人教版八年级上册数学《角平分线的性质1》赛课一等奖创新课件

角的平分线的性质下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线．你能说明它的道理吗？

ABDCE尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？思考AOBPEDC你能证明吗？将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.图1-26∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，

OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴

PD=PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.C角平分线的性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．1、∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(______________________________)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

BD=DC，

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×体验成功∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等例1.

如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.DEFABCPMN例2.已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA动脑筋角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图1-27，点P

在∠AOB

的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？图1-27在Rt△PDO和Rt△PEO中，∵

OP=OP，PD=PE，∴

Rt△PDO≌Rt△PEO.∵

PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴∠AOC=∠BOC.∴

OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.图1-27角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的判定定理：AOBPDEC用符号语言表示为：∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE∴OC平分∠AOB.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：已知：如图在四边形ABCD中，AB＝AD，

AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点A在∠DCB的平分线上．体验成功举例例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.

（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；（2）求证：BD是∠ABC的平分线.图1-28证明：在△ABC中，∵∠1=∠2，∴

BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.图1-28（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∵

BA=BC，BD=BD，∴

Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴

BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.例

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.ABCPMNABCPMN练习：

已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、

BC、CA，垂足分别为D、E、FFDEDE又∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上

∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即点P到边AB、BC、

CA的距离相等想一想，点P在∠A

的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上解：设要截取的长度为Ｘm,则：

练习：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路解得：Ｘ＝0.025m

＝2.5cmＡ则点Ａ即为所求的点拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点解作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所

求作的点P.（提示：用尺规作图）练习如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.P2.如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.

求证：AB=AC.证明∵点D在∠BAC的平分线上，

DE⊥AB，DF⊥AC，

∴

DE=DF.

∴

AB=AC.在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵

BD=CD，DE=DF，∴

Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.动脑筋如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF

的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？图1-29图1-29∵

ME⊥CD，MN⊥CA，同理可得AM是∠CAB的平分线.可以添加条件MN=ME

（或MN=MF）.∴

M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.图1-29如图1-30，在△ABC

的外角∠DAC

的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.例2∴

PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB，∴

BE+PF>PB.∵

AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，解图1-30举例利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。练习3

如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABO练习如图，E是∠AOB

的平分线上一点，EC⊥OA

于点C，ED⊥OB于点D.

求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，

∵

OE=OE，ED=EC，∴

Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴

OD=OC.证明（1）∵点E在∠BOA的平分线上，

EC⊥AO，ED⊥OB，

∴

ED=EC.

∴∠ECD=∠EDC.∴△EDC

是个等腰三角形.2.如图，在△ABC

中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，

BC分别平分∠BAD，∠ABE