桥梁结构数值分析理论

专题一桥梁结构数值分析理论桥梁结构分析的有限元法桥梁结构的非线性分析理论现在是1页\一共有123页\编辑于星期三

一、概述1850年矩阵符号问世，1956年Turner等人将刚架位移法推广应用到弹性力学的平面问题，并在分析飞机结构获得成功现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:1.由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题：拱坝、涡轮叶片、飞机、船体及大型桥梁2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题：结构地震、抗风与波浪力、动力反应3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题、土力学与岩石力学问题，疲劳与脆性断裂问题4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）现在是2页\一共有123页\编辑于星期三传统的杆单元、板单元、块单元、壳单元不断完善，索单元、虚拟层合单元等使得复杂结构分析得以简化.

本章--简述有限元法的基本思路汇总出桥梁结构分析中的常用单元刚度矩阵

现在是3页\一共有123页\编辑于星期三桥梁结构分析的有限元法概述有限元分析基本步骤结构的离散单元刚度矩阵坐标变换等价集中力和荷载列阵总刚的形成边界条件的处理线性方程求解现在是4页\一共有123页\编辑于星期三概述解析法根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得到问题的解析解。半解析法在数值分析方法中引入部分解析解或解析函数，得到问题的近似解。数值分析方法数值分析方法一般采用有限元法用程序进行求解。现在是5页\一共有123页\编辑于星期三解析法弹性力学平面问题的求解：2个平衡方程、3个几何方程、3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载）下偏微分方程组的数学求解过程。现在是6页\一共有123页\编辑于星期三7平面问题的平衡微分方程平面几何方程平面应力问题物理方程平面应变问题物理方程现在是7页\一共有123页\编辑于星期三将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法(semi-analyticmethod)。它既克服了纯解析的理论分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。有线条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”,条间纵向用接缝连接，由于正交异性板的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析十分有效。半解析法现在是8页\一共有123页\编辑于星期三将整个结构看成由有限个力学小单元组成的集合体，用有关的参数来表述这些被离散单元的力学性质，而整个结构的力学性质就只这些有限个单元特征的总和。由此来建立力的平衡关系和变形协调关系，求解杆件的内力。有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。有限元法现在是9页\一共有123页\编辑于星期三有限元分析的基本步骤有限元法分析的实施过程（三个阶段）(1)前处理阶段（约占整个工作量的60%）：将整体结构或其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代替连续实体结构或求解区域；(2)分析计算阶段（约占整个工作量的10%）：运用有限元法对结构离散模型进行分析计算；(3)后处理阶段（约占整个工作量的30%）：对计算结果进行分析、整理和归纳。现在是10页\一共有123页\编辑于星期三二、桥梁结构有限元法的分析过程

结构有限元法的分析过程六个步骤：（1）结构的离散化

将要分析的桥梁结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。（2）选择位移模式

假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：:例如分析对象是桁架桥时，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架桥本来就是由杆件组成的。但如果分析的对象是连续体，如板桥，那末为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。:选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。通常选择多项式作为位移模式。其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性要求。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等。这里所谓单元的自由度是指单元结点独立位移的个数。现在是11页\一共有123页\编辑于星期三（3）分析单元的力学特性

①利用几何方程，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变

②利用本构方程，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力

③利用变分原理，建立单元的平衡方程

单元坐标系与结构坐标系不一致时，需用坐标转换

单元刚度矩阵是单元特性分析的核心内容现在是12页\一共有123页\编辑于星期三（4）建立整个结构的平衡方程

两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效结点力列阵，集合成总的荷载列阵。常用方法---直接刚度法集合所依据的理由是要求所有的相邻的单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程（5）求解未知结点位移

考虑几何边界条件将方程作适当修改之后，根据方程组的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。

现在是13页\一共有123页\编辑于星期三结构的离散对象离散方法

自然离散（桁架）

逼近离散（连续体）

有限元网格有限单元节点现在是14页\一共有123页\编辑于星期三现在是15页\一共有123页\编辑于星期三现在是16页\一共有123页\编辑于星期三青岛海湾大桥大沽河航道桥现在是17页\一共有123页\编辑于星期三索鞍单元和边界模拟现在是18页\一共有123页\编辑于星期三吊索与主缆和加劲梁的连接模拟现在是19页\一共有123页\编辑于星期三临时墩模拟现在是20页\一共有123页\编辑于星期三施工索塔、桥墩、临时墩

架设加劲梁

现在是21页\一共有123页\编辑于星期三架设主缆吊索张拉过程

现在是22页\一共有123页\编辑于星期三吊索张拉完毕

成桥

现在是23页\一共有123页\编辑于星期三西安浐灞生态区2#桥

西安浐灞生态区2#桥，异形斜拉主桥结构形式为斜独塔斜拉桥，半飘浮体系。跨径布置为145米+48米+42米，其中145米为钢箱梁主跨。现在是24页\一共有123页\编辑于星期三有限元模型现在是25页\一共有123页\编辑于星期三现在是26页\一共有123页\编辑于星期三锚具与锚体锚具与散索钢箱梁钢锚梁现在是27页\一共有123页\编辑于星期三现在是28页\一共有123页\编辑于星期三现在是29页\一共有123页\编辑于星期三（b）引入裂缝统计特征后的斜裂缝分布混凝土损伤评估——剪弯曲段模拟现在是30页\一共有123页\编辑于星期三其它示例现在是31页\一共有123页\编辑于星期三其它示例现在是32页\一共有123页\编辑于星期三其它示例现在是33页\一共有123页\编辑于星期三其它示例现在是34页\一共有123页\编辑于星期三单元刚度矩阵35平面梁单元回顾平面梁单元刚度矩阵现在是35页\一共有123页\编辑于星期三1）平面梁单元刚度矩阵36图2所示两结点梁单元，每个节点有三个位移:两个线位移u、w一个角位移θ。两个节点共有六个位移，组成节点位移列阵：用一般的结构力学方法可以求得结点力与结点位移之间的关系为：—局部坐标系下的刚度矩阵e-element现在是36页\一共有123页\编辑于星期三37单元的六个杆端力与六个杆端位移关系现在是37页\一共有123页\编辑于星期三38现在是38页\一共有123页\编辑于星期三坐标变换39

为了在整体坐标系中集合单元刚度矩阵，要把局部坐标系中的单元刚度矩阵转换到整体坐标系中去。为此，要先求出坐标转换矩阵。设杆i、j在整体坐标系中的位置如图。杆轴方向与整体坐标系的轴之间的夹角为α。设局部坐标系中的杆端结点力向量为

：在整体坐标系中的结点力向量为现在是39页\一共有123页\编辑于星期三40两者存在着下列转换关系：式中—坐标转换矩阵，它是一个正交矩阵，即有坐标转换系数矩阵平面梁的坐标转换系数矩阵现在是40页\一共有123页\编辑于星期三同理，结点位移在两种坐标系中存在着相同的转换关系，即：式中—局部坐标系中的结点位移向量—整体坐标系中的结点位移向量在局部坐标系中有刚度方程41坐标转换系数矩阵现在是41页\一共有123页\编辑于星期三将式代入上式可得令则这就是整体坐标系中的6×6阶单元刚度矩阵。42坐标转换系数矩阵现在是42页\一共有123页\编辑于星期三等价集中力及荷载列阵

如果在单元内有非节点荷载，就不可能直接建立结构刚度方程，因为结构刚度方程表示的是节点力的平衡方程。下图所示结构具有3个节点，2个单元，

、

、

为节点荷载，

、

为非节点荷载。单元内有非节点荷载作用的连续梁43现在是43页\一共有123页\编辑于星期三

要解决这个问题，需用等效节点荷载来代替非节点荷载来分析整体结构受力，处理原则为在等效节点荷载作用下的结构节点位移与实际荷载作用下结构的节点位移应相等。具体可按如下步骤处理：(1)求等效节点荷载计算非节点荷载的等效节点荷载时可分两步进行：第一步：在各节点加上约束，阻止节点发生位移，计算结构上所有非节点荷载的效应，其中

、

、

为非结点荷载在增加的约束中引起的反力(弯矩)。单元(1)、(2)产生的固端力矩(加脚标0表示固端力矩)为：

，

44现在是44页\一共有123页\编辑于星期三

各节点增加的约束中的反力分别为与该节点相关联单元的固端力矩之和：

第二步，去掉各节点的约束，相当于在各节点施加外力矩向量{P}＝-{M0}；再叠加上原有的节点荷载

、

、

，总的节点荷载图所示。

45现在是45页\一共有123页\编辑于星期三

(2)求各杆端弯矩连续梁在非节点荷载作用下的杆端弯矩由两部分组成，一部分是在节点加阻止位移的约束时非节点荷载作用下的杆端弯矩，另一部分是在等效节点力荷载作用下的杆端弯矩。将两部分杆端力进行叠加，即得非节点荷载作用下各杆的杆端弯矩。

这种转换的理论基础是：在某任意位移下，真实分布力和等价集中力所做的虚功相等。46现在是46页\一共有123页\编辑于星期三等效节点荷载现在是47页\一共有123页\编辑于星期三总刚的形成

通过整体分析，建立了节点的平衡方程，即结构的刚度方程，从而得到结构刚度矩阵。但是，要实现电算，不可能对每一具体结构都作一次总体分析，而应该找一种规律，在确定了节点位移和荷载的排序后，使计算机能够直接由单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵，从单元刚度方程得到结构的刚度方程，这一方法称为直接刚度法。下面回顾下用直接刚度法直接由单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵的过程。(1)确定结构刚度矩阵的阶数现在是48页\一共有123页\编辑于星期三结构刚度方程中第i行，表示该结构第i个位移分量上力的平衡方程，因此，如果结构有N个独立位移分量，就可列出N个独立平衡方程，结构刚度矩阵就是N×N阶的。本例有3个独立的位移分量，故总刚必然为3×3阶的，写成：

49现在是49页\一共有123页\编辑于星期三(2)确定单元刚度矩阵中元素与结构刚度矩阵中元素的关系若将单元刚度矩阵下标写成位移分量编号的形式。单元1：,单元2：,有：

，，，，

，

，

，

。

，50现在是50页\一共有123页\编辑于星期三可见，若将单元刚度矩阵中元素下标写成位移分量编号的形式，则结构刚度矩阵中任一刚度元素与单元刚度矩阵中元素有如下关系：因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步式中：e-单元号，ne-结构单元总数因此，用直接刚度法集成总刚，可归纳为以下几步：⑴结构未知量进行编号，确定各未知量在结构刚度方程中

的位置(行号)；⑵确定结构刚度矩阵的阶数N；⑶对单元e进行循环，寻找e单元刚度矩阵中各元素下标对应于整体刚度方程中的未知量编号；并按此编号，根据上式分别叠加到结构总体刚度矩阵中的对应位置上去。，51现在是51页\一共有123页\编辑于星期三对单元循环完毕时，结构刚度矩阵就形成了。形成结构刚度矩阵是有限元分析过程中十分重要的环节，为了节约计算机存储空间，加快刚度方程求解速度，还必须了解结构刚度矩阵具有如下性质：⑴结构刚度矩阵是N×N阶的方阵，N为结构的未知量总数。⑵结构刚度矩阵是对称阵，即

，这一性质由力-位移互等定理决定。⑶处于同一单元上的两个未知量称相关未知量。若两个未知量不相关，则

。由式(13)可知，两个未知量不相关，就没有单元刚度矩阵贡献，因此

，如本例中

;，现在是52页\一共有123页\编辑于星期三⑷结构刚度矩阵为带状矩阵，其非0元素分布在主对角线元素附近。⑸结构刚度矩阵是稀疏阵，非0元素很少。对于较大规模的结构，结构刚度矩阵中的非0元素只占总元素的10%左右。⑹结构刚度矩阵是非负定矩阵，即对任意不为0的N维向量

有：

。，现在是53页\一共有123页\编辑于星期三边界条件的处理

在建立了结构的整体刚度矩阵后，可进一步求结点位移，但是此时结构未引入边界条件（支承条件），是一个悬空结构，如果荷载P本身不是平衡力系，则这个悬空结构显然无法维持平衡，因而在静力学中无法求出它的内力和位移；如果荷载P本身是平衡体系，则这个悬空结构还可以做刚体运动。现在是54页\一共有123页\编辑于星期三

整体刚度矩阵K是一个奇异矩阵，只有引入一定的支承条件后修改整体刚度矩阵，使之成为非奇异矩阵，才可以求出结点位移。也就是只有当结构加上几何约束排除刚体位移，才能解出全部位移分量。所以，在求解结点位移之前，必须对结构进行边界条件处理。现在是55页\一共有123页\编辑于星期三在结点1、2加上固定支座，于是，在结点1、2的6个位移分量为0，结点位移未知量只有结点3、4的6个位移分量，因此结构要求的位移分量只有6个。因此平衡方程式可以写成：

直接法现在是56页\一共有123页\编辑于星期三为了求解结点3、4的6个位移分量，可以从上面方程中直接划去前面两个方程得到：这种方法称为直接法。现在是57页\一共有123页\编辑于星期三直接法的特点：（1）直观；（2）矩阵的规模小；（3）结点编号和排序改变，不利于计算机的规范化处理。现在是58页\一共有123页\编辑于星期三为了便于编制计算程序，希望修改后的矩阵仍然保留原矩阵的阶数和排列顺序，因此，将矩阵写成如下形式：支承条件各式各样，有固结、铰接（固定支座、活动支座），需分别处理。现在是59页\一共有123页\编辑于星期三1.结点位移为0的情况（如uk=0）将总刚K中的第3k-2行的主元素置为1，将3k-2行、3k-2列的其它元素划0。然后，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为0。2.结点位移为一已知量的情况（如vk=b)

将总刚K中的第3k-1行的主元素置为1.将3k-1行、3k-1列的其它元素划0。将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为b。

置1划0法现在是60页\一共有123页\编辑于星期三1.结点位移为0的情况（如uk=0）将总刚K中的第3k-2行的主元素乘以一个足够大的大数A0，其余元素不变，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为0。2.结点位移为一已知量的情况（如vk=b)

将总刚K中的第3k-2行的主元素乘以一个足够大的大数A0（如1018），其余元素不变，将方程组的右端荷载列阵中相应的行改为主元素乘以b，即。

对角元素乘大数法现在是61页\一共有123页\编辑于星期三线性方程的求解

高斯消去法对称正定矩阵方程组的平方根法现在是62页\一共有123页\编辑于星期三

高斯消去法现在是63页\一共有123页\编辑于星期三

平方根法现在是64页\一共有123页\编辑于星期三桁架桥结构分析现在是65页\一共有123页\编辑于星期三桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（），单元坐标系（），则单元结点位移列阵和结点力列阵分别为单元坐标系下单元刚度矩阵和坐标转换矩阵为现在是66页\一共有123页\编辑于星期三经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为其中：现在是67页\一共有123页\编辑于星期三在初步设计时，可将空间问题简化为平面问题，用平面桁架来计算，如图所示。这时y方向变位被取消，结点位移列阵

结点力列阵

单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但分块矩阵项

结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但

平面桁架及其单元现在是68页\一共有123页\编辑于星期三梁式桥结构分析现在是69页\一共有123页\编辑于星期三多梁式简支、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合单元，也可取抗扭梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为

梁式桥及其单元现在是70页\一共有123页\编辑于星期三单元刚度矩阵现在是71页\一共有123页\编辑于星期三梁及其单元

单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为结点力列阵

单元刚度矩阵

现在是72页\一共有123页\编辑于星期三如果考虑剪切变形影响时，梁单元刚度矩阵

为剪切影响系数为杆截面沿轴方向的有效抗剪面积材料抗剪模量

其中：

现在是73页\一共有123页\编辑于星期三分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵

铰接悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵现在是74页\一共有123页\编辑于星期三刚架桥结构分析现在是75页\一共有123页\编辑于星期三刚架桥结构分析空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度，结点位移列阵空间梁单元结点力列阵现在是76页\一共有123页\编辑于星期三单元刚度矩阵对称现在是77页\一共有123页\编辑于星期三考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵对称现在是78页\一共有123页\编辑于星期三单梁式刚架桥可按平面刚架进行分析，单元结点列阵刚架桥及其单元结点荷载列阵单元刚度矩阵单元刚度列阵现在是79页\一共有123页\编辑于星期三桥梁专用有限元程序介绍平面杆系程序（1）DoctorBridge——同济大学桥梁博士系统是一个集可视化数据处理、数据库管理、结构分析、打印与帮助为一体的综合性桥梁结构设计与施工计算系统。系统的编制完全按照桥梁设计与施工过程进行，密切结合桥梁设计规范，充分利用现代计算机技术，完全符合设计人员的习惯。对结构的计算是宁繁勿简，充分考虑了各种结构的复杂组成与施工情况，使用方便，计算精确。系统充分利用Windows平台的特点：标准一致的用户界面、多任务系统、鼠标的点取和强大的设备支持特性。另外，Dr.Bridge系统改用面向对象程序编制方法，使得用户对系统的干预大大加强，便于处理各种复杂情况。

现在是80页\一共有123页\编辑于星期三软件可以计算除悬索桥以外的大多数桥梁，如钢筋混凝土及预应力混凝土简支梁、连续梁、刚构桥、系杆拱桥、桁架梁、斜拉桥等多种桥梁。而且提供斜弯桥及异型桥计算模块，可以采用梁格法计算斜桥、弯桥和异性桥梁。现在是81页\一共有123页\编辑于星期三现在是82页\一共有123页\编辑于星期三（2）公路桥梁结构设计系统GQJS——交通部公路科研院公路桥梁结构设计系统（汉语拼音缩写为GQJS）于98年8月正式推出Windows版，该版本称为GQJS4.0。其前身是由交通部组织行业专家联合开发的桥梁综合程序GQZJ(参见陆楸、王春富、冯国明编《公路桥梁设计电算》上、下册（桥梁上部结构）人民交通出版社1983年6月)。GQZJ程序1978年投入试用，1980年通过原交通部公路总局的技术鉴定。该系统在公路系统推广应用20年多年来，历经许多桥梁界计算机专家的修改完善，在工程上得到广泛的使用与验证。在转为Windows版时定名为公路桥梁结构设计系统GQJS。因新的系统已不仅仅是单纯进行结构分析，还包括的动态可视化的数据前处理界面、数据图形检验、结果图形浏览和检索、预拱度设置、施工图绘制等一系列的设计功能。它改变了过去桥梁结构计算只能以文本文件操作方式进行的老模式，并对桥梁综合程序输入数据结构做了改造，特别改变了单元坐标和预应力信息数据表达方式，使数据结构大为简化。软件操作改为在仿Office的软件界面的全新操作方式，输入数据、结构计算、察看计算结果集成于同一界面系统之中。

现在是83页\一共有123页\编辑于星期三（3）MIDAS/Civil

——MIDAS/Civil是目前最先进的土木结构分析系统,它对预应力箱型桥、悬索桥、斜拉桥、水化热分析等土木建筑的分析中所需要的各种功能进行了综合的考虑。

在计算机技术方面，MIDAS/Civil所使用的是客体指向性计算机语言VisualC++，因此可以充分地发挥32bit视窗环境的优点特点。

以用户为中心的输入输出功能使用的是精确而且直观的用户界面和尖端的电脑图形技术，从而为考虑施工阶段或者材料时间依存性的土木建筑物的建模和分析提供了很大的便利。

在结构设计方面，MIDAS/Civil全面强化了实际工作中结构分析所需要的分析功能。通过在已有的有限元库中加入索单元、钩单元、间隙单元等非线性要素，结合施工阶段、时间依存性、几何非线性等最新结构分析理论，从而计算出更加准确和切合实际的分析结果。

建模技术采用的是自行开发的新概念CAD形式的建模技术，可以更加提高建模效率。特别是由于拥有如结构建模助手等高效自动化建模功能，所以只要输入截面形状、桥梁特点、预应力桥的钢束位置等基本数据，就可以自动建立桥梁模型以及施工阶段的各种数据。

现在是84页\一共有123页\编辑于星期三MIDAS/Civil的适用领域如下：

所有形式的桥梁分析与设计钢筋混凝土桥、钢桥、联合梁桥、预应力桥、悬索桥、斜拉桥

大体积混凝土的水化热分析

桥台、桥墩、防波堤、地铁、其它基础建筑地下建筑的分析地铁、通信电缆管道、上下水处理设施、隧道发电站及工业设施结构设计发电站、铁塔、压力容器、水塔等其它国家基础建设结构设计飞机场、大坝、港湾等

现在是85页\一共有123页\编辑于星期三通用程序（1）通用有限元程序—ANSYS

ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。软件提供了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。

现在是86页\一共有123页\编辑于星期三现在是87页\一共有123页\编辑于星期三（2）ALGORALGOR作为世界著名的大型通用工程仿真软件，被广泛应用于各个行业的设计、有限元分析、机械运动仿真中。包括静力、动力、流体、热传导、电磁场、管道工艺流程设计等，能够帮助设计分析人员预测和检验在真实状态下的各种情况，快速、低成本地完成更安全更可靠的设计项目。ALGOR以其分析功能齐全、使用操作简便和对硬件的要求低，在从事设计、分析的科技工作者中享有盛誉。作为CAE分析工具的代表之一,ALGOR在汽车，电子,航空航天，医学，日用品生产，军事，电力系统，石油，大型建筑以及微电子机械系统等诸多领域中均有广泛应用。现在是88页\一共有123页\编辑于星期三ALGOR几个主要分析功能：静力学分析功能线性应力分析复合材料分析间隙单元分析复合材料和间隙单元分析线性稳定性分析线性动力学分析功能线性模态分析复合材料模态分析时间历程分析响应谱分析线性瞬态应力分析复合材料瞬态应力分析频率响应分析随机振动分析载荷作用下的模态分析现在是89页\一共有123页\编辑于星期三非线性动力分析功能

非线性模态分析非线性动态响应分析热传导分析功能稳态热传导分析瞬态热传导分析流动分析功能二维稳态流动分析二维瞬态流动分析三维稳态流动分析三维瞬态流动分析电场分析功能管道设计及分析功能机械事件仿真功能多物理场分析能力

现在是90页\一共有123页\编辑于星期三（3）三维通用结构分析设计程序—SAP2000

现在是91页\一共有123页\编辑于星期三

小结（1）有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域，其分析精度亦因所采用的单元形式，单元数量和单元划分情况等不同而有所差异。在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下，桥梁结构建模在有限元分析中非常重要，科学合理的建模，不仅可以得到更为精确和期望结果，而且可节约计算时间，提高计算效率。（2）桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切，变形、内力等有累计、重分布等特点，同一座桥如采用不同的施工方法，其恒载内力差异很大，大多情况下需跟踪分析，活载内力计算时的动态加载非常重要，除桥梁专用分析软件外，通用软件一般不具备此功能，其基本方法可参见文献。现在是92页\一共有123页\编辑于星期三桥梁结构的非线性分析

桥梁结构的非线性问题桥梁结构材料非线性分析桥梁结构几何非线性分析

小结

现在是93页\一共有123页\编辑于星期三桥梁结构的非线性问题从20世纪中起，科学为困扰人们的非线性问题奠定了力学基础上世纪60年代末，有限元法与计算机相结合，使工程中的非线性问题逐步得以解决；目前，求解桥梁结构非线性问题，已经不是特别困难，而重要的是提高精度、节省计算机时和寻找合理有效的本构模型及其复杂问题的简化方法。经典线性理论基于:

小变形弹性本构关系理想约束三个基本假定，使得:

本构方程几何运动方程平衡方程成为线性。若研究的对象不能满足以上假定中的任何一个时，就转化为各种非线性问题。现在是94页\一共有123页\编辑于星期三（1）材料非线性问题若被研究结构的材料本构方程成非线性方程，而引起基本控制方程的非线性，则称其为材料非线性问题。如第13章所介绍的混凝土本构关系中，大多本构模型为非线性模型，必将引起平衡方程的非线性。在桥梁工程问题中:

混凝土的徐变、收缩、结构弹塑性等都属于材料非线性问题桥梁结构中常用的低碳钢在承载力的后期亦进入弹塑性阶段，呈现出材料非线性本质。材料非线性问题可以分为非线性弹性问题和弹塑性问题两大类，前者在卸载后无残余应变存在，后者会存在残余变形。但两者的本质是相同的，求解方法亦完全一样。（2）几何非线性问题若放弃小变形假设，从几何上严格分析单元体的尺寸、形状变化，得到非线性的几何运动方程及控制方程，则称其为几何非线性问题。由于控制平衡方程是建立在结构变形后的位置上，结构的刚度除了与材料及初始构形有关外，还与受载后的应力、位移状态有关。如:柔性桥梁结构的恒载状态确定问题现在是95页\一共有123页\编辑于星期三恒、活载计算问题结构稳定等均属几何非线性问题。众所周知的吊桥挠度理论以及第19章的拱桥挠度理论则是典型的桥梁几何非线性问题。几何非线性理论一般可分为大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变即有限应变理论两种。桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。一些简单几何非线性问题可以找到解析解，如压弯杆稳定问题，拱圈刚度按一定规律变化的拱桥大挠度问题，悬索桥在简单荷载作用下的大挠度问题等。但多数问题还需借助有限元及其它数值法求解（3）接触问题若受力后的边界条件在求解前是未知的，即不满足理想约束假定而引起的边界约束方程的非线性问题称其为接触问题。如:悬索桥主缆与鞍座的接触状态问题支架上预应力梁在张拉后的部分落架现象等均属此类，此问题在桥梁工程上表现不多，但不应忽视。现在是96页\一共有123页\编辑于星期三（4）桥梁结构非线性材料非线性问题在混凝土桥中表现最为突出，由于混凝土材料本身的特性，可以说，混凝土桥从施工到运营全过程中，非线性始终贯穿其中。由于收缩、徐变、开裂等因素的综合作用，使得全因素精确分析非常困难，而不得不采用单因素或少因素非线性分析后，再近似叠加考虑综合因素影响。圬土材料桥梁结构的材料非线性特性是材料非线性问题在桥梁工程上的又一难点，这方面的研究文献亦不多见，长安大学公路学院胡大琳教授的研究[3]具有代表性。相对材料非线性问题来说，桥梁结构的几何非线性问题更多一些，特别是跨径增大，结构变柔，系统复杂后，分析中的梁柱效应、索垂度效应、结构位移与后期荷载的二次影响等变得不可忽略。所建立的挠度理论平衡微分方程求解也越来越困难。寻求更精确、更方便的理论和方法一直是研究者努力的方向，也是工程界所渴望的

现在是97页\一共有123页\编辑于星期三

桥梁结构材料非线性分析(1)材料非线性问题的平衡方程以钢材和混凝土为主要材料的桥梁结构，所涉及的材料非线性主要是弹塑性问题。以有限元分析桥梁结构时，所建立的平衡方程为

由于并未放弃小变形假定，对桥梁的材料非线性问题，上列两式仍然成立，但物理方程是非线性的，可以写成

注意到平衡方程式是以应力表示的，由于小变形的关系仍然是线性的，但是以结点位移表示的平衡方程则不再是线性的，因为应力和应变之间是非线性的，而应力和位移之间也是由非线性关系所联系，于是改写为此即为材料非线性问题的平衡方程

现在是98页\一共有123页\编辑于星期三(2)迭代求解方法用迭代方法求解材料非线性问题的平衡方程，可分为

变刚度迭代法常刚度迭代法（a）变刚度迭代法变刚度法分为割线刚度法（直接刚度法）和切线刚度法。如果材料的本构关系能够表示成则应力位移关系刚度矩阵平衡方程迭代公式迭代步骤如下

①首先取，则

②由式

现在是99页\一共有123页\编辑于星期三③取，算得

④⑤多次迭代直止给定小数，则就是方程的解

此图是此种迭代过程的应力变化，可以看出，弹性矩阵表示应力应变曲线上的割线斜率，所以此法称为割线刚度法或称直接迭代法

现在是100页\一共有123页\编辑于星期三如果材料的应力应变关系能够表示为增量的形式，即

并将平衡方程式改写为

上式的增量形式为

则有

切线刚度矩阵

切线弹性矩阵

可以采用Newton-Raphson切线刚度迭代法，其迭代公式为迭代步骤如下①已知，求得，切线弹性矩阵，现在是101页\一共有123页\编辑于星期三②算出及，则

③重复①、②步骤，直到接近真实解，使给定小数计算时，可取进行首次迭代。下图是此种迭代过程的应力变化。可看出，弹性矩阵表示应力、应变曲线上的切线斜率，所以此法亦称为切线刚度法。现在是102页\一共有123页\编辑于星期三（b）常刚度迭代法(自学)如果材料的本构关系可以写为将其用具有初应力的线弹性物理方程来代替初应力列阵

线性弹性矩阵，即时的切线弹性矩阵

若调整，使上列两式等价，则

假想弹性应力

有平衡方程写成迭代公式

迭代步骤类似于切线刚度法，首次近似解通常取，切线性弹性问题的解。以上叙述的是常刚度迭代法中的初应力法，类似的还有适于求解蠕变问题的初应变法，可参阅文献[1]

现在是103页\一共有123页\编辑于星期三（3）增量求解方法（自学）（a）弹塑性本构关系的特点单轴应力下的材料典型弹塑性本构关系如图所示，其特点可归纳为：①应力在达到比例极限前，材料为线弹性；②应力在比例极限和弹性极限之间，材料为非线性弹性。③应力超过屈服点（），材料应变中出现不可恢复的塑性应变，应力和应变间为非线性关系④应力在下卸载，则应力增量与应变增增量之间存在线性关系，即

⑤可用下列条件判断是加载还是卸载：

当时为加载，且满足；当时为卸载，且满足

⑥在卸载后某应力下重新加载，则当时，

卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力

⑦由卸载转入反向加载，应力应变关系继续依线性关系，一直到反向屈服。现在是104页\一共有123页\编辑于星期三若，称此材料为理想塑性材料若，称此为硬化现象或加工硬化。

理想塑性材料（b）增量形式的弹塑性矩阵通式在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可用应力的某种函数表示

即此式的几何意义为现在是105页\一共有123页\编辑于星期三以为坐标轴的空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时，，材料呈弹性状态；

时，材料开始进入塑性。各向同性材料的屈服条件与坐标轴的选取无关，屈服函数可以主应力函数形式表示为屈服准则表达形式较多，常用的有：①米赛斯（VonMises,1913）准则：应力偏量的第二不变量（）达到某一极限时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第四强度理论，即②特雷斯卡（Tresca,1864）准则：最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论，即

③Drucker-Prager准则：现在是106页\一共有123页\编辑于星期三在一般情况下，对于弹塑性状态的物理方程，无法建立起最终应力状态和最终应变状态之量的全量关系，而只能建立反映加载路径的应力应变之间的增量关系，且可反映加载和卸载过程。研究弹塑性增量理论必须从本构矩阵开始。设屈服函数为

应力状态

硬化函数

全应变增量可以分为两部分：弹性增量塑性增量

而应力增量与弹性应变增量之间是线性关系，即

弹性矩阵

塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联流动法则（普朗特——路斯流动法则[1]）。塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交，用数学公式表示为现在是107页\一共有123页\编辑于星期三得

对全微分得

用乘上式，并消去，可得

现在是108页\一共有123页\编辑于星期三此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。文献[1]给出了三维空间问题、轴对称问题、平面应力问题和平面应变问题的显式桥梁结构几何非线性分析

桥梁结构几何非线性分析一般采用有限位移理论，在建立以杆系结构有限位移理论为基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般考虑以下三方面的几何非线性效应：①杆端初内力对单元刚度矩阵的影响。一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。结构分析中的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的刚度变化对本期荷载响应的影响问题。现在是109页\一共有123页\编辑于星期三②大位移对建立结构平衡方程的影响。此问题有两种考虑办法，一是将参考坐标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题，称为T.L列式法；另一种是以将参考坐标选在变形后的位置上，让节点坐标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上，称为U.L列式法。③索垂度效应对单元刚度的影响。此问题亦有两种处理方法，一是引入Ernst公式，通过等效模量法来近似修正垂度效应，而用杆单元近似模拟索类构件；另一种是直接导出索单元切线刚度矩阵。（1）杆系结构的U.L列式迭代求解法下图所示的未变形平面梁单元在整体坐标系内，从结点和的坐标值出发，算出，，和，当单元变形后，结点位移用和表示，于是单元移动到如图b)所示的位置建立起变形后结点和的局部坐标。由图b）中的几何关系有于是梁单元在局部坐标下的结点位移可以表示为

现在是110页\一共有123页\编辑于星期三亦可用局部坐标系下结点位移列阵表示为现在是111页\一共有123页\编辑于星期三用角将其转换到整体坐标中有

由于单元刚度矩阵是由局部坐标转换到整体坐标而得到的，转换矩阵的方向余弦成为位移状态的函数，所以是单元结点位移列阵的函数

迭代步骤

①首先对结构以线性理论计算弹性位移，建立各单元的局部坐标②计算在局部坐标下各单元位移得到，建立在局部坐标下各单元的刚度矩阵，并计算结点力

③变换和到整体坐标下的和

④集合单元刚度矩阵，形成结构的整体刚度矩阵，此即为当时变形位置的结构刚度矩阵

若变形后的单元刚度矩阵用表示，那么它的单元结点力可以用结点位移表示为现在是112页\一共有123页\编辑于星期三⑤计算单元作用到结点上的力和不平衡力

⑥求解结构平衡方程，得到位移增量，将加到前次迭代

中累积起来的结点位移中去，给出结点位移新的近似值

⑦检查收敛性，直到趋于零为止。写成迭代公式为

而和是以当时的位移为基础的，它要在每次迭代中加以修改，{F}可以一次计入，也可以分成几个荷载水平，当前级按上述方法求解后再进入下一级荷载水平，即把迭代计算和增量计算结合起来进行。若以位移为基础作为收敛性判据有时会更好一些。这时可取某一给定小数时，认为是收敛了

现在是113页\一共有123页\编辑于星期三(2)几何非线性问题的一般拉格朗日（lagrangian）列式迭代法

建立有限元平衡方程的虚位移原理可以描述为：外力因虚位移所作的功等于结构因虚应变所产生的应变能。用公式表示为

内力和外力矢量的总和

虚位移

虚应变

所有载荷列阵

若用应变的增量形式写成位移和应变的关系，有

消去

即为非线性问题的一般平衡方程式，且不论