基本要求-控制系统数学模型

基本要求-控制系统数学模型第一页，共39页。2-1概述一.数学模型1.定义：描述控制系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。静态数学模型;动态数学模型;建立数学模型是分析和设计自动控制系统的首要任务。第二页，共39页。

另一个原因：许多表面上看毫无共同之处的控制系统，其运动规律具有相似性，可以用相同形式的数学模型表示。2.为什么要建立数学模型：只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，还要从理论上对系统性能进行定量的分析和计算。第三页，共39页。3.表示形式a.时域:微分﹑差分﹑状态方程

b.复域:传递函数﹑结构图

c.频域:频率特性

三种数学模型之间的关系线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换第四页，共39页。4.建立方法a.分析法根据支配系统的内在的运动规律以及系统的结构和参数，列写相应的运动方程，建立数学模型。b.工程实验法给系统施加激励信号,记录系统的输出响应，用适当的数学模型逼近从而建立系统的数学模型。第五页，共39页。二.线性系统1.定义：用线性微分方程描述的元件或系统。设元件输入为时，对应的输出为

当r（t）=r1（t）+r2（t）时，

c（t）=c1（t）+c2（t）满足迭加性当r（t）=Ar1（t）时，

c（t）=Ac1（t）满足齐次性叠加原理：具有迭加性和均匀性(齐次性)。第六页，共39页。2.特点：线性性质应用。

迭加性的应用

欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。

齐次性表明

当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。第七页，共39页。线性连续系统微分方程的一般形式定常系统：系数为常数时变系统线性系统：满足齐次性和叠加性第八页，共39页。2-2微分方程的建立及线性化一.微分方程的建立

微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。

一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。第九页，共39页。例1.弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。求m在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。mkF(t)x(t)阻尼系数f阻尼器弹簧第十页，共39页。首先确定：输入F(t),输出x(t)其次：依据元件运动规律1.牛顿第二定律物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积2.牛顿第三定律作用力等于反作用力

(这里不考虑重力的影响)mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力第十一页，共39页。

微分方程的标准形式:1、与输入量有关的项写在方程的右端；2、与输出量有关的项写在方程的左端；3、方成两端变量的导数项均按降幂排列第十二页，共39页。电气系统三元件（知识补充）电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。第十三页，共39页。例题2RC电网络建模第十四页，共39页。例2（变化1）RL电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容电压uL(t)的变化。第十五页，共39页。例2（变化3）RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容电压uc(t)的变化。RLCur(t)uc(t)i(t)第十六页，共39页。这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。比较：电路系统微分方程上题机械平移系统的微分方程第十七页，共39页。综上所述,列写元件微分方程的步骤如下:1)在条件许可下适当简化，忽略一些次要因素；2)根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量;3)分析元件工作中所遵循的物理或化学规律,列写相应的微分方程;4)消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程。5)将微分方程写成标准形式。第十八页，共39页。考虑两个模块是串联关系，总体传递函数是两个模块传递函数相乘就可以了单个模块题目变种2，寻求新解法（不考虑负载效应）第十九页，共39页。上述公式的对应拉普拉斯变换题目变种2，寻求新解法（考虑负载响应）第二十页，共39页。联立，可解得：微分方程为:题目变种3，寻求新解法第二十一页，共39页。P36例子2-8电机控制系统装在定子中的激磁绕组加有恒定的直流电压，用来建立恒定的磁场，装在转子上的电枢绕组加有可变的控制电压，从而产生控制电流，载流导体在恒定磁场中会产生电磁转矩.该转矩与电枢电流成正比。第二十二页，共39页。

为转矩系数（牛·米/安）,

由于电动机是带动减速器和负载一起转动的，因此列写电动机的运动方程时，必须考虑减速器，负载的转动惯量和粘性摩擦的影响。

电机轴上力矩平衡方程式（不考虑负载转矩）

J是电机转子的转动惯量同减速器、负载的转动惯量折算的等效转动惯量。

f是电机转子的粘性摩擦系数+减速器、负载的粘性摩擦系数折算的等效粘性摩擦系数。电磁转矩与电枢电流成正比。第二十三页，共39页。电枢是一个载流导体，转子旋转时切割了定子磁场的磁力线，于是电枢中就会产生感应电势Eb，因为与电枢电压方向相反，故称为反向电势，它与电机的转速成正比。kb是反电势系数（伏/（弧度/秒））第二十四页，共39页。设电枢绕组的电阻和电感分别为Ra和La，根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为通常La很小，可以忽略不计,那么第二十五页，共39页。代入式：得到：第二十六页，共39页。令为直流电动机的传递系数为直流电动机的时间常数所以直流电机的运动方程为第二十七页，共39页。如果电枢电阻Ra和电机转动惯量J都很小,课简化为这说明电机转速与电枢电压成正比，这样电动机（Ra和J都很小）都可以做为趁测速发电机使用，这就是测速发电机工作原理第二十八页，共39页。对比本PPT结论，你发现与教材例子2-8区别在哪里例子2-8考虑的负载总转矩Mc，而上述没有考虑。第二十九页，共39页。二.非线性元件的线性化

几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程。但在比较小的范围运动来说，把这些关系看作是线性关系，是不会产生很大误差的。方程式一经线性化，就可以应用迭加原理。1.几种常见的非线性第三十页，共39页。有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；2.2.2

线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义

将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第三十一页，共39页。2.线性化的方法

（1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围内，则它们对系统的影响很小，可以忽略）第三十二页，共39页。(2)偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）

特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。

第三十三页，共39页。取某平衡状态A为工作点,对应有。当时，有。设函数在点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为：第三十四页，共39页。当增量很小时，略去其高次幂项，则有:

令则线性化方程可简记为:

略去增量符号，便得到函数在工作点附近的线性化方程为y=Kx。第三十五页，共39页。P43[例2-13]铁心线圈电路如图2-11（a）所示，其磁通Φ与线圈中电流i之