高考数学名师大讲坛一轮复习：第66课等差、等比数列在实际问题中的应用

第66课等差、等比数列在实际问题中的应用1.能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题.2.通过解决实际问题的过程，培养提出问题，分析问题，解决问题的能力.1.阅读：必修5第45～46页，第58～59页.2.解悟：①生活中的等差数列和等比数列模型；②体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法；③整理数列求和的常用方法.3.践习：在教材空白处，做第58、59页例题.基础诊断1.用火柴棒按下图的方法搭.……按图示的规律搭下去，则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an＝2n＋1.解析：由图可知，三角形的个数增加一个，则火柴棒的数量增加2，所以火柴棒数量an是一个首项为3，公差为2的等差列，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.2.某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个变成2个)，那么经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.解析：3×60÷20＝9(次)，29＝512(个)，故经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则这座塔的顶层共有灯3盏.解析：设塔的顶层有a盏灯.由题意可知，各层的灯数构成一个首项为a，公比为2的等比数列，所以eq\f(a（1－27）,1－2)＝381，解得a＝3，故塔的顶层共有灯3盏.4.一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm，将梯形的一条腰10等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.解析：因为是10等分，所以设上底a1，下底a11，根据梯形的中位线定理可知a1＋a11＝2a6，a2＋a10＝2a6，a3＋a9＝2a6，a4＋a8＝2a6，a5＋a7＝2a6，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9a6，a6＝eq\f(a1＋a11,2)＝eq\f(12＋22,2)＝17，所以a2＋a3＋a4＋…＋a10＝9×17＝153，故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.范例导航考向❶等差数列模型例1流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.解析：由题意知11月1日到n日，每天新感染者人数构成等差数列{an}，a1＝20，d1＝50，所以11月n日新感染者人数an＝50n－30.从n＋1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列{bn}，b1＝50n－60，d2＝－30，所以这30天内感染该病毒的患者人数为eq\f(（20＋50n－30）n,2)＋(30－n)·(50n－60)＋eq\f(（30－n）（29－n）,2)×(－30)＝8670，化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49(舍)，即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.考向❷等比数列模型例2某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少eq\f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eq\f(1,4).(1)设n年内(本年为第1年)总投入An万元，旅游业总收入Bn万元，求An和Bn；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg2≈0.301)解析：(1)第一年投入800万元，第二年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))万元，…，第n年投入800(1－eq\f(1,5))n－1万元，所以n年内的总投入为An＝800＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)＝4000－4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))万元，…，第n年旅游业收入为400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)万元，所以n年内的旅游业总收入为Bn＝400＋400×(1＋eq\f(1,4))＋…＋400×(1＋eq\f(1,4))n－1＝1600×(eq\f(5,4))n－1600.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则Bn－An＞0，即1600×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)－1600－4000＋4000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)＞0，化简得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)＋5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n)－7＞0.设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(n)＝x，代入上式得2x2－7x＋5＞0，解得x＞eq\f(5,2)或x＜1(舍去)，称轴方程为x＝10.5，知当x＝10或11时，s取得最小值2000.3.某人为了购买商品房，从2008年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p，每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币总数为eq\f(a（1＋p）[（1＋p）8－1],p)元.解析：到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)＝eq\f(a（1＋p）[（1＋p）8－1],p).4.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝16.解析：由题意得每节竹竿的长度构成等差数列{an}，公差为d(d>0).由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，aeq\o\al(2,6)＝a1an，则3an－1＝114，解得an－1＝38，所以(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝10＋2(n－2)＝38，解得