演示文稿一阶线性微分方程及其解法

演示文稿一阶线性微分方程及其解法现在是1页\一共有56页\编辑于星期三（优选）一阶线性微分方程及其解法现在是2页\一共有56页\编辑于星期三可以验证:(1.4)式为微分方程(1)的(隐式)通解.注:

若题目只需求通解，则不必讨论现在是3页\一共有56页\编辑于星期三例1求微分方程解分离变量两端积分C现在是4页\一共有56页\编辑于星期三例2求微分方程解分离变量两端积分C注意到:当C=0时即y=0也是方程的解现在是5页\一共有56页\编辑于星期三应用:衰变问题:放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律解变量分离两端积分即又故故,衰变规律为现在是6页\一共有56页\编辑于星期三练习12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程变量分离两端积分即又现在是7页\一共有56页\编辑于星期三练习:12.2第3题两边求导得:变量分离注意:这里隐藏一个初始条件现在是8页\一共有56页\编辑于星期三利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为例6变量代换是解方程的一种常用的手段现在是9页\一共有56页\编辑于星期三现在是10页\一共有56页\编辑于星期三二、齐次方程形如的一阶微分方程称为齐次方程或现在是11页\一共有56页\编辑于星期三解法：

针对齐次方程，作变量代换即

，则将其代入原式，得：，即这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；然后，利用分离变量法求得现在是12页\一共有56页\编辑于星期三例1

求方程的通解解原方程化为,即这是齐次方程，令,即故代入得：现在是13页\一共有56页\编辑于星期三进行分离变量整理，并两边积分，故所求通解为：这是关于变量u与x的可分离变量方程，得：书上还有一个例子，自己可以练习练习现在是14页\一共有56页\编辑于星期三求微分方程，满足初始条件

的特解

解：方程可化为：

它是齐次方程。令代入整理后，有分离变量，则有

两边积分，得

即

代入上式，于是所求方程的通解为

把初始条件代入上式，求出，故所求方程的特解为

现在是15页\一共有56页\编辑于星期三例3

求方程的通解解：这是一个齐次方程。先将方程变形为令

,即

，故

现在是16页\一共有56页\编辑于星期三代入得：这是关于变量u与x的可分离变量方程，分离变量，并两边积分，得：故所以，原方程通解为：现在是17页\一共有56页\编辑于星期三五、小结本节主要内容是：1．齐次方程2．齐次方程的解法：关键是令，从而原方程转化为可分离变量方程去求解；，则，代入原方程后，或现在是18页\一共有56页\编辑于星期三判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法例1在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。1.一阶线性微分方程的定义（是）（是）现在是19页\一共有56页\编辑于星期三2.一阶线性微分方程的一般式3.一阶线性微分方程的分类

当时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程。

当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。或现在是20页\一共有56页\编辑于星期三齐次线性方程的通解为：1º齐次线性方程：求解法:分离变量：1.常数变易法现在是21页\一共有56页\编辑于星期三2º非齐次线性方程：作变换可分离变量方程现在是22页\一共有56页\编辑于星期三积分得一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:2.常数变易公式现在是23页\一共有56页\编辑于星期三（2）一阶线性非齐次微分方程常数变易法1）一般式2）解法3）通解公式齐次的通解非齐次的特解现在是24页\一共有56页\编辑于星期三关于通解公式要注意：只表示某一个函数若时，绝对值符号可不写即特别注意：

而是现在是25页\一共有56页\编辑于星期三例1、求微分方程的通解.解法1（常数变易法）原方程变形为:

对应的齐次方程为：得通解为设原方程的解为

从而代入原方程得现在是26页\一共有56页\编辑于星期三化简得

两边积分，得

所以，原方程的通解

解法2（用公式法）把它们代入公式得现在是27页\一共有56页\编辑于星期三解例2则通解为

现在是28页\一共有56页\编辑于星期三解练习则通解为

原方程变形为其中现在是29页\一共有56页\编辑于星期三解(不)例4通解：现在是30页\一共有56页\编辑于星期三因此方程满足初始条件的特解为(讲)求以下方程在下的特解原方程可化为：原方程通解为：或现在是31页\一共有56页\编辑于星期三求方程通解：若化为：则不是一阶线性的而化为：则是一阶线性的再见书上习题现在是32页\一共有56页\编辑于星期三解例9现在是33页\一共有56页\编辑于星期三(方法1)一阶非齐次线性方程现在是34页\一共有56页\编辑于星期三选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考点1、求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导4、求极值5、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程（令U=。。，转化为U和X的方程）8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性现在是35页\一共有56页\编辑于星期三解两曲线的交点面积元素选为积分变量例画草图如右现在是36页\一共有56页\编辑于星期三xyo现在是37页\一共有56页\编辑于星期三注：，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定点P0时，都有f(P)A求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）等价无穷小替换；现在是38页\一共有56页\编辑于星期三对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用例求或用重要公式原式现在是39页\一共有56页\编辑于星期三例求无穷小的性质现在是40页\一共有56页\编辑于星期三设确定两边对x求偏导数：再对上式对x求偏导数：（按商的求导公式）对于一阶偏导数，还可用公式法现在是41页\一共有56页\编辑于星期三现在是42页\一共有56页\编辑于星期三例1讨论(1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微.解(1)=0=f(0,0)现在是43页\一共有56页\编辑于星期三(2)现在是44页\一共有56页\编辑于星期三(3)？则rrwrr22)(0)(0limlimyxxyxyxy+==®=®现在是45页\一共有56页\编辑于星期三现在是46页\一共有56页\编辑于星期三例2现在是47页\一共有56页\编辑于星期三证令则同理故函数在点(0,0)处连续;现在是48页\一共有56页\编辑于星期三下面证明：可微.令则注此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.而非必要条件.现在是49页\一共有56页\编辑于星期三例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束现在是50页\一共有56页\编辑于星期三在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束现在是51页\一共有56页\编辑于星期三重复是学习之母——弗莱格

世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间－－－－高尔基

谢谢大家对我的支持！！祝大家考试取得好成绩！现在是52页\一共有56页\编辑于星期三因此方程满足初始条件的特解为二、一阶线性微分方程的应用

1.分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。2.建立微分方程。3.确定方程类型,求其通解.4.代入初始条件求特解.应用微分方程解决实际问题的步骤:现在是53页\一共有56页\编辑于星期三例5