多项式的带余除法及同余问题

PAGEPAGE1多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。多项式的一般形式如下：P(x)=a0+a1x+a2x^2+…+anxn其中，a0,a1,a2…an是常数项，n是该多项式的最高次数。2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。带余除法的表示如下：P(x）=Q(x)×R(x)+S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。3.例子说明我们以P(x)=x^4+2x^3-3x^2+x+1和Q(x)=x^2-x-2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x)=x^4+2x^3-3x^2+x+1Q(x)=x^2-x-2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x)-x^2Q(x)=(x^4+2x^3-3x^2+x+1)-(x^2-x-2)x^2=3x^3-2x^2+3x+1重复以上操作，将新的多项式3x^3-2x^2+3x+1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3-2x^2+3x+1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3-2x^2+3x+1-3x(x^2-x-2)=-5x^2+9x+1继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2+9x+1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2+9x+1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2+9x+1-(-5)(x^2-x-2)=4x+11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2+3x-5，余数多项式为4x+11。二、同余问题同余问题是在数论中常见的一个问题。当两个数之间的差是某个整数的倍数时，这两个数就是“同余”的。同样，当两个多项式之间的差是某个多项式的倍数时，这两个多项式就是“同余”的。下面我们就来介绍一下同余问题的具体内容。1.同余关系的定义设a,b,m是三个整数，如果a-b能够被m整除，即a-b=km，其中k是整数，那么我们就称a与b关于m“同余”，记作a≡b(modm)。同样，设f(x)和g(x)是两个多项式，如果f(x)-g(x)能够被另一个多项式h(x)整除，即f(x)-g(x)=h(x)k(x)，其中k(x)是多项式，那么我们就称f(x)与g(x)关于h(x)“同余”，记作f(x)≡g(x)(modh(x))。2.同余关系的性质（1）反身性：对于整数a而言，a≡a(modm)。对于多项式f(x)而言，f(x)≡f(x)(modh(x))。（2）对称性：如果a≡b(modm)，那么b≡a(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，那么g(x)≡f(x)(modh(x))。（3）传递性：如果a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，g(x)≡p(x)(modh(x))，那么f(x)≡p(x)(modh(x))。（4）加减性：如果a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，p(x)≡q(x)(modh(x))，那么f(x)±p(x)≡g(x)±q(x)(modh(x))。（5）乘法性：如果a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)。如果f(x)≡g(x)(modh(x))，p(x)≡q(x)(modh(x))，那么f(x)p(x)≡g(x)q(x)(modh(x))。3.例子说明我们以整数的同余问题为例，来说明同余关系的应用。假设我们需要求出10001,10004和10007模9的余数。由于10001,10004和10007与9的差都是9的倍数，因此它们是“同余”的。我们来计算10007模9的余数。根据同余关系的加减性质，我们有：10007≡1(mod9)因此，10007模9的余数是1。再来计算10001和10004模9的余数。根据同余关系的加减性质，我们有：10004≡(10007-3)≡1-3≡-2(mod9)10001≡(10004-3)≡(1-3)-3≡-5(mod9)因此，10004模9的余数是-2，10001模9的余数是-5。由于-2和-5都不是非负整数，我们需要将它们转换成正整数。根据同余关系的定义，-2与7关于9同余，-5与4关于9同余。因此，10004模9的余数是7，10001模9的余数是