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文档简介
第66课等差、等比数列在实际问题中的应用1.能在具体问题情境中,发现等差、等比数列模型,并能运用有关知识解决相应问题.2.通过解决实际问题的过程,培养提出问题,分析问题,解决问题的能力.1.阅读:必修5第45~46页,第58~59页.2.解悟:①生活中的等差数列和等比数列模型;②体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法;③整理数列求和的常用方法.3.践习:在教材空白处,做第58、59页例题.基础诊断1.用火柴棒按下图的方法搭.……按图示的规律搭下去,则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an=2n+1.解析:由图可知,三角形的个数增加一个,则火柴棒的数量增加2,所以火柴棒数量an是一个首项为3,公差为2的等差列,所以an=3+2(n-1)=2n+1.2.某种细胞在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个变成2个),那么经过3小时,这种细胞由1个可以分裂成512个.解析:3×60÷20=9(次),29=512(个),故经过3小时,这种细胞由1个可以分裂成512个.3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则这座塔的顶层共有灯3盏.解析:设塔的顶层有a盏灯.由题意可知,各层的灯数构成一个首项为a,公比为2的等比数列,所以eq\f(a(1-27),1-2)=381,解得a=3,故塔的顶层共有灯3盏.4.一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm,将梯形的一条腰10等分,过每个分点作平行于梯形底边的直线,这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.解析:因为是10等分,所以设上底a1,下底a11,根据梯形的中位线定理可知a1+a11=2a6,a2+a10=2a6,a3+a9=2a6,a4+a8=2a6,a5+a7=2a6,所以a2+a3+a4+…+a10=9a6,a6=eq\f(a1+a11,2)=eq\f(12+22,2)=17,所以a2+a3+a4+…+a10=9×17=153,故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.范例导航考向❶等差数列模型例1流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求出这一天的新患者人数.解析:由题意知11月1日到n日,每天新感染者人数构成等差数列{an},a1=20,d1=50,所以11月n日新感染者人数an=50n-30.从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列{bn},b1=50n-60,d2=-30,所以这30天内感染该病毒的患者人数为eq\f((20+50n-30)n,2)+(30-n)·(50n-60)+eq\f((30-n)(29-n),2)×(-30)=8670,化简得n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.考向❷等比数列模型例2某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少eq\f(1,5),本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eq\f(1,4).(1)设n年内(本年为第1年)总投入An万元,旅游业总收入Bn万元,求An和Bn;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?(lg2≈0.301)解析:(1)第一年投入800万元,第二年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,5)))万元,…,第n年投入800(1-eq\f(1,5))n-1万元,所以n年内的总投入为An=800+800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,5)))+…+800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,5)))eq\s\up12(n-1)=4000-4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n);第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,4)))万元,…,第n年旅游业收入为400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,4)))eq\s\up12(n-1)万元,所以n年内的旅游业总收入为Bn=400+400×(1+eq\f(1,4))+…+400×(1+eq\f(1,4))n-1=1600×(eq\f(5,4))n-1600.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则Bn-An>0,即1600×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)-1600-4000+4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)>0,化简得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)+5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)-7>0.设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)=x,代入上式得2x2-7x+5>0,解得x>eq\f(5,2)或x<1(舍去),称轴方程为x=10.5,知当x=10或11时,s取得最小值2000.3.某人为了购买商品房,从2008年起,每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p,每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款,到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税),则可取人民币总数为eq\f(a(1+p)[(1+p)8-1],p)元.解析:到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)=eq\f(a(1+p)[(1+p)8-1],p).4.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=16.解析:由题意得每节竹竿的长度构成等差数列{an},公差为d(d>0).由题意知a1=10,an+an-1+an-2=114,aeq\o\al(2,6)=a1an,则3an-1=114,解得an-1=38,所以(a1+5d)2=a1(an-1+d),即(10+5d)2=10(38+d),解得d=2,所以an-1=10+2(n-2)=38,解得
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