课件汇总附案例60数学模型建立

1.6数学模型建立数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见建模目的:

1.

描述或解释现实世界的各类现象.

2.

预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势.

3.

优化管理、决策或者控制

事物对象建模过程中的几个环节模型的整体设计合理的假设建立数学表达式建立数学结构时刻牢记建模目的完整的数学模型应该同时描述出有关因素之间的数量关系和结构关系

应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个模型中的地位和作用.

例1.6.1

(P52)考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.一、模型的整体设计问题怎样才能有效保障各用户的正常用水？模型进行整体设计步骤：1.

分析系统的组成部分（研究对象、实体）

相关实体有：水库、管道、水箱和用户.

实体间的结构关系可表示如下：

水库管道水箱用户以上各实体都可能是我们的研究对象.

应分析相对于各个实体的因素对供水的影响(见教材P53表3.3).

2.

分析各实体之间的关系,找出联系各实体的变量.实体之间的作用关系图

各实体之间的作用关系

管道与水箱：管道的水流量水库与管道：水库的水深水箱与用户：出水口的水流量（或有效水深）用户：总用水量

3.

根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑的变量及变量间的关系表达式.

假设“水库能保证管道所需的水流量”，现需考虑t时刻以下变量：

*

总需水量D(t)；*

水箱的有效储水量Q(t)及QM

；

或流出水流量F(t)及FM

；*

管道能提供的供水量G(t)及GM.分析各变量的特征：*需水量D(t)不可控，但可以对其记录或描述；时间(秒)水位(0.01英尺)时间(秒)水位(英尺)03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284

269779254水泵开动

35932水泵开动

82649水泵开动

39332水泵开动

859683475394353550899533397433183445923703340*供水函数G(t)是可控变量.4.

用数学语言描述要解决的问题

选择适当的函数G(t)，使得0＜G(t)＜GM，0＜Q(t)＜QM，同时成立.建模工作的整体设计:

1)描述需水函数D(t),是保证有效控制的基础；2)制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；

3)求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；

4)分析各种参数对方案的影响；

5)分析随机因素的影响.

模型整体设计的作用

1)可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务.

2)可把握住工作的重点、要点和难点.

做出模型的整体设计后,着手建立模型之前，撰写一份工作提纲.

建议:二、做出假设

根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，是建模的关键步骤.合理假设的作用

简化问题

明确问题

限定模型的适用范围

一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。飞行管理问题中的叙述：“对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）”

如何理解？通过假设：

*所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度.

或*数据的运算结果误差限控制为0.01度.

使问题进一步明确.

飞行管理模型

在例1.4.3渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁殖”

,如何描述“产卵孵化期是一年的最后四个月”？有以下几种假设:

*产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内，从而孵化也是均匀进行.

*

产卵时间服从方差很小的正态分布.

*

鱼群的个体在后四个月的第一天集中产卵,在最后一天孵化出来.

哪一条“最好”？最优捕鱼策略

第三种与第二种没有本质的差别，处理较容易.分析：

第一种不符合鱼类的生物学实际；

第二种比较符合实际，但大大增加了解决问题的难度；假设起到简化问题的作用

假设“渔场是非开放式的,不与其它水域发生关系，从而构成独立的生态群落”.

建立的数学模型限定在一定的适用范围.

设计假设应遵循的原则

*假设应是有依据的,基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；

*善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量使问题简化.

*

避免过于简单、过于详细或不合理.

渔业管理问题中有条件：“平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵”.分析：为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.

有两种假设：*

雌雄鱼的比例是1:1；

*“平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的平均,故在计算总产卵量时,不考虑雌雄区别.最优捕鱼策略

哪一种较为合理？

可假设：

*每到次年初，头一年的1、2、3

龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼.问题：当年的4龄鱼,第二年如何处理？

合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿命一般为3年，另一方面经过捕捞后4龄鱼的数量很少，可以忽略不计.

对于假设：*必要时需对假设以及假设的推论进行检验；*

应意识到隐含的假设.

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分.1.进行零件参数设计，就是要确定标定值和容差，需考虑两方面因素;例1.6.2零件的参数设计2.

当各零件组装成产品时,如果产品参数偏离预先设定的目标值就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；3.零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小，成本越高.

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法

粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数(记作x1,x2,…,x7)决定,经验公式为y的目标值(记作y0)为1.50,当y偏离y0±0.1时,产品为次品,质量损失为1000元;当y偏离y0±

0.3时,产品为废品,损失为9000元.……请综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本.

问题分析需建立损失函数,参数y与y0的偏离是由7个参数综合确定.可假设

*零件参数Xi，i=1，2，…，7是相互独立的同服从正态分布的随机变量.

对于随机变量

假设：随机变量Y

是服从正态分布的随机变量.

可以利用两种方法进行检验1.利用泰勒公式做近似推断；2.利用计算机模拟结合数理统计分析.建立变量间的关系是建立数学模型的一项重点工作

三.现实量与数学表达式绘图法表格法数学解析式有三种可以相互转换的形式:翻译能力：将变量间关系的中文语言描述转化为教学表达式.

用中文语言描述数量现象往往是含混的.

例1.6.3P58突然间下了20分钟雨，收集到1/2英寸的雨量.现要建立一个函数R(t),用来描述降雨量随时间变化的规律.

许多可能的选择,譬如：

(1)假设“雨连续稳定地下落.”若理解成降雨保持恒定速度，即,0≤t≤20

(2)“降雨开始较慢,中间逐渐地加快,达到最大速度后又减小.”

若假设降雨速度先线性增长后又线性减小,得线性降雨模型：

或考虑另一个降雨模型：

模型中有两个待定参数a和b.

续例1.6.2零件的参数设计分析评价以下质量损失函数

是“y

的目标值（记为y0）为1.50.当y与y0的偏离为0.1时，产品为次品，质量损失为1000元；当y偏离y0为0.3时,产品为废品，损失为9000元”

的数学描述.对损失的理解还应深入:

*此产品只是最终产品的某一部件,y

对y0的偏离会“连续地”影响最终产品的质量；

*题目中“如果产品参数偏离预先设定的目标值就会造成质量损失，偏离越大，损失越大”

提示损失是具有社会性的.

质量损失函数L(y)应是(y－y0)的连续函数

，应选择以下哪一个函数？常见的变量间关系描述：1.当自变量t变大(小)时,因变量

y

会怎样变化?2.有没有使

y

取极大值或极小值的t

值？3.有没有使y=0的t

值?4.y

是否随

t

作做周期性变化？

5.感兴趣的是

t

的全部值，还是一定范围内的值，如t＞0或0＜a＜t＜b？

(P60例3.4.8)四.微分方程的建立建立变量间的关系重要方法之一是立足于揭示事物内在规律的机理分析方法的认识来源对现实对象*与问题相关的物理、化学、经济等方面的背景知识.*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设).

模型特点：有明确的物理或现实意义

根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.

微分方程建立问题:需寻求某个变量y

随另一变量t

的变化规律：y=y(t).直接建立较困难

建立关于自变量、未知变量以及未知变量的导数的方程

建立变量能满足的微分方程

？哪些问题在工程实际问题中

“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.

“速率”,“增长”,“衰变”,“边际的”等关键词常涉及到导数.

建立方法常用微分方程运用已知物理定律

利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例1.6.4一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？1.运用已知物理定律

牛顿冷却（加热）定律将温度为T的物体放入处于常温

m

的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.

分析假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.建立模型设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，

“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”

翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，,最后得

T(t)=18+42,t≥0.结果

：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c

需要8.17分钟.

2.利用平衡与增长式

许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.

利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.

续例1.2.3人口增长模型

对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.

在很短的时间段Δt内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：

{Δt时间内的人口增长量}={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}+{Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}{Δt时间内的净改变量}={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}般化更一基本模型输入量

含系统外部输入及系统内部产生的量；

输出量

含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立

不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.

例1.6.5战斗模型

两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：1.预测哪一方将获胜？

2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？

3.

计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？模型建立设

x(t)—t

时刻X方存活的士兵数；

y(t)—t

时刻Y方存活的士兵数；假设：

1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.

2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵；

3）X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b

名士兵；{Δt

时间内X军队减少的士兵数

}={Δt

时间内Y军队消灭对方的士兵数}平衡式

即有Δx=－ayΔt,

同理Δy=－bxΔt,

令Δt→0,得到微分方程组

练习题：请试用平衡与增长式方法对P46例3.3.3的湖水污染问题建立模型.2007年无锡太湖流域暴发蓝藻2006年兰州雁滩黄河200多米长的红色污染带巴西:里约湖泊3.微元法

基本思想：分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例1.6.6一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设：1）t

时刻的流速v

依赖于此刻容器内水的高度h(t).

2）整个放水过程无能量损失.

分析：放空容器？容器内水的体积为零容器内水的高度为零

模型建立由水力学知水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面水的体积V

对时间t

的变化率”，有S