第十一章全等三角形

（初中数学龙文学校个性化辅导资料启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分 数第十一章：全等三角全等图形的有关概13-113-213-13-13-313-4图13- 4图图 13-全等三角形的识11直角三角形全等的识证明三角形全等的方SSS“SAS“ASA“AASSASAASASASAS13-6，可以看出△ABC△ADE；13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC△ABDADECDEC 图13- 图13-证明两个三角形全等如何入例1（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三（2）在△ABC已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求C。（2）[参考答案]解：（1）设第三边为xcm，则132x13即11x周长L27LL为偶LL15xx即第三边长为（2）AC

x15ABC(AC)B2BB3BBACA[考点]三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性[参考答案]解：由三角形内角和定理，

ABAC180BC180(66 又AD平分 CAD1 ADBCADC3054（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

在 ADE90CAD903060（直角三角形的两个锐角互余例3：已知：在ABC和 AA，BB，CDABDCABCADD

D’，且CDC [考 ]如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等[参考答案]证明：AADCA'D'C'CDC'

和 RtADCRtA'D'C'(ACAC（全等三角形对应边相等在ABC和 ABAAABCA'B'C'(三．适时训（一）精心选一在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法 ∠C与∠F互 B.∠C与∠D互C.∠B与∠F互 D.∠A与∠E互如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图 A.3 B.4 C.5 D.6如图，△ACDAB⊥CDBD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰Rt△，下列结论①②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE；正确的是 A. B. C. D.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3， A. B. C. D.下列命题正确的是 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等则点P应是△ABC的哪三条线交（ （A） （B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组 （A）∠A=∠D，∠C=∠F，（B）AB=DE，BC=EF，（C）∠A=∠D，∠B=∠E，（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周（二）细心填一如图2-1，一长ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，ENMEC角平分线，如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可（翻折或“旋转使△ABEADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系如图2-5，△ABC，∠C=90°，AC=BC，ADCAB，DE⊥ABE，若AB=4cm，则△BDE已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共 对全等三角形如图2-7，△ABC≌△ADE，则，AB= 在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 ；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳，如图9，若测得AB=5厘米，则槽宽 米工人师傅砌门时如图所示常用木条EF固定矩形木框ABCD使其不变形这是利用 图2- 图2- 图2-图2- 图2- 图2-图2- 图2- 图2-三、认真答一如图，AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断∠BPFCPF关系，并加以证明。如图，AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求已知：如图，CBE一点，点A别在BE.AB∥ED,AB=CE,BC=ED.CAC D已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.1（2）ABC中，点DE分别在ABACCDBEOA601DCBEBC A，请你写出图中一个与A2（

ABCA60ºDEABACDCBEBC1A2已知：如图，BDABCD的对角线，OBD的中点，EF⊥BDOAD、BC分别交于E、F。如图，在⊙O中，D、EOA、OBAD＝BE．CABCD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．如图，已知△ABCD、EBC、ACAE=CD，ADBEF．(2)求∠BFD八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量两端A、B的距离，设计了如下方案（Ⅰ）1A、BCAC、BCACD，BCEDC=AC，EC=BCDE的距离即为AB2BABBFBFC、DBC=CDDBD的垂线DEACEDEAB的距离. 图方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 已知，如图AB//CD，BE、CE分别是ABC、 的平分线，点E在AD上，求证：BCABAEAE124B MNF，C，D MNECD EC 如图，在□ABCDAC、BDO.请找出图中的一对全等三角形，并给予证明 O 如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D段AP上，DBAD=DB．求证：DB为⊙O.D(03)△OMD

的⊙Mx轴交于点O；

若直线lykxb把⊙M

3kby 2 ABCD是矩形，△PBC和△QCDPQ在矩形内．（1）∠PBA=∠PCQ=30°（2）A=PQ．QPQ 如图，⊙ORt△ABC的外接圆，点OABBDABBODAC，连接CDCO求证：CD是⊙O的切线 CO △ADEEBCAB、ACF、GBE 段BC上时△AEB≌△ADCBCGE如图（b）DBC的延长线上时，直接写出（1）在（2）DBCGEFGBFGBCEGE F

D图C、FABDE

上，AD，AC BCBCFE如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE求证：(1)(2)OB＝OERt△ABC中，∠C=90BC为直径作⊙OABDACEDE、求证：DE是⊙ODO DO ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG△ABF≌△DAEEF求证：DEEFFB EF 9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，NEB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边当把△ADEA10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理（4分）AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN9，P是∠BACPEAB，PFACE，F，AEAF（1） （2）P在∠BACRt△ABCRt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长 ED参考答（一）1. 2. 3. 4. 5. （二）1. 2. 3. 4.旋转；垂 5. 9.5厘米10.（三）AMNMN=AM，证明△AMC≌△NMBAC=NB，再证明△EAF≌△ABN，得到∠E=∠BAN，因为∠BAN+∠EAP=90°，所以∠E+∠EAP=90AP⊥EF证明：AB∥ED，BE．在△ABC和△CED中，ABBBC△ABC≌△CEDACCD4、证明：∵OP是∠AOC和∠BOD∴AOPCOP,BOP∴AOBAOBCODOAAOBOB∴AOB AB（1）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）DBCE是等对边四边形.1CG⊥BEGBF⊥CDCDF点12

∠A，BCDBCE是等对边四边形DBCE是等对边四边形ABCD∵O为BD的中点 在△BOF和△DOE中∠OBFOB∠BOF ∵EF⊥BD于点O 证法二：∵O为BD的中 ∵EF⊥BD于点 ABCD 证明 在△ODC和△OECODDOCOC8．∵DBC的中点9（1）证明：∵△ABC在△ABE和△CADAB=CA,∠BAE=∠C, 10（1）（2）（3）ABCBE、CEEBC1ABC，ECB1

（三角形内角和定理ABEFBEABABEBEABEFBE12（全等三角形对应角相等1BEC313180BEC18090

（等量代换FCEDCE(角平分线定义CE4CFECDE(CDCF（全等三角形对应边相等BCBFCFAB证明如下：在△ABC与△DBP中，因为∠A＝∠D，∠B＝∠B，PB＝BC，所以△ABC≌△DBP．ABCD14（1）:PA为⊙O∴∠OAD=∵∴∠OBD=∠OAD=（2）RtΔOAP∵∴∴∠POA=60°=2∠C∴∴（1）BMB、C把OA1560，215又∵OMBM 又∵OA为⊙MABO∴13，DOMABO90，OM DOM 中∴△OMD≌△BAO（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，则直线lM，D(3)60，

AB1OA2

，3333OM 333 ∴M()把M(ykxb3kb0证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴Q∵△PBC和△QCD是等边三角形 Q∴∴ ∠PCD=∴ ∴ ∵∴∴证明：连接ACO COD又ODOD，OCOBOCDOBDOCCD，即CD是⊙OFG（1）①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形 FG∴AEAD，ABAC，EADBAC60．E又∵EABEADBAD，DACBACBAD， ∴EABDAC∴△AEB≌△ADC②法一：由①得△AEB≌△ADCABEC60．BACC60°，∴ABEBACEB∥GC．EGBC，BCGE是平行四边形．法二：证出△AEG≌△ADB，EGABBC．由①得△AEB≌△ADC．BECG．BCGE当CDCB（BD2CD或BCGE是菱形．

CD12

30）理由：法一：由①得△AEB≌△ADC∴BECDCB∴BECBBCGEBCGE法二：由①得△AEB≌△ADC∴BECDBCGE∴BE∴CDCBBCGE∴BE∥CG，EG∥BC∴FFBE△BEFABBCBCGE∴ABBEBF∴AE⊥∴EAG30，∵EAD60，B E∴CADB E

AC∥DF ACEDFBACB又BF BF

．，即BC 又AD△ABC≌△DEF 在△ABC和△AEDABBACAC（1）O、EBC、ACD1O而D1O又∠C=90°，故∠ODE ∴DE是⊙OOE

OD2 得又∵O、ECB、CAOE25 AB（）∵D⊥A，B⊥A，∵ABCDEF∴∠BAF EFABCD在△ABF与△DAE中，∠AFB∠BAF=∠ADE （）D=BE∵△ABC和△ADE∵∠BAE=∠BAC－∠EACNM∠DAC=∠DAE－∠EAC NM∴∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌ ∵△ABE≌ ∵M、NBE、CDA1BE1CD∴BM= ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴△ABM≌ ∵△ADE为等边三角形 ∴∠DEC=120o，∴∠EDC=∠ECD=30o 3∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30