质点力学物理上中南

质点力学物理上中南第1页，共107页，2023年，2月20日，星期二质点力学第一章力学是研究物体机械运动规律的科学。

机械运动是指物体之间和物体的各部分之间的相对位置随时间的变动，是自然界最普遍最基本的运动形式。运动学：只描写物体的运动，不涉及运动变化的原因。动力学：研究物体的运动与物体间相互作用的内在联系。静力学：研究物体在相互作用下的平衡问题。第2页，共107页，2023年，2月20日，星期二1-1参考系、坐标系、物理模型一、运动的绝对性和相对性1、运动是绝对的：任何物体任何时刻都在不停地运动2、运动的描述是相对的：运动的描述是相对其他物体而言的为了描述一个物体的运动，必须选择另一个物体作为参考，被选作参考的物体称为参照系。注意参照系不一定是静止的。二、参考系第3页，共107页，2023年，2月20日，星期二日心系ZXY地心系o地面系

为了定量地确定物体的运动，须在参照系上选用一个坐标系。三、坐标系第4页，共107页，2023年，2月20日，星期二四、物理模型——质点质点没有大小和形状，只具有全部质量的一点。可以将物体简化为质点的两种情况：物体不变形，不作转动(此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动)。物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物体的变形及转动显得并不重要)。第5页，共107页，2023年，2月20日，星期二选择合适的参考系，以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系，以定量描述物体的运动；提出准确的物理模型，以突出问题中最基本的运动规律。第6页，共107页，2023年，2月20日，星期二

一.描述质点运动的四个物理量1.位置矢量（单位米）运动方程：2.位移（单位米）

PΓ

O

r(t)v1-2运动的描述位置矢量（位矢）：ГP1OP2第7页，共107页，2023年，2月20日，星期二P点坐标(x,y,z)P点矢径方向P点矢径大小直角坐标系rPxyzO轨道第8页，共107页，2023年，2月20日，星期二注意B位移是矢量，有大小和方向r与的区别s与的区别s为路程(轨道长度)，是标量元位移的大小元路程

oΔrΔra)为标量，为矢量b)xyzAoΔS·第9页，共107页，2023年，2月20日，星期二平均速度瞬时速度3.速度（单位米每秒）速度是位矢对时间的一阶导数速度方向时，的极限方向在P点的切线并指向质点运动方向

P

Q

O第10页，共107页，2023年，2月20日，星期二速度大小直角坐标系中瞬时速度平均速度第11页，共107页，2023年，2月20日，星期二平均速率瞬时速率

PQO注意速度是矢量，速率是标量。一般情况单向直线运动情况瞬时速率等于瞬时速度的大小速率第12页，共107页，2023年，2月20日，星期二加速度是速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数4.加速度（单位：米/秒2）平均加速度瞬时加速度Δvv1v2BA

ov1v2··描述质点运动状态的物理量描述质点运动状态变化的物理量第13页，共107页，2023年，2月20日，星期二加速度大小任意曲线运动都可以视为沿x,y,z轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）。——运动的独立性原理或运动叠加原理直角坐标系中加速度第14页，共107页，2023年，2月20日，星期二注意矢量性：四个量都是矢量，有大小和方向加减运算遵循平行四边形法则某一时刻的瞬时量不同时刻不同过程量瞬时性：相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同不同坐标系中，具体表达形式不同加速度位矢位移速度第15页，共107页，2023年，2月20日，星期二二、曲线运动的描述1、平面曲线运动方向描述:作相互垂直的单位矢量——切向单位矢量,指向物体运动方向切向加速度法向加速度自然坐标系——法向单位矢量,指向轨道的凹侧第16页，共107页，2023年，2月20日，星期二BAd第17页，共107页，2023年，2月20日，星期二法向加速度、反映速度方向变化，v变时不是常量。切向加速度、反映速度大小变化，一般不为常量；加速度总是指向曲线的凹侧第18页，共107页，2023年，2月20日，星期二圆周运动中的切向加速度和法向加速度曲率半径是恒量匀速圆周运动向心加速度2、圆周运动自然坐标系中第19页，共107页，2023年，2月20日，星期二沿逆时针转动，角位移取正值沿顺时针转动，角位移取负值角位移角位置圆周运动的角量描述极坐标系中角速度单位：rad/s角加速度单位：rad/s2OR参考方向x第20页，共107页，2023年，2月20日，星期二注意：1）角位置和角位移是标量，其正负乃人为规定。2）角速度、角加速度是矢量，角速度方向与转动方向构成右手螺旋（如图）。加速转动方向一致，减速转动方向相反。第21页，共107页，2023年，2月20日，星期二匀速圆周运动是恒量匀角加速圆周运动是恒量一般圆周运动第22页，共107页，2023年，2月20日，星期二线量位矢、位移、速度、加速度角量角位置、角位移、角速度、角加速度加速转动方向一致减速转动方向相反xo角量与线量的关系第23页，共107页，2023年，2月20日，星期二三、运动学中的两类问题2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程运用积分方法特别指出讨论问题一定要选取坐标系注意矢量的书写与的物理含义1、已知运动方程求导数，求速度、加速度第24页，共107页，2023年，2月20日，星期二例1已知质点运动方程，求速度和加速度。①先求出，再根据求得结果。②先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

你认为哪种方法正确？为什么？两者差别何在？第25页，共107页，2023年，2月20日，星期二方向：大小：求t=0秒及t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。例2.设质点做二维运动：解：第26页，共107页，2023年，2月20日，星期二例3路灯离地面高度为H，身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图所示。求当人与灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。解：建立如图坐标，t时刻头顶影子的坐标为x+x'第27页，共107页，2023年，2月20日，星期二第28页，共107页，2023年，2月20日，星期二例4、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取发射时t=0.试求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。aagyxov0n解：以枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，建立坐标系（如图）。(1)位置坐标为：轨道方程为：=常矢量第29页，共107页，2023年，2月20日，星期二与速度同向与切向加速度垂直(2)aagyxov0n第30页，共107页，2023年，2月20日，星期二例5.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和运动的距离。(直线运动中可用标量代替矢量）解：据题意知，加速度和时间的关系为：第31页，共107页，2023年，2月20日，星期二第32页，共107页，2023年，2月20日，星期二例6质点沿

x轴运动，其加速度和位置的关系为，质点在处，速度为10,试求质点在任何坐标处的速度值．

解：∵分离变量,两边积分得第33页，共107页，2023年，2月20日，星期二一、惯性定律惯性参考系1、惯性定律（Newtonfirstlaw）任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。(2).定义了惯性参考系

(1).包含两个重要概念：惯性和力

固有特性1-3牛顿运动定律第34页，共107页，2023年，2月20日，星期二结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。问题a=0时人和小球的状态符合牛顿定律a≠0时人和小球的状态为什么不符合牛顿定律？2、惯性系与非惯性系根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。第35页，共107页，2023年，2月20日，星期二二、牛顿第二定律（Newtonsecondlaw）在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。2、迭加性：特点：瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性1、瞬时性：之间一一对应第36页，共107页，2023年，2月20日，星期二3、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中：自然坐标系中：第37页，共107页，2023年，2月20日，星期二4、定量的量度了惯性惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量引力质量：式中被称为引力质量经典力学中不区分引力质量和惯性质量第38页，共107页，2023年，2月20日，星期二三、第三定律（Newtonthirdlaw）两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。作用力与反作用力：1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。3、它们一定是属于同一性质的力。第39页，共107页，2023年，2月20日，星期二例1：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为式中t为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。根据牛顿第二定律，有四、牛顿定律的应用fFmgax第40页，共107页，2023年，2月20日，星期二初始条件：t=0时v=0第41页，共107页，2023年，2月20日，星期二例2:质量为M、倾角为的光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间的摩擦可以忽略）

FMmxyNmg解:对m:解得:对第42页，共107页，2023年，2月20日，星期二*五、非惯性系中的力学1、在变速直线运动参考系中的惯性力：2、在匀角速转动的非惯性系中的惯性离心力：则非惯性系中仍可用牛顿定律解释物体受外力而无加速度设m相对匀角速转动参考系静止第43页，共107页，2023年，2月20日，星期二3、科里奥利力在转动的非惯性系中，除惯性离心力外，还须引入科里奥利力，才可沿用牛顿定律的形式。如图，圆盘匀速转动，同一半径上坐A、B两人，B以速度（相对圆盘）沿半径方向向A抛出一球，问A是否能接住该球？在地面（惯性系）上观察在圆盘（转动参考系）上观察第44页，共107页，2023年，2月20日，星期二第45页，共107页，2023年，2月20日，星期二第46页，共107页，2023年，2月20日，星期二第47页，共107页，2023年，2月20日，星期二第48页，共107页，2023年，2月20日，星期二第49页，共107页，2023年，2月20日，星期二第50页，共107页，2023年，2月20日，星期二1-4

动量动量守恒定律物理学大厦的基石三大守恒定律动量守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律一、质点的动量定理作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量——质点的动量定理第51页，共107页，2023年，2月20日，星期二分量表示式二、质点系的动量定理第i个质点受到的合外力为对第i个质点运用动量定理有：第52页，共107页，2023年，2月20日，星期二因为：三、动量守恒定律一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。第53页，共107页，2023年，2月20日，星期二例一、车在光滑水平面上运动,已知m、M、人逆车运动方向从车头经t到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程；3、若人以变速率运动，上述结论如何？解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。第54页，共107页，2023年，2月20日，星期二1、2、3、第55页，共107页，2023年，2月20日，星期二例二、

质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30onv2v1解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为则有：第56页，共107页，2023年，2月20日，星期二45o30onv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：为平均冲力与x方向的夹角。第57页，共107页，2023年，2月20日，星期二例三、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。ox证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：第58页，共107页，2023年，2月20日，星期二根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力F＝F'即：而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg第59页，共107页，2023年，2月20日，星期二1-5

功、动能、势能、机械能守恒一、功、功率1、功——力的空间积累过程量ab微分形式第60页，共107页，2023年，2月20日，星期二例1作用在质点上的力为在下列情况下求质点从处运动到处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线XYO第61页，共107页，2023年，2月20日，星期二XYO做功与路径有关第62页，共107页，2023年，2月20日，星期二2、功率力在单位时间内所作的功瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特W第63页，共107页，2023年，2月20日，星期二二、动能定理质点系统的动能质点的动能动能是相对量第64页，共107页，2023年，2月20日，星期二ABDrifi

质点的动能定理

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。物体受外力作用运动状态变化动能变化末态动能初态动能1）功是合外力的功，是能量变化的量度；2）功与能具有相同的单位和量纲，功是过程量，能是状态量；3）在一定条件下，功和能可以相互转化。温馨提示第65页，共107页，2023年，2月20日，星期二三、保守力的功典型的保守力：重力、万有引力、弹性力、静电力、分子间相互作用力与保守力相对应的是耗散力（如：摩擦力）1、保守力某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关（即该力沿任意闭合路径的环路积分为零）,这种力称为保守力。第66页，共107页，2023年，2月20日，星期二2、重力的功m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.可见，重力是保守力。初态量末态量第67页，共107页，2023年，2月20日，星期二3、弹力的功可见，弹性力是保守力。弹簧振子初态量末态量第68页，共107页，2023年，2月20日，星期二4、引力的功两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力。rabrdrfMmrdrab第69页，共107页，2023年，2月20日，星期二例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反abhRo第70页，共107页，2023年，2月20日，星期二例3、质量为2kg的质点在力(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）第71页，共107页，2023年，2月20日，星期二例4、一对作用力和反作用力的功or1r2r21m1m2dr1dr2f2f1m1、m2组成一个封闭系统在dt时间内即相互作用的两物体没有相对位移,

则作用力和反作用力作功的代数和为零.第72页，共107页，2023年，2月20日，星期二四、势能、势能函数

在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A

B保守力所做的功，该函数就是势能函数。AB定义了势能差选参考点（势能零点），设第73页，共107页，2023年，2月20日，星期二保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。比较保守力做功等于相应势能增量的负值第74页，共107页，2023年，2月20日，星期二重力势能（以地面为零势能点）引力势能（以无穷远为零势能点）弹性势能（以弹簧原长为零势能点）势能只具有相对意义系统的机械能质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。第75页，共107页，2023年，2月20日，星期二注意：1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。2、只有保守力才具有相应的势能。势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能属于以保守力形式相互作用的物体系统。4、保守力的功等于相应势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。第76页，共107页，2023年，2月20日，星期二五、势能曲线几种典型的势能曲线（d）分子、原子相互作用势能曲线势能曲线:势能随位置变化的曲线hEp（h）O21（a）lEp（l）O（b）rEp（r）OpE（c）r0Ep（r）Or2（d）（a）重力势能曲线（b）弹性势能曲线（c）引力势能曲线第77页，共107页，2023年，2月20日，星期二势能曲线提供的信息:1、质点在轨道上任意位置时所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力3、系统的总机械能E为常量时，在势能曲线图上可表示为一条平行于横轴的直线。由于动能不能为负值，从势能曲线图可直观地看出质点运动的范围：质点只能在E大于Ep的那些区间运动。第78页，共107页，2023年，2月20日，星期二六、质点系的动能定理与功能原理对第i质点运用动能定理：对所有质点求和可得：注意：不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。第79页，共107页，2023年，2月20日，星期二质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理外力和非保守内力做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。第80页，共107页，2023年，2月20日，星期二当系统外力和非保守内力做功之和为零时，系统的机械能守恒。七、机械能守恒定律系统机械能增加系统机械能减少系统机械能保持不变系统机械能增加系统机械能减少系统机械能保持不变第81页，共107页，2023年，2月20日，星期二例：质量为m的物体在离平板H的高处自由下落，打在平板上，弹起高度为h，平板质量M，置于劲度系数为k的弹簧上，求碰撞后弹簧的最大压缩量。ABMMmHhbx0解：本题可分解为3个阶段：(1)m自由下落；(2)m与M碰撞；(3)M克服弹性力下降。(1)m与M碰前瞬间,速度为：方向：竖直向下第82页，共107页，2023年，2月20日，星期二(2)选M,m为系统，则碰撞过程动量守恒：(3)选M、弹簧、地球为系统，则系统不受外力，只有保守内力，故系统机械能守恒。取M在最低位置B处的重力势能为零，则A、B两点处系统的机械能分别为：式中x0=Mg/k,且EA=EB解得：弹簧的最大压缩量第83页，共107页，2023年，2月20日，星期二1-6

角动量角动量守恒定律一、质点的角动量O质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。直角坐标系中角动量的分量表示对轴性质Lx，Ly，Lz分别为质点对x，y，z轴的角动量第84页，共107页，2023年，2月20日，星期二二、质点的角动量定理力矩的分量式:对轴的性质1、力矩单位：牛·米（N·m）O力矩在某轴上的分量与该轴变量无关，力矩在坐标轴上的分量具有对轴的性质，即Mx，My，Mz分别为质点对x，y，z轴的力矩。第85页，共107页，2023年，2月20日，星期二2、质点的角动量定理有心力：

物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点力心（3）力

的作用线与矢径共线即()。力矩为零的情况:第86页，共107页，2023年，2月20日，星期二作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。角动量定理的微分形式外力矩对系统的冲量矩等于角动量的增量。角动量定理的积分形式第87页，共107页，2023年，2月20日，星期二三、质点角动量守恒定律质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。——质点的角动量守恒定律。若Mx=0，则Lx=常量若My=0，则Ly=常量若Mz=0，则Lz=常量若质点在某方向所受合外力矩为零，则质点在该方向角动量守恒。第88页，共107页，2023年，2月20日，星期二四、质点系的角动量定理和角动量守恒定律1、质点系对固定点的角动量定理对由n个质点组成的质点系中第i个质点用角动量定理，可得：质点i受力对i求和有：因内力成对出现故该项为零第89页，共107页，2023年，2月20日，星期二2.质点系的角动量守恒定律得：作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的增量，这就是质点系对固定点的角动量定理(1)由（1）式可知，若，则有即：作用于质点系的合外力矩为零时，对同一参考点质点系角动量守恒。第90页，共107页，2023年，2月20日，星期二3、质点系对轴的角动量定理设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动因有：转动惯量I故i转动平面第91页，共107页，2023年，2月20日，星期二例：光滑水平桌面上OA垂直OB，弹簧劲度系数为k，原长l0，一端固定于O点，一端拴质量为M的物体。质量为m，速度v0的子弹垂直OA射入M，求它们运动到OB位置时的速度，设物体运动到B时弹簧长l.yxθMOAB解：建图示坐标系。本题分两个过程:(1)射入过程，动量守恒；(2)转动过程，对O点角动量守恒，系统机械能守恒，故有：mv0=(M+m)vAl0(M+m)vA=l(M+m)vBsinθ第92页，共107页，2023年，2月20日，星期二一、运动描述具有相对性地面上的人观察车上的人观察1-7

相对运动力学相对性原理运动是相对的静止参考系、运动参考系也是相对的第93页，共107页，2023年，2月20日，星期二yy’sS’oo’xx’pzZ’二、位矢变换关系位移变换关系：上式成立的条件：空间两点的距离不论在哪个坐标系中测量，结果都应相同，这一结论称为空间的绝对性。第94页，共107页，2023年，2月20日，星期二三、速度变换关系四、加速度的变换关系由牛顿的绝对时间的概念故第95页，共107页，2023年，2月20日，星期二例1.河水自西向东流动，速度为10km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速为20km/h。此时，风由东向西刮，风速为10km/h。试求在船上观察到的风的速度。解：设水用S；风用F；船用C；岸用D已知：201010===csfdsdvvv正东正西北偏西30ovcsvfdvsd第96页，共107页，2023年，2月20日，星期二方向为南偏西30o。vcsvfdvsdvcdvfcvfdvsdvcd第