路进行着磁场能与其它能相互转换，本身不消耗能量。第72页/共333页

例4.10

电感元件的电感L=100mH，u和i的参考方向一致，i的波形如图4.16(a)所示，试求各段时间元件两端的电压uL，并作出uL的波形，计算电感吸收的最大能量。图4.16例4.10图第73页/共333页解

uL与i所给的参考方向一致，各段感应电压为(1)0～1ms间，(2)1～4ms间,电流不变化，得uL=0(3)4～5ms间，uL的波形如图4.16(b)所示。吸收的最大能量第74页/共333页练习与思考4.3-1恒定电流4A从t=0时开始对电容充电，C=2μF。问在10s后的储能是多少?100s后又是多少?设电容初始电压为零。

4.3-2有两个电容器，一个为200μF/400V，一个为100μF/200V。今串联使用。外接直流电压500V，问是否安全?4.3-3若电流通过2H的电感能产生20V的恒定电压，问该电流由1A增长至5A所需时间应是多少?求出此段时间内增加的磁场能量。第75页/共333页4.3-4图4.17所示的部分电路中，已知：R=3Ω，L=1/2H，C=1/4F,ucd(t)=(6e－2t-4e－4t)V。试求uad(t)。图4.17题4.3-4图第76页/共333页4.3-5有的电阻器用电阻丝绕制而成，为了使它没有电感，常用双绕法，如图4.18所示，说明其理由。图4.18题4.3-5图第77页/共333页4.3-6分析两个电感线圈串、并联的等效电感。本节内容对应习题为4.9~4.13。第78页/共333页4.4三种元件伏安特性的相量形式4.4.1电阻元件

1．伏安特性在图4.19(a)中，设电流为按照关联参考方向下电阻的伏安特性，有第79页/共333页上式表明:电阻两端电压u和电流i为同频率同相位的正弦量，它们之间关系如下(4-21)θi=0时的u和i

的波形如图4.20所示。电阻上电压相量和电流相量的关系为即(4-22)第80页/共333页

式(4-22)就是电阻伏安特性的相量形式。它不仅表明了电阻电压和电流之间有效值的关系，而且包含了相位关系，与式(4-21)的意义相同。根据式(4-22)画出电阻的相量模型如图4.19(b)所示，相量图如图4.19(c)所示。第81页/共333页图4.19电阻元件的相量模型及相量图第82页/共333页

2．功率关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率p=ui，为了计算方便，取θi=0，则其波形如图4.20所示。它随时间周期性变化，其值总是正的。这说明电阻始终消耗功率，是耗能元件。图中阴影面积的值相当于一个周期内电阻消耗的能量。第83页/共333页图4.20电阻元件i、u、p波形第84页/共333页

瞬时功率一般不便应用，因此工程中都用平均功率这一概念。平均功率定义为瞬时功率p在一个周期T内的平均值，用大写字母P表示。即与直流电路中的情况相类似，这里P是平均功率，U和I是有效值。由于平均功率反映了实际耗能的情况，所以又称为有功功率，其单位是瓦(W)或千瓦(kW)，一般电气设备所标的额定功率以及功率表测量的都指有功功率，习惯上简称功率。(4-23)第85页/共333页

例4.11

一电阻R=100Ω，通过的电流i(t)=1.41sin(ωt-30°)A。试求

(1)R两端电压U和u；

(2)R消耗的功率P。

解

(1)电流电压第86页/共333页或利用相量关系求解对应的正弦量有效值第87页/共333页(2)R消耗的功率P=UI=1×100=100W或P=I2R=1×100=100W第88页/共333页4.4.2电感元件

1．伏安特性在图4.21(a)中，设通过电感元件的电流为 ，按照关联参考方向下电感的伏安特性，有上式表明电感两端电压u和电流i是同频率的正弦量，电压超前电流90°。用XL表示ωL后，电压和电流有效值关系为U=XLI(Um=XLIm)。即第89页/共333页图4.21电感元件的相量模型及相量图第90页/共333页(4-24)而(4-25)称为感抗，单位为欧姆。由式(4-25)可见，XL是表示电感对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量。XL与电源频率及电感成正比。感抗的倒数(4-26)称为感纳，单位为西门子(S)。第91页/共333页电感电流相量和电压相量的关系为即

式(4-27)就是电感在关联参考方向下伏安特性的相量形式,它不仅表明电感电压和电流有效值的关系,而且也表明了它们之间的相位关系,与式(4-24)的意义相同。由式(4-27)画出电感的相量模型如图4.21(b)，相量图如图4.21(c)所示。第92页/共333页2．功率在关联参考方向下，当θi=0时,电感吸收的瞬时功率为由上式可见p是以两倍于电流的频率按正弦规律变化，如图4.22所示。最大值为UI或I2XL。电感储存磁场能量第93页/共333页图4.22电感元件的i，u，p波形第94页/共333页磁场能量在最大值 和零之间周期性地变化,总是大于零。从图4.22可以看出，电感在某一个1/4周期从外部吸收多少能量，在另一个1/4周期释放多少能量，本身不消耗能量，平均功率为零。P也可以由下式计算出为了衡量电感与外部交换能量的规模，引入无功功率,(4-28)第95页/共333页电感元件交换能量的规模应为由此可见，QL的大小反映了电感元件交换能量的规模(或吞吐量的大小)。无功功率并不是实际做功的功率。为了与有功功率相区别，它的单位为伏安，其符号为V·A。第96页/共333页

例4.12

流过0.1H电感的电流为 ，试求关联参考方向下电感两端的电压u、无功功率及磁场能量的最大值。

解用相量关系求解对应的正弦电压无功功率第97页/共333页磁场能量的最大值或第98页/共333页4.4.3电容元件

1．伏安特性在图4.23(a)中，设加在电容两端的电压为图4.23电容元件的相量模型及相量图第99页/共333页按照电容关联参考方向下的伏安特性，有

上式表明电容电流和端电压是同频率的正弦量，电流超前电压90°。用XC表示1/ωC后，电流和电压的关系为或(4-29)第100页/共333页而(4-30)称为容抗，单位是欧姆。由式(4-30)可见，XC是表示电容对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量。XC与电源的频率及电容成反比。容抗的倒数(4-31)称为容纳,单位是西门子(S),电容电流相量和电压相量的关系为第101页/共333页即(4-32)式(4-32)就是电容在关联参考方向下伏安特性的相量形式。它不仅表明了电容电压和电流有效值的关系。而且也表明了它们之间的相位关系，与式(4-29)意义相同。由式(4-32)画出电容元件的相量模型如图4.23(b)所示，相量图如图4.23(c)所示。第102页/共333页

2．功率在关联参考方向下，当θu=0时，电容吸收的瞬时功率为由上式可见，p是以两倍于电压的频率按正弦规律变化，如图4.24所示。最大值为UI或I2XC。电容储存电场能量第103页/共333页电场能量在最大值 和0之间周期性地变化,总是大于零。从图4.24还可以看出，电容在某一个1/4周期从外部吸收多少能量，在另一个1/4周期内释放多少能量，它本身不消耗能量，平均功率为零。也可以由下式计算出为了衡量电容与外部交换能量的规模引入无功功率QC，(4-33)电容的无功功率的单位与电感的无功功率的单位相同。第104页/共333页电容元件交换能量的规模为由此可见，QC的大小反映了电容元件交换能量的规模(或吞吐量的大小)。第105页/共333页图4.24电容元件的u、i、p波形第106页/共333页

例4.13

流过0.5F电容的电流 ，试求关联参考方向下，电容的电压u、无功功率和电场能量的最大值。

解用相量关系求解A301-=I&故第107页/共333页无功功率电场能量最大值第108页/共333页练习与思考4.4-1已知一电感线圈通过50Hz正弦电流时感抗为50Ω；频率为10kHz时，其感抗为多少?4.4-2已知一电容器电流为50Hz正弦电流时，电压为100mＶ。电流有效值不变，频率变为1000Hz时，电压有效值变为多少?第109页/共333页4.5基尔霍夫定律的相量形式4.5.1基尔霍夫节点电流定律的相量形式根据基尔霍夫节点电流定律，在正弦电路中，对任一节点而言，与它相连接的各支路电流任一时刻的瞬时值的代数和为零，即

根据正弦量的和差与它们相量和差的对应关系，可以推出：正弦电路中任一节点，与它相连接的各支路电流的相量代数和为零，即(4-34)第110页/共333页4.5.2回路电压定律的相量形式根据基尔霍夫回路电压定律，在正弦电路中，对任一闭合回路而言，各段电压任一刻瞬时值的代数和为零，即∑u(t)=0同理可以推出正弦电路中，任一闭合回路，各段电压的相量代数和为零，即

式(4-35)就是基尔霍夫回路电压定律的相量形式，简称KVL的相量形式。它可用相量图表示。各段电压的相量组成了一个封闭的多边形。第111页/共333页

综上所述，正弦电路的电流、电压的瞬时值关系，相量关系都满足KCL和KVL，而有效值的关系一般不满足，要由相量的关系决定。因此正弦电路的某些结论不能从直流电路的角度去考虑。例如，总电压的有效值不一定大于各串联部分电压的有效值。总电流的有效值不一定大于各并联支路电流的有效值。第112页/共333页

例4.14

正弦电路中，与某一个节点相连的三个支路电流为i1、i2、i3。已知i1、i2流入，i3流出， ，求i3

。

解先写出i1和i2的相量(注意，i1的初相应为60°+90°=150°)i3的相量为，由KCL得则第113页/共333页练习与思考4.5-1图4.25所示的并联正弦电路中，元件1和2为R、L、C中哪一种时，有下列关系：

(1)I1+I2=I，(2)I1-I2=I，(3)I12+I22=I24.5-2图4.26所示的串联正弦电路中，元件1和2为R、L、C中哪一种时，有下列关系：

(1)U1+U2=U，(2)U1－U2=U，(3)U12+U22=U2第114页/共333页图4.25题4.5-1图第115页/共333页图4.26题4.5-2图第116页/共333页4.6RLC串联电路

图4.27(a)所示为R、L、C串联正弦电路，首先分析端口电压和电流的关系。图4.27RLC串联电路及相量模型第117页/共333页4.6.1电压与电流的关系

R、L、C串联电路的相量模型如图4.27(b)所示。由于是串联电路，电流相同，所以以电流的相量为参考相量作出相量图，如图4.28(a)所示，图中设UL>UC。图4.28RLC串联电路的相量图第118页/共333页

显然， 组成一个直角三角形，称为电压三角形，由电压三角形可得、、由此可见，通常正弦电路端口电压的有效值不等于各串联元件的电压有效值之和。U也可以写成相量形式，即(4-36)上式中的Z称为复阻抗，Z不代表正弦量，是复数但不是相量，因此上边不加“·”。式(4-36)就是RLC串联电路伏安特性的相量形式，可用图4.27(b)所示的相量模型表示。第119页/共333页其中X=XL-XC称为电抗，|Z|和φz分别称为复阻抗的模和阻抗角，其关系为(4-38)(4-37)显然|Z|、R、X也组成一个直角三角形，称为阻抗三角形，与电压三角形相似。设端口电压电流的相量分别为第120页/共333页则由上式可得(4-39)可见，复阻抗的模等于端口电压和电流有效值之比，阻抗角等于电压与电流的相位差。第121页/共333页4.6.2电路的三种性质根据RLC串联电路的电抗

随着ω、L、C的变化，RLC串联电路有以下三种不同性质：

(1)当ωL>1/ωC时，X>0，φz>0，UL>UC。UX超前电流90°，端口电压超前电流。这时，电路呈感性，可以等效成电阻与电感串联的电路，相量图如图4.28(a)所示。此时，WLm>WCm，电路除电阻的耗能外，与外部进行着磁场能量的交换。.第122页/共333页(2)当ωL<1/ωC时，X<0，φz<0，UL<UC，Ux滞后电流90°，端口电压滞后电流。这时电路呈容性，可等效成电阻与电容串联的电路。相量图如图4.28(b)所示。此时，WLm<WCm，电路除电阻耗能外，与外部进行电场能量的交换。

(3)当ωL=1/ωC时，X=0，φz=0，UL=UC，Z=R。端口电压与电流同相，电路呈阻性,WLm=WCm。这是一种特殊状态，称为谐振，将在4.11节中进一步研究。相量图如图4.28(c)所示。当L、C固定不变，ω由小变大时，电路由容性经阻性变为感性。第123页/共333页

任何无源二端网络和无源二端元件都可以引入它的复阻抗，端口伏安特性的相量形式都可以用式(4-36)表示。RL串联电路、RC串联电路、LC串联电路、电阻元件、电感元件、电容元件都可以看成RLC串联电路的特例。

R、L、C的复阻抗Z分别为R、jXL、－jXC，φz分别为0、90°、-90°。

RL串联，RC串联，

由RLC串联各阻抗的关系，可以推广到阻抗串联的一般情况，其等效阻抗等于各串联阻抗之和。第124页/共333页

例4.15

图4.29(a)所示为RC串联移相电路,u为输入正弦电压,以uC为输出电压。已知，C=0.01μF，u的频率为6000Hz，有效值为1V。欲使输出电压比输入电压滞后60°，试问应选配多大的电阻R?在此情况下，输出电压多大?图4.29例4.15图第125页/共333页

解作出相量图，如图4.29(b)所示。容性电路的阻抗角为负值，根据已知，有φz=－30°即可得在此情况下，输出电压第126页/共333页练习与思考4.6-1图4.30所示的电路中，电压表V1、V2的读数都是50V，试分别求图(a)、(b)电路中电压表V的读数。图4.30题4.6-1图第127页/共333页

4.6-2

图4.31所示电路中，(1)V1、V2、V3的读数均为50V，试求电路中电压表V的读数。(2)V的读数为5V，V1的读数为3V，V2的读数为8V，试求V3的读数。图4.31题4.6-2图第128页/共333页4.6-3图4.32所示电路中，电压表V1的读数为12V，V3的读数为40V，V的读数为20V，分别求出V4，V2的读数。图4.32题4.6-3图第129页/共333页4.6-4一个电磁铁加上220V的工频电压时，线圈的电流在22A以上才能吸紧衔铁，已知感抗为8Ω，试问：线圈的电阻不应大于多少?(电磁铁当作电感和电阻的串联)。

4.6-5Z=536.9°Ω的阻抗串联一电容后，端口电压、电流的有效值不变，求容抗XC。本节内容对应习题为4.18~4.24。第130页/共333页4.7RLC并联电路

图4.33(a)所示为R、L、C并联正弦电路。首先分析端口电压和电流的关系。图4.33RLC并联电路及相量模型第131页/共333页4.7.1电压与电流的关系

R、L、C并联电路的相量模型如图4.33(b)所示，由于是并联电路，电压相同，所以以电压相量为参考相量作出相量图如图4.34(a)所示。图中设IC>IL。图4.34RLC并联电路的相量图第132页/共333页

显然， 也组成一个直角三角形，称为电流三角形。由电流三角形可得、、、由此可见，通常正弦电路端口电流的有效值不等于并联的各元件电流有效值之和。I也可以写成相量形式，即(4-40)

上式中的Y称为等效复导纳，与复阻抗一样，Y不代表正弦量，是复数但不是相量。式(4-40)就是RLC并联电路伏安特性的相量形式。Y=G+j(BC-BL)=G+jB=|Y|φy第133页/共333页其中B=BC-BL称为电纳，|Y|和φy分别称为导纳的模和导纳角。其关系为(4-41)(4-42)设端口电流、电压相量分别为则第134页/共333页由上式可得(4-43)由此可见，导纳的模等于端口电流和电压有效值之比，导纳角等于电流与电压的相位差。第135页/共333页4.7.2电路的三种性质随着ω、L、C的变化，根据RLC并联电路的电纳RLC并联电路有以下三种不同性质：

(1)当ωC>1/ωL时，B>0,φy>0,IC>IL,IB超前电压90°，端口电流超前电压。这时，电路呈容性，可等效成电阻与电容并联的电路。相量图如图4.34(a)所示。此时，WCm>WLm,电路除电阻的耗能外，与外部进行着电场能量的交换。.第136页/共333页(2)当ωC<1/ωL时，B<0,φy<0，ＩＣ<IＬ，ＩB滞后电压90°，端口电流滞后电压。这时电路呈感性，可等效成电阻与电感并联的电路，相量图如图4.34(b)所示。此时,WCm<WLm,电路除电阻耗能外，与外部进行磁场能量的交换。

(3)当ωC=1/ωL时，B=0，φy=0，IC=IL。IB=0，Y=G，I=IG，端口电流与电压同相，电路呈阻性，WCm=WLm,如图4.34(c)所示。这也是一种特殊情况，称为谐振，将在4.12节中进一步研究。当L、C固定，ω由小变大时，RLC并联电路由感性经阻性变为容性。第137页/共333页

任何无源的二端网络和无源二端元件，都可引入它的导纳。端口的伏安特性都可以用式(4-40)表示。R、L、C元件，RL并联电路，RC并联电路，LC并联电路都可以看成RLC并联电路的特例。

R、L、C三种元件的复导纳分别为G、－jBL、jBC，φy分别为0、-90°、90°。RL并联电路，RC并联电路，

由RLC并联各导纳的关系，可以推广到导纳并联的一般情况，等效导纳等于并联导纳之和。第138页/共333页4.7.3复阻抗和复导纳的等效互换通过对RLC串、并联电路的分析可知，同一无源二端网络，复阻抗与导纳互为倒数。复阻抗联系着串联电路输入端电压相量与电流相量的关系，即 。而复导纳联系着并联电路输入端电流相量与电压相量的关系，即 根据等效概念，在端口电压、电流相同的条件下，复阻抗与复导纳相互等效，则串联电路与并联电路也相互等效，其等效互换的关系为Z=1/Y，ZY=1。此式还可写成即|Z||Y|=1,,则φz+φy=0，因此第139页/共333页

根据上式可以推导出两种等效电路参数间的关系。对于串联电路，有则其中 是把R和X串联电路等效变换为并联电路时电导和电纳的计算公式。第140页/共333页对于并联电路，有则其中 是把G和B并联电路等效变换为串联电路时电阻和电抗的计算公式。从以上可以看出应当指出的是，只有在某一固定频率的条件下才能进行复阻抗与复导纳的等效互换。第141页/共333页

例4.16

R、L串联电路图4.35(a)所示。Ｒ＝５0Ω，Ｌ＝０.06mH，ω=10６rad/s，把它等效为图(c)所示的R′、L′并联电路，试求Ｒ′和L′的大小。图4.35例4.16图第142页/共333页

解图4.35(a)所示电路的等效并联电路如图4.35(c)所示，对于图4.35(a)所示电路，有故有对于图4.35(b)所示电路，有Y′=G+jBL，等效时应有Y=Y′的关系，故第143页/共333页则第144页/共333页练习与思考4.7-1图4.36中，电流表A1，A2的读数都是10A，求电流表A的读数。图4.36题4.7-1图第145页/共333页

4.7-2

图4.37中，已知电流表A1，A2

，A3的读数均为10A，求电流表A的读数。图4.37题4.7-2图第146页/共333页4.7-3图4.38中，R=5Ω，XL=4Ω，当开关S打开或闭合时，电流表的读数不变，求XC。图4.38题4.7-3第147页/共333页4.7-4图4.39中，XL=10Ω，开关S打开和闭合时电流表的读数都是5A,求XC。图4.39题4.7-4图第148页/共333页4.7-5RC串联到角频率为ω、有效值为U1的正弦电压。试证明本节内容对应习题为4.25~4.29。第149页/共333页4.8用相量法分析正弦交流电路4.8.1复阻抗混联电路的分析计算

例4.17

电路如图4.40(a)所示,求i、iC、iL。图4.40例４.17图第150页/共333页解写出已知正弦电压的相量作相量模型,如图4.40(b)所示。其中，电感元件和电容元件的复阻抗分别为第151页/共333页第152页/共333页由各相量写出对应的正弦量第153页/共333页例４.18

图4.41(a)所示的电路中,端口电压，计算uab。图4.41例４.18图第154页/共333页解端口正弦电压的相量作相量模型，如图4.41(b)所示。R1和R2所在支路的复阻抗分别为第155页/共333页则由KVL得第156页/共333页由相量写出相应的正弦量第157页/共333页

例4.19

图4.42(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压u2与端口电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。图4.42例4.19图第158页/共333页解

RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用Ｚ１和Ｚ２表示，且原电路的相量模型为Ｚ1，Ｚ2的串联，如图4.42(b)，由分压关系得由题意知，与同相时，，而第159页/共333页那么则第160页/共333页即则U2和U同相， 且为最大值。第161页/共333页4.8.2用网孔法和节点法分析正弦电路例4.20

图4.43所示电路中，R=5Ω,XC=2Ω，XL=5Ω，求各支路的电流。

解各支路电流 和网孔电流 的参考方向如图中所示，网孔方程为第162页/共333页那么第163页/共333页第164页/共333页图4.43例4.20图第165页/共333页

例4.21图4.44(a)为RC滞后移相电路，输入电压的有效值为已知，角频率ω可以调节。试求出输出电压uo比ui滞后90°时的ωo及Uo。图4.44例4.21图第166页/共333页

解作相量模型如图4.21(b)，为了简捷，用节点法，把右边R和C的联接点当作一个节点2，计算出该点的电压即的相量，节点方程为则第167页/共333页依题意，有即或则而由此可知，当Uo比Ui滞后90°时， 且为最大。第168页/共333页4.8.3用代文宁定理分析正弦电路

例4.22

用代文宁定理计算例4.20中R支路的电流。

解先将图4.43所示的电路改画为图4.45(a)所示的电路，由R两端向左看进去，是一个有源二端网络。图4.45例4.22图第169页/共333页先求其开路电压再求输入复阻抗计算电流的等效电路如图4.45(b)所示，则第170页/共333页

例4.23已知 ,G=1S,ωC=1S，，试求图4.46所示电路中的。

解用节点法列节点方程整理，得第171页/共333页从而得则第172页/共333页图4.46例4.23图第173页/共333页4.8.4相量图法用作相量图来分析正弦电路的方法叫相量图法。这种方法不但形象直观，而且对某些特殊的情况还可避免繁琐的计算。作相量图时，先确定参考相量。对并联的电路，可以电压为参考相量；对串联电路，可以电流为参考相量。把依靠列出相量方程分析正弦电路的方法叫做相量解析法。它和相量图法都属于相量法不可缺少的部分，它们的依据都是相同的。第174页/共333页

例4.24

图4.47(a)所示电路的相量模型中，IL=I=10A，U1=U2=200V，求XC。图4.47例4.24图第175页/共333页

解先作相量图，如图4.47(b)所示，以U2为参考相量，由电阻、电感元件的性质及IL=I的条件作出IL和I相量。由KCL给出IC=IL+I的关系，作出IC相量。由电容元件的性质，作出UC相量。由KVL给出U1=UC+U2的关系及U1=U2的条件作出端口电压U1的相量。特别注意U1的位置。由相量图可知...............而第176页/共333页

例4.25

图4.48(a)所示的并联复阻抗电路中，U=20V，Z1=3+j4Ω。开关S合上前后I的有效值不变，开关合上后的I与U同相。试求Z2。..图4.48例4.25图第177页/共333页.

解根据题中所给条件，以电压U为参考相量，如图4.48(b)所示。由Z1=3+j4Ω可知，负载Z1为感性，I1滞后U， 由此确定出I1的位置。S合上前、后， ,I和U同相，且 ，所以I1

，I2及I组成一个等腰三角形，两个底角为(180°-53°)/2=63.5°。那么，复阻抗Z2的阻抗角φ2=-63.5°。........由相量图可知第178页/共333页则而第179页/共333页练习与思考4.8-1图4.49表示电子电路中常用的脉冲分压器。试证明，R1C1=R2C2时，分压比U2/U1=R2/(R1+R2),与输入电压的频率无关。..图4.49题4.8-1图第180页/共333页4.8-2用相量图法求出例4.19的ω0。

4.8-3图4.50所示电路中，IS1=10°A，IS2=j2A,Z1=j2Ω,Z2=-j1Ω,Z=1Ω,试求I。

4.8-4例4.18中，若R2与C位置对调，计算uab。...第181页/共333页图4.50题4.8-3图第182页/共333页4.9正弦交流电路中的功率4.9.1有功分量和无功分量

1.电压的有功分量和无功分量对于图4.51(a)所示的无源二端网络，定义出关联参考方向下的复阻抗为Z=R+jX则第183页/共333页

可见对电流而言，网络的电压相量，可以分解成两个分量Ua和Ur,相量图如图4.51(b)所示，相量模型如图(c)所示。与I同相的Ua叫做电压的有功分量，其模Ua=Ucosφz就是二端网络等效电阻R上的电压，它与电流的乘积UaI=UIcosφz=P就是网络吸收的有功功率。另一个与I相差90°的叫做电压的无功分量；其模Ur=Usinφz就是网络的等效电抗X上的电压,它与电流的乘积UrI=UIsinφz就是网络吸收的无功功率。.....第184页/共333页图4.51电压电流相量的分解第185页/共333页2．电流的有功分量和无功分量图4.51(a)所示的无源网络，还可定义出关联参考方向下的导纳为则第186页/共333页4.