高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十五概率与统计试题文

PAGEPAGE15重组十五概率与统计测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·济南教学调研]某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是()A．20 B．16C．15 D．14答案D解析高三年级的人数是eq\f(280,400＋320＋280)×50＝14(人)．故答案为D.2．[2017·吉林长春质检]我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约()A．164石 B．178石C．189石 D．196石答案C解析由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为eq\f(27,216)＝eq\f(1,8)，则由此估计总体中谷的含量约为1512×eq\f(1,8)＝189(石)．故选C.3．[2016·河北重点中学联考]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A．2,5 B．5,5C．5,8 D．8,8答案C解析∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5，乙组数据的平均数为16.8，∴eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，∴y＝8，选C.4．[2017·吉林师大附中月考]观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()答案D解析在频率等高条形图中，eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，在四个选项中(等高的条形图)中，若x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，故选D.5．[2016·山东中学模拟]下列叙述错误的是()A．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1B．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等C．线性回归直线eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋eq\o(a,\s\up16(^))必过点(eq\o(x,\s\up16(－))，eq\o(y,\s\up16(－)))D．对于任意两个事件A和B，都有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)答案D解析对于A，根据概率的定义可得，若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1，故A正确；对于B，根据系统抽样的定义得，系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，故B正确；对于C，线性回归直线eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋eq\o(a,\s\up16(^))必过点(eq\o(x,\s\up16(－))，eq\o(y,\s\up16(－)))，故C正确；对于D，对于任意两个事件A和B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，只有当事件A和B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故D不正确．故选D.6．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已．特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里(这五个日子均不相同)，任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案B解析设5个日子分别用a，b，c，d，e表示，任选2天有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de10种，其中a代表生日，有ab，ac，ad，ae四种，则概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).10．[2017·四川巴中质检]正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)答案D解析设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部基本事件构成的区域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，))符合题意的区域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，,0≤y≤4，,－2≤y－x≤2，))如右图所示，由几何概型可知，所求概率为P＝1－eq\f(2×\f(1,2)×2×2,16)＝eq\f(3,4)，故答案为D.11．[2017·湖南四校联考]以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；②回归模型中残差是实际值yi与估计值eq\o(y,\s\up16(^))的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的线性相关系数为－eq\f(1,2)；④对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析根据相关指数的意义可知①正确；由残差的定义和残差图的绘制可以知道②正确；相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)无关，即样本数据的线性相关系数为－1，故③错误；k2的观察值越小，x与y有关系的把握程度越小，故④错误．故选B.12．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.eq\f(4n,m) B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n) D.eq\f(2m,n)答案C解析设由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤xn≤1，,0≤yn≤1))构成的正方形的面积为S，xeq\o\al(2,n)＋yeq\o\al(2,n)<1构成的图形的面积为S′，所以eq\f(S′,S)＝eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n)，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·河北名校联考]菜市中心购物商场在“双11”开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日8时至22时的销售额进行统计，以组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至16时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为________．答案60万元解析该商场11月11日8时至22时的总销售额为eq\f(90,0.100＋0.125×2)＝200(万元)，所以10时至12时的销售额为200×(0.150×2)＝60(万元)．14．[2017·广西二市模拟]已知某四个家庭2015年上半年总收入x(单位：万元)与总投资y(单位：万元)的对照数据如表所示．x3456y2.53m4.5根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up16(^))＝0.7x＋0.35，则m的值为________．答案4解析eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝eq\f(9,2)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋m＋4.5,4)＝eq\f(10＋m,4)，因为样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在回归直线上，所以eq\f(10＋m,4)＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝4.15．[2017·湖南株洲统测]在棱长为2的正方体中随机取一点，该点落在这个正方体的内切球内的概率是________．答案eq\f(π,6)解析正方体的体积为V1＝23＝8，正方体内切球的体积为V2＝eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，由几何概型可知，该点落在这个正方体的内切球内的概率是P＝eq\f(V2,V1)＝eq\f(\f(4,3)π,8)＝eq\f(π,6).16．[2017·安徽合肥质检]若将2红2白一共4个球(除颜色外均相同)随机地排成一排，则同色球均相邻的概率为________．答案eq\f(1,3)解析4个球排成一排的情况为(红，红，白，白)，(红，白，红，白)，(红，白，白，红)，(白，红，红，白)，(白，红，白，红)，(白，白，红，红)，共六种，其中同色球均相邻只有(红，红，白，白)，(白，白，红，红)两种，故同色球均相邻的概率为eq\f(1,3).三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2017·石家庄二中联考](本小题满分10分)为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；(2)分数在[80,90)的学生中，男生有2人，现从该组抽取3人“座谈”，写出基本事件空间并求至少有两名女生的概率．解(1)由题可知，样本容量n＝eq\f(8,0.016×10)＝50，y＝eq\f(2,50×10)＝0.004，(2分)x＝0.1－0.004－0.01－0.016－0.04＝0.03.(4分)(2)分数在[80,90)的学生共有5人，由题意可知，男生2人，女生3人，分别编号为b1，b2和a1，a2，a3，则基本事件空间为{(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)(a1，a3，b1)(a1，a3，b2)(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)(a3，b1，b2)}，共10个，(8分)记A＝“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件共有7个，所以至少有两名女生的概率为P(A)＝eq\f(7,10).(10分)18．[2017·贵阳统测](本小题满分12分)某校2016级高一新生数学摸底考试后，高一(10)班的数学教师对本班40名学生某道解答题(满分12分)的得分情况进行了统计(如图)．现用分层抽样的方法从该班学生中抽取20人进行该解答题的质量分析．(1)求抽取的20人得分的平均数；(2)从该班得分是12的试卷中(含学生甲和学生乙的试卷)随机抽取2份，试求甲和乙的试卷至少有1份被抽到的概率．解(1)由条形统计图可知，该道解答题得分为12,10,8,6,4的学生人数分别为40×10%＝4,40×40%＝16,40×25%＝10,40×15%＝6,40×10%＝4，(2分)所以用分层抽样的方法从该班学生中抽取20人，从得分为12,10,8,6,4的学生中应分别抽取的人数为2,8,5,3,2.故这20人得分的平均数为eq\f(12×2＋10×8＋8×5＋6×3＋4×2,20)＝8.5.(5分)(2)由(1)知，记得分为12的4份试卷分别为a，b，c，d，其中a，b分别为甲、乙2名学生的试卷，从中抽取2份，共有6种抽法：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)．(9分)解法一：(利用古典概型求概率)记“甲和乙的试卷至少有1份被抽到”为事件M，则其包含的抽法有5种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)．故所求概率P(M)＝eq\f(5,6).(12分)解法二：(利用对立事件求概率)记“甲和乙的试卷至少有1份被抽到”为事件N，则eq\x\to(N)为“甲和乙的试卷都没有被抽到”，eq\x\to(N)包含的抽法有1种：(c，d)．故所求概率P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).(12分)19．[2017·湖南六校联考](本小题满分12分)某校内的书店在开学季准备销售一种文具套盒，已知每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品每盒亏损30元．根据调查资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示．该书店为开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将y表示为x的函数；(3)根据频率分布直方图估计这个开学季获得的利润不少于4800元的概率．解(1)由频率分布直方图得，需求量在[100,120)盒内的频率为0.0050×20＝0.1，需求量在[120,140)盒内的频率为0.0100×20＝0.2，需求量在[140,160)盒内的频率为0.0150×20＝0.3，需求量在[160,180)盒内的频率为0.0125×20＝0.25，需求量在[180,200]盒内的频率为0.0075×20＝0.15，(2分)∴这个开学季内市场需求量x的平均数eq\x\to(x)＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153.(4分)(2)∵每售出1盒该产品获利50元，未售出的产品每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y＝50x－(160－x)×30＝80x－4800，当160<x≤200时，y＝160×50＝8000，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x－4800，100≤x≤160，,8000，160<x≤200.))(8分)(3)∵利润不少于4800元，∴80x－4800≥4800，解得x≥120，由(1)知利润不少于4800元的概率P＝1－0.1＝0.9.(12分)20．[2017·河南洛阳模拟](本小题满分12分)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．(参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)为样本平均数)解(1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：(2分)(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下：eq\x\to(x)理＝eq\f(1,8)×(79＋81＋81＋79＋94＋92＋85＋89)＝85，eq\x\to(x)文＝eq\f(1,8)×(94＋80＋90＋81＋73＋84＋90＋80)＝84.(4分)seq\o\al(2,理)＝eq\f(1,8)×[(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(94－85)2＋(92－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2]＝31.25，seq\o\al(2,文)＝eq\f(1,8)×[(94－84)2＋(80－84)2＋(90－84)2＋(81－84)2＋(73－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(80－84)2]＝41.75.(6分)由于eq\x\to(x)理>eq\x\to(x)文，seq\o\al(2,理)<seq\o\al(2,文)，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．(8分)(3)设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc.其中全是文科组同学的情况只有abc一种，没有全是理科组同学的情况，(10分)记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件M，则P(M)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).(12分)21．[2017·湖北黄冈期末](本小题满分12分)菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的统计表：x12345y5854392910(1)在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y是正相关还是负相关？(2)若用解析式eq\o(y,\s\up16(^))＝cx2＋d作为蔬菜农药残量eq\o(y,\s\up16(^))与用水量x的回归方程，令ω＝x2，计算平均值eq\o(ω,\s\up16(－))和eq\o(y,\s\up16(－))，完成以下表格，求出eq\o(y,\s\up16(^))与x的回归方程．(c，d精确到0.1)ω1491625y5854392910ωi－eq\o(ω,\s\up16(－))yi－eq\o(y,\s\up16(－))(3)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据eq\r(5)≈2.236)(附：线性回归方程eq\o(y,\s\up16(^))＝eq\o(b,\s\up16(^))x＋eq\o(a,\s\up16(^))中系数计算公式分别为：eq\o(b,\s\up16(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),xi－\o(x,\s\up16(－))2)，eq\o(a,\s\up16(^))＝eq\o(y,\s\up16(－))－eq\o(b,\s\up16(^))eq\o(x,\s\up16(－)).)解(1)作出散点图如下图：由散点图可以知道变量x与y负相关．(3分)(2)eq\o(ω,\s\up16(－))＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\o(y,\s\up16(－))＝eq\f(58＋54＋39＋29＋10,5)＝38，ω1491625y5854392910ωi－eq\o(ω,\s\up16(－))－10－7－2514yi－eq\o(y,\s\up16(－))20161－9－28c＝eq\f(－10×20＋－7×16＋－2×1＋5×－9＋14×－28,－102＋－72＋－22＋52＋142)＝－eq\f(751,374)＝－2.008≈－2.0，d＝eq\o(y,\s\up16(－))－ceq\o(ω,\s\up16(－))＝38＋2.0×11＝60.0，eq\o(y,\s\up16(^))＝－2.0ω＋60.0＝－2.0x2＋60.0.(8分)(3)当eq\o(y,\s\up16(^))<20时，－2.0x2＋60.0<20，x>2eq\r(5)≈4.5，∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克的蔬菜．(12分)22．[2016·呼和浩特调研](本小题满分12分)为了传承经典，