第十二讲常微分方程和差分方程演示文稿

第十二讲常微分方程和差分方程演示文稿现在是1页\一共有58页\编辑于星期四（优选）第十二讲常微分方程和差分方程现在是2页\一共有58页\编辑于星期四微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换现在是3页\一共有58页\编辑于星期四基本概念一阶方程n阶常系数线性方程二阶方程一、主要内容——差分方程特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式代入法特征根法待定系数法线性方程解的结构相关定理特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式特征方程法待定系数法现在是4页\一共有58页\编辑于星期四差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定系数法现在是5页\一共有58页\编辑于星期四1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．现在是6页\一共有58页\编辑于星期四通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．现在是7页\一共有58页\编辑于星期四(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换现在是8页\一共有58页\编辑于星期四(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）现在是9页\一共有58页\编辑于星期四3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得现在是10页\一共有58页\编辑于星期四特点型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:现在是11页\一共有58页\编辑于星期四（2）二阶非齐次线性方程解的结构:现在是12页\一共有58页\编辑于星期四现在是13页\一共有58页\编辑于星期四５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.现在是14页\一共有58页\编辑于星期四特征方程为现在是15页\一共有58页\编辑于星期四６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.现在是16页\一共有58页\编辑于星期四现在是17页\一共有58页\编辑于星期四差分的定义7.差分方程基本概念现在是18页\一共有58页\编辑于星期四现在是19页\一共有58页\编辑于星期四差分方程与差分方程的阶定义1现在是20页\一共有58页\编辑于星期四定义2现在是21页\一共有58页\编辑于星期四为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解现在是22页\一共有58页\编辑于星期四n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式8.常系数线性差分方程解的结构现在是23页\一共有58页\编辑于星期四n阶常系数齐次线性差分方程解的结构现在是24页\一共有58页\编辑于星期四（是任意常数）

现在是25页\一共有58页\编辑于星期四现在是26页\一共有58页\编辑于星期四9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解现在是27页\一共有58页\编辑于星期四现在是28页\一共有58页\编辑于星期四现在是29页\一共有58页\编辑于星期四特征方程特征根现在是30页\一共有58页\编辑于星期四10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解现在是31页\一共有58页\编辑于星期四现在是32页\一共有58页\编辑于星期四(1)(2)综上讨论现在是33页\一共有58页\编辑于星期四现在是34页\一共有58页\编辑于星期四二、典型例题例1解原方程可化为现在是35页\一共有58页\编辑于星期四代入原方程得分离变量两边积分所求通解为现在是36页\一共有58页\编辑于星期四例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯努利方程现在是37页\一共有58页\编辑于星期四代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法现在是38页\一共有58页\编辑于星期四例3解代入方程，得故方程的通解为现在是39页\一共有58页\编辑于星期四例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为现在是40页\一共有58页\编辑于星期四原方程的一个特解为故原方程的通解为现在是41页\一共有58页\编辑于星期四由解得所以原方程满足初始条件的特解为现在是42页\一共有58页\编辑于星期四例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为现在是43页\一共有58页\编辑于星期四由解得现在是44页\一共有58页\编辑于星期四故原方程的通解为由即现在是45页\一共有58页\编辑于星期四例6解（１）由题设可得：解此方程组，得现在是46页\一共有58页\编辑于星期四例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)

这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:现在是47页\一共有58页\编辑于星期四方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为现在是48页\一共有58页\编辑于星期四例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为现在是49页\一共有58页\编辑于星期四令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为现在是50页\一共有58页\编辑于星期四例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:现在是51页\一共有58页\编辑于星期四(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是现在是52页\一共有58页\编辑于星期四原方程化为,即则故原方程通解提示:令现在是53页\一共有58页\编辑于星期四例2.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得现在是54页\一共有58页\编辑于星期四思考:

设提示:

对积分换元,则有解初值问题:答案:现在是55页\一共有58页\编辑于星期四的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对

x

求导,