理论力学课件ch6i力系的平衡

§6力系的平衡（1）力系的平衡条件。（2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。（3）求桁架(二力直杆系统）的内力。（4）带有摩擦的平衡问题。本章内容是静力学部分的核心，包括：关于“平衡”的概念（1）物体或物体系统的平衡——相对于惯性参考空间静止或匀速直线平移。（2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩均为零。★★1注意

区分以下几个概念：力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡，变形体的平衡（1）单个刚体的平衡力系的平衡力系的平衡单个刚体的平衡（2）刚体系的平衡力系的平衡力系的平衡刚体系的平衡（3）变形体的平衡刚化后仍平衡力系平衡变形体的平衡刚化后仍平衡力系平衡（4）仅在静力学中：单个刚体的平衡力系的平衡2§6.1力系的平衡条件及平衡方程1.空间力系的平衡方程平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件；任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任一确定点O的主矩全为零。即3在O点建立Oxyz直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的代数方程：ODixyzl1l3l2注意（1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证6个方程是独立的。（2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组。4（3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有3个，但矩方程最多可有6个。特殊的空间力系及独立平衡方程个数：（1）空间汇交力系——3个独立方程∵各力交于O点平衡方程仅有即（2）空间力偶系——3个独立方程OO平衡方程仅有即5（3）空间平行力系

xyz设各力平行于z轴，则有平衡方程仅有—3个独立方程（4）其他例如：空间各力与某轴l相交l——仅有5个独立的平衡方程各力对l轴之矩恒为零O62.平面任意力系的平衡方程（1）在平面内任取点A：xyO各力均位于Oxy平面内，故六个平衡方程中A称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只有一个力矩式，故常称一矩式。一矩式故平面任意力系的平衡方程为：平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式：7（2）在平面上任取A,B两点及不垂直于AB连线的x轴：由力系平衡因此，对任一轴x，且同理必要性得证。二矩式且x轴与不垂直证明：已知平面力系平衡，证明二矩式成立。(a)必要性：O8(b)充分性：二矩式成立，则平面力系平衡。由将A、B点视为简化中心，则力系不可能简化为力偶，而只能是通过A、B两点的合力。又由于x轴与不垂直，若不为零，则其在x轴的投影必不为零；这与矛盾。所以充分性得证。

9(3)在平面上任取三点A，B，C不共线:上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为3，若找到第四个方程，则必是前3个方程的线性组合，不是独立的。因此，对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。例如：三矩式103、特殊平面力系的平衡方程（1）平面汇交力系：设汇交点为A或(A、B、C三点不共线)或（AB连线不垂直于x轴）（2）平面力偶系：（各力偶Mi作用面相互平行即可）两个独立方程！一个独立方程！AxyBC11（3）平面平行力系：设各力与y轴平行或其中与各不平行。两个独立方程！AB12例题1§6力系的平衡例题AB求A、B处的约束力。已知支架受力如图，其中，13解：取梁AB为分离体，画受力图。由例题1§6力系的平衡例题ABABF列出该梁的平衡方程。（以逆时针为正）选矩心为A点：(方向如图)（平面任意力系3个独立方程）14例题1§6力系的平衡例题若取矩心为B点，则有：该式不再独立，可作为校核。ABF(→)(↑)由由15求一端固支、一端自由的梁(悬臂梁)固支端的约束力。解：取AB为分离体，画出受力图。由由由例题2§6力系的平衡例题均布载荷（同向平行力系）合力为(↑)()AB16例题3§6力系的平衡例题起重机的配重问题已知轨距b＝3m，机重G＝500kN，e＝1.5m,最大起重量P＝250kN，l=10m,a=6m。求起重机满载与空载时均不翻倒的配重Q值。17解:(1)满载情况P=250kN;取起重机为分离体画受力图，满载不翻倒限制条件则=361kN例题3§6力系的平衡例题平面平行力系,2个独立方程，以B点为矩心：18(2)空载情况：P=0空载不翻倒限制条件=375kN361kN375kN∴例题3§6力系的平衡例题以A点为矩心：19例题4§6力系的平衡例题均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。ACDxyzEB4m2m2m20例题4§6力系的平衡例题ACDxyzEB4m2m2m解：1.以板为对象画出受力图，ACDxyzEB4m2m2mP21例题4§6力系的平衡例题2.列出板的平衡方程解法一空间任意力系，6个独立方程。ACDxyzEB4m2m2mP(拉力)22例题4§6力系的平衡例题ACDxyzEB4m2m2mP23ACDxyzEB4m2m2mP例题4§6力系的平衡例题解法二分别取AC，BC，AB，l1，l2，z为矩轴：l1l2(拉力)24例题4§6力系的平衡例题ACDxyzEB4m2m2mPl1l225例题5§6力系的平衡例题ABCDEq图示支架结构，AB=AC=BC=2l，D，E分别为AB，BC的中点，杆DE上作用有三角形分布载荷，B点作用有铅垂集中力，P=ql，试求DE杆在D，E两处的约束力。26例题5§6力系的平衡例题ABCDEqq解：刚体系统的平衡问题。1.受力分析：根据所求，以杆DE为研究对象取分离体：4个未知力，3个方程；以BC杆为研究对象取分离体：DEBCE增加3个未知力、3个方程；27例题5§6力系的平衡例题ABCDEqql/2以整体为研究对象取分离体：增加2个未知力、3个方程；共9个未知力，9个方程。2.以整体为研究对象，取A点为矩心：(↑)DEBCEq28例题5§6力系的平衡例题3.以DE杆为研究对象：(↑)DEql/2由（s）式（←）（负表示←）(↑)(→)29例题5§6力系的平衡例题4.以BC杆为研究对象：ABCDEql/2BCE(s)30例题6§6力系的平衡例题aaaaaABCDEGHM支架结构受力如图，已知：M=Fa/2,求铰支座A，B处的约束力。31a例题6§6力系的平衡例题MaaaaaABCDEGHM解：1.受力分析以整体为研究对象，A，B处共4个未知力，3个独立方程；32例题6§6力系的平衡例题aaaaaABCDEGHM以ED杆为研究对象，三力汇交，增加1个未知力、2个独立方程；取出DC杆，为二力杆，增加2个未知力、1个独立方程；ED33例题6§6力系的平衡例题aaaaaABCDEGHM取出EHB杆为研究对象，增加2个未知力、3个独立方程；EDEHB34例题6§6力系的平衡例题ED4.以ED为对象,列平衡方程:(↗)5.以EHB为对象,列平衡方程:(负号表示←)EHB35例题6§6力系的平衡例题6.以整体为对象,列平衡方程(1)(2)(3)MHEABCD36(负号表示↓)(↑)(→)例题7§6力系的平衡例题已知F=2qa，M=3qa2,不计摩擦和自重，试求固定端B处的约束力。3a2aaaABCDEM3aGq例题7§6力系的平衡例题ABCDEMGq解：整体为对象，受力分析5个未知力CG为对象，受力分析AC为对象:例题7§6力系的平衡例题BEMBD为对象:刚体系统平衡问题的分析步骤1.求解思路（1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析.（2）找出二力构件，减少未知量。（3）先整体，再局部，从未知量最少的部件开始。（注意各方程的独立性）。40（4）可通过求出部分未知力为突破口解题。2.关于独立的平衡方程个数注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。求解所用到的全部方程必须是相互独立的。4142例如图所示平面结构，AB为铅垂方向，其上作用一逆时针转向的力偶，其矩为且CD上作用一个最大的集度为q的分布载荷，忽略所有摩擦以及各杆自重，试求固定端A、铰支座D提供的约束力。§6.2桁架内力的计算6.2.1桁架的特点及内力

1.桁架的特点（1）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，构成平面桁架或空间桁架。（2）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均作用在节点处。（3）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）432.桁架的内力研究桁架结构中的任意二力杆，如AB，有:假想在O处将AB切断，则BO对AO的作用为一分布力系，该力系可简化为一个力同理，OB段受AO的作用力为根据AO或OB的平衡方程有：44通常约定二力杆的内力未知时按受拉假设：当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，当求得二力杆的内力为负时，即为受压。

或称为二力杆的内力。可用代数值FO表示。二力杆内力的符号规定：二力杆的内力以拉力为正，压力为负。ABAB杆内力FAB为正CDCD杆内力FCD为负453.桁架内力分析步骤（1）判断桁架是否为静定结构(2)先从桁架中找出零杆和等轴力杆零杆——内力为零的二力杆等轴力杆——内力相同的二力杆（3）利用节点法或截面法求解杆的内力作为一个整体的桁架中，杆数为S，节点数为n，静定桁架：S=2n-3静不定(超静定)桁架：S>2n-3桁架若可以作为一个整体，外界的支承条件是否为静定？★桁架作为一个整体本身是否为静定桁架？★46可判断出零杆和等轴力杆的情况：无主动力的三杆节点，其中二杆共线0杆等轴力杆无主动力的不共线二杆节点0杆0杆不共线的二杆节点，主动力沿其中一杆0杆无主动力，共线的二杆节点或两两共线的四杆节点等轴力杆两对等轴力杆47还可利用对称性：等轴力杆求桁架的内力通常有两种方法：节点法和截面法。注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时零杆不起作用，但不可将零杆去掉。486.2.2节点法因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。以节点D为例：当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的方向由节点指向外，沿杆的方向作用。从桁架中取出销钉D为分离体，画出受力图。49每个节点可建立2个平衡方程，对有n个节点、S根杆的静定桁架，共有2n个独立方程，此外，对桁架整体，共有S+3个未知力(S个未知内力、3个对桁架整体的未知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方程一步步求得。节点法的求解步骤：（1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。（3）首先取只有二杆的节点，再依次取只有二个

未知力的节点。（4）各杆内力统一设为拉力（即各节点处力矢从节点向外）。50例题8§6力系的平衡例题判断结构中的零杆和等轴力杆。ABCO51例题8§6力系的平衡例题解：此桁架整体为静定结构（简支），桁架本身S=21，n=12,故2n-3=24-3=21=S，为静定桁架。对整体列平衡方程：ABCO①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩111220131415161718192152ABCO例题8§6力系的平衡例题000000判断零杆和等轴力杆：①=②=⑤=⑥③=④，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩1112201314151617181921零杆：⑦，⑧，⑨，13，14，15等轴力杆：16=17=18=19=20=21，⑩=1253例题9§6力系的平衡例题ABCDEG桁架结构受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a，求各杆的内力。54例题9§6力系的平衡例题解：ABCDEG结构整体对外约束静定；桁架S=9,n=6,2n-3=12-3=9=S,为静定桁架；1.对整体取分离体(←)AB(↑)(↓)ED杆为零杆，AE