（江苏专用）高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第八篇《第48讲　空间几何体的表面积与体积》理（含解析） 苏教版

PAGEPAGE82023高考总复习江苏专用（理科）：第八篇《第48讲空间几何体的外表积与体积》（根底达标演练+综合创新备选，含解析）A级根底达标演练(时间：45分钟总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1．(2023·常州模拟)在三棱锥S­ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，那么三棱锥S­ABC的外表积是________．解析设侧棱长为a，那么eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，侧面积为3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面积为eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，外表积为3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)2．(2023·湖北)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，假设放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如下图)，那么球的半径是________cm.解析设球的半径为rcm，那么πr2×8＋eq\f(4,3)πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4cm.答案43．(2023·苏州模拟)如下图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，那么该多面体的体积是________．解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为eq\f(\r(3),2)，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为eq\f(\r(2),2)，所以体积V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案eq\f(\r(2),6)4．(2023·扬州模拟)如下图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，那么三棱锥B1­ABC1解析三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案eq\f(\r(3),12)5．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，那么满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，准确到1m)．解析卫生纸总长度为eq\f(π602－202,0.1)≈3.14×32000＝100480(mm)≈100(m)．答案1006．(2023·苏州模拟)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如下图，那么该凸多面体的体积V＝________.解析该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，因为正方体的棱长为1，所以V正方体＝13＝1，因为正四棱锥的棱长全为1，所以正四棱锥的底面积为1×1＝1，又因为正四棱锥的高为eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以此凸多面体的体积V＝1＋eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(2),2)＝1＋eq\f(\r(2),6).答案1＋eq\f(\r(2),6)7．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到平面β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，且满足P到β的距离是P到点A距离的2倍，那么点P到平面γ的距离的最小值为________．解析由题意，可在平面α建立直角坐标系如下图，问题变为已知PB＝2PA，求PC的最小值，设P(x，y)，那么有3－x＝2eq\r(x2＋y2)，即4y2＝－3(x＋1)2＋12≤12，y≤eq\r(3)，所以PC＝3－y≥3－eq\r(3)，故所求的最小值为3－eq\r(3).答案3－eq\r(3)二、解答题(每题15分，共45分)8．在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其外表积．解(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VABCD＝VABPC＋VDBPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(当且仅当x＝eq\f(\r(6),2)a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为eq\f(\r(6),2)a，∴S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.9．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，求这个三棱锥的体积．解如下图，正三棱锥S­ABC.设H为正△ABC的中心，连接SH，那么SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，那么E为BC的中点，且AH⊥BC.因为△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3)，所以AH＝eq\f(2,3)AE＝2eq\r(3).在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝9eq\r(3).在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15)，AH＝2eq\r(3)，所以SH＝eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(15－12)＝eq\r(3)，故V正三棱锥＝eq\f(1,3)S△ABC·SH＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×eq\r(3)＝9.10．如下图，斜三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1和底面相邻两边AB、AC都成45°角，求这个三棱柱的侧面积．解求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．因为AA1和底面AB、AC成等角，且为45°角，所以A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分线AG上，又△ABC为正三角形，所以AG⊥BC.因为A1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BC⊥A1又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC，即侧面B1BCC1所以SB1BCC1＝B1B·BC＝ab.又侧面A1ABB1和侧面A1ACC1都是平行四边形，且全等，所以SA1ABB1＝SA1ACC1＝A1A·AB·sin45°＝eq\f(\r(2),2)ab，故S侧＝(eq\r(2)＋1)ab.B级综合创新备选(时间：30分钟总分值：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．(2023·南京模拟)用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是________．解析底面圆的周长为πR，底面圆的半径为eq\f(R,2)，所以圆锥高为h＝eq\r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)R.答案eq\f(\r(3),2)R2．(2023·南京调研)如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，那么一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如下图的实线局部，那么可知所求最短路线的长为eq\r(52＋122)＝13cm.答案133．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM＝2，P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，那么点P的轨迹是________．解析由PM＝2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上．又由P到直线A1D1的距离为eq\r(5)，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点．答案两个点4．(2023·扬州中学冲刺)在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于A、B两点，这两个点的距离AB＝5，那么小球的半径为________．解析如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝5，∠ACB＝120°，所以∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝5.答案55．(2023·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，那么当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，ACeq\o\al(2,1)＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，S△AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)6．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD­A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有以下四个说法：①水的局部始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中所有正确的命题的序号是________．解析观察图形并试验可知①正确，②不正确；③正确．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1为定值，故正确命题是①③④答案①③④二、解答题(每题15分，共30分)7．给出一块边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积．解取等边三角形三边的中点A、B、C，连结AB、BC、CA得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，那么得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥S­ABC，作SO⊥平面ABC，连结并延长CO交AB于E，那么E是AB的中点，连结SE.因为O是△ABC的内心，所以OC＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)在Rt△SOC中，SC＝1，SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，故VS­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC×SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CE×AB×SO＝eq\f(1,6)×eq\f(\r(3),2)×1×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12).8．如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E­ABD的侧面积．(1)证明在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，所以BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB)＝2eq\r(3)，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.又因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥