等参元单元法演示文稿

等参元单元法演示文稿现在是1页\一共有41页\编辑于星期四优选等参元单元法现在是2页\一共有41页\编辑于星期四二维线性单元坐标变换公式为直线24的方程形心坐标现在是3页\一共有41页\编辑于星期四子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标现在是4页\一共有41页\编辑于星期四空间坐标变换经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。现在是5页\一共有41页\编辑于星期四例相邻单元公共边连续性验证现在是6页\一共有41页\编辑于星期四选择坐标变换式：式中ξi、ηi是结点i的局部坐标

现在是7页\一共有41页\编辑于星期四通过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式：单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数（阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参数单元。

现在是8页\一共有41页\编辑于星期四2、单元的特性分析

采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标ξ，η的微分和积分计算。单元应变：现在是9页\一共有41页\编辑于星期四由于Ni是ξ，η的函数，ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有：矩阵表示：现在是10页\一共有41页\编辑于星期四式中[J]称为雅可比矩阵：由上式可得：现在是11页\一共有41页\编辑于星期四应力矩阵：单元刚度矩阵是一个8×8的矩阵，仍为由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此有：

现在是12页\一共有41页\编辑于星期四3、等效结点力计算（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则

（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则现在是13页\一共有41页\编辑于星期四5.2八结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元仍然不够理想。原因是：（1）实际单元为直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；（2）位移模式的阶次还不够高，影响计算精度。为此，下面介绍一种精度较高、应用广泛的八结点四边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如下图所示。现在是14页\一共有41页\编辑于星期四1、基本单元的位移模式采用形函数表示：现在是15页\一共有41页\编辑于星期四2、坐标变换式仿照位移模式，将坐标变换式取为该坐标变换式将ξη平面上的正方形映射为xy平面上的曲边四边形。xy平面上每一条边都是一条二次曲线，它由对应边上3个结点的坐标唯一确定。因此，单元是协调的，同时也可证明，单元的位移函数反映刚体位移和常应变，具有完备性。满足收敛性要求。

现在是16页\一共有41页\编辑于星期四3、单元分析单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见下表：四结点单元八结点单元{δ}8×1列阵16×1列阵[B]3×8矩阵，4个分块3×16矩阵，8个分块[k]8×8矩阵16×16矩阵面力分到2个结点分到3个结点现在是17页\一共有41页\编辑于星期四单元应变式中：现在是18页\一共有41页\编辑于星期四由于Ni是ξ，η的函数，ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有：矩阵表示：现在是19页\一共有41页\编辑于星期四式中[J]称为雅可比矩阵：由上式可得：现在是20页\一共有41页\编辑于星期四应力矩阵：单元刚度矩阵是一个16×16的矩阵，仍为由于[B]是用局部坐标系ξ、η给出，因此有：

现在是21页\一共有41页\编辑于星期四3、等效结点力计算（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则

（2）表面力：设单元的某边（如ξ=±1）上作用有表面力（psx，psy），则现在是22页\一共有41页\编辑于星期四受内压厚壁圆筒算例作为八结点等参数单元法的应用，现考察受内压情况下厚壁圆筒的有限元解。该问题属平面应变问题，几何尺寸如图所示。由于对称性，只需将1/4区域离散成9个八结点等参数单元。材料的弹性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度取1.0，厚壁筒受内压为10。圆筒内半径为5，外半径为20。N-M-C。现在是23页\一共有41页\编辑于星期四网格划分现在是24页\一共有41页\编辑于星期四

受内压厚壁圆筒的径向、环向应力分布现在是25页\一共有41页\编辑于星期四5.3二十结点六面体等参数单元由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参数单元。如下图。现在是26页\一共有41页\编辑于星期四Solid95inANSYS四面体角锥体棱柱体现在是27页\一共有41页\编辑于星期四1、位移模式采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式：其形函数为：现在是28页\一共有41页\编辑于星期四2、单元中应变子块矩阵现在是29页\一共有41页\编辑于星期四根据复合函数求导规则，有

[J]为雅可比矩阵，其表达式为：现在是30页\一共有41页\编辑于星期四3、单元中应力4、单元刚度矩阵(60X60)5、等效结点荷载（1）体积力单位体积力现在是31页\一共有41页\编辑于星期四（2）面力某面面力现在是32页\一共有41页\编辑于星期四5.4高斯（Gauss）积分

在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。下面作简单介绍。现在是33页\一共有41页\编辑于星期四一维高斯积分公式n高斯点±ξi权函数Hi20.57735031.000000030.77459670.00000000.55555560.888888940.86113630.33998100.34785480.652145250.90617980.538469300.23692690.47862870.5688889现在是34页\一共有41页\编辑于星期四二维高斯积分公式式中积分点和权函数仍按上表采用。等参元数值积分中一般取2-3就可取得足够精度现在是35页\一共有41页\编辑于星期四现在是36页\一共有41页\编辑于星期四现在是37页\一共有41页\编辑于星期四2.5.11数值积分在求解刚度矩阵和结点荷载时，需计算如的积分。但一般是很复杂的，通常难以用显式表示其积分，一般都用数值积分方法计算积分值，即在单元内选出某些点，称为积分点，求出被积函数在这些点的值，然后根据这些数值求出积分值。数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距的，如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距的，如高斯方法。现在是38页\一共有41页\编辑于星期四一维高斯积分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.00000000000.77459666920.0000000000n＝30.55555555560.88888888890.86113631160.3399810436n＝40.34785484510.6521451549和是根据计算精度最高而选定的，积分点应是勒让德多项式的根。加权系数按下式计算。现在是39页\一共有41页\编辑于星期四二维及三维高斯积分公式先令保持常数，计算沿方向的积分再沿方向积分