固体物理习题解答(前题)

/方一陆固物习题参考答案1、布格子：每个原胞内只有一个原子的晶格或组成晶体结构的基元之结点：如以Cl原子为结点，取面心立方晶胞，就是NaCl的布氏格子；金刚石结构中位于正四面体中心的原子和顶角上的原子化学组份虽相同，但电子云配置方位不同，所以是复式格子。2、如以为正格子基矢则满足。3、体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。设体心立方格子的结晶学晶胞（Conventioncell）的基矢是令为直角坐标的三个互垂直的单位矢这个体心立方格子的固体物理学原胞（Primitivecell）的三个基矢，按规定 这个倒点阵的结晶学胞原（Conventioncell）应当是显示其立方晶系对称性的最小重复单元。设它的三个基矢则组成面心立方晶胞。设它们的是b结论基矢是的体心立方为胞对应的倒格子是结晶系晶胞为面心原胞，它的倒格子基矢同样方法可证：（必须反过来再证明一下）面心立方正格原胞基矢如：对应倒格子的结晶学原胞是体心立方晶胞，它的基矢4、基矢晶面族（h，k，l）的面间距为d。令对于正交晶系为h=1,k=1,l=0为简单指数时d100=a面间距较大的之一又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积=dhkl·Ahkl；A为(h,k,l)晶面上面积元的面积（即h,k,l）晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的，但是h、k、l不同时，则对应着不同形状的二维原胞，dhkl愈大，则Ahkl愈小，密度一定，A小，面密度大；因d大，二晶面互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h,k,l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。5、对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如求倒子基矢：解：7、把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比。解：（1）简立方a=2r（3）面心立方晶胞面对角线=4r（4）六角密积（5）金刚石：参考P19图四面体原子互相接触，四面体所决定的立方体边长为，比立方体的体对角线为4r，则由图8、（x-射线）如x射线沿简立方晶胞的oz方向入射，求证：当和时，衍射线在yz平面上，其中2是衍射线和oz方向的夹角。解：入射线和衍射之间夹角为22dsin=n令n=1（1）简立方面间距为：（2）因衍射线和入射线必在一个平面内，（已知条件之一）得（3）由（1）、（2）、（3）得（4）9、(x射线)在氯化钾晶体中，k+在0,0,0;诸点；Cl-在诸点，试对衍射线面指数和衍射纯度的关系。解：是复式格子讨论：10、（米勒指数）六角晶系中见P343，晶面常用四个指数(h,k,l,m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢轴上的截距为；在六度轴上的截距为，试写出的面指数。补充1：试画出面心立方晶体（11）面上的原子分布图，并求出这个晶面上的二维晶胞基矢。，它即是（11）面上二维晶胞基矢之一，以为二维晶胞的另一基矢，显然这是一个长方形二维晶胞，以此晶胞在平面ABCD上做周期重复，即得（11）面上的原子分布。[注]：（1）晶面是（11）晶族中通过原点0的那个晶面，因为族中所有晶面都是完全相同的，所以研究晶面族中任意的一个就可以了。（2）（11）晶面上的其它形状的原胞，不能直接显示这个二维晶面上的原子分布的正交对称性，但也可以得出同样的（11）上的原子分布图。11、设晶体中每对原子的平均结合能力为平衡时，n0=2.810-10米，其结合能力|U|=810-19焦耳，试计算A和B（2）（1）（2）（3）12、有一晶体，在平衡时的体积为V0，原子间总相互作用能量为V0,如果原子间相互作用能由式所表达，试证体积弹体模量可由得出解：设晶体为简立方晶胞，晶胞体积为v=r3，晶体体积v=Nr3，晶体的结合能E，从11题可知如把理解为晶体内为某一原子，对其它原子总的作用能，则原子间总相互作用能讨论：如把理解为晶体内两个原子间的相互作用能；则晶体指定参考原子，对晶体内全部原子的作用能是R：为最近临原子距离，在S，C即单胞之边长令13、已知有N个子组成的NaCl晶体，其结合能为令若干排斥项由Cexp(-r/)来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对垂作用势能的贡献相同，试求出n与的关系由已知条件(2)（2）代入（1）：14、试证一维离子晶体的=2ln2解：令某个正离子“0”为原点则是属于结合能中的库仑能部分的参数因为前格的左右对称，所以取加号。“+”对异号离子j从1，2，3，…流动，所得和乘2。“-”对同号离子即得总晶体库仑能。15、立方ZnS的晶格常数a=5.41，试计算其结合能Eb（焦耳/摩尔）。解：书81页，闪锌矿=1.6381n=5.41摩尔晶体内分子数NA=6.022045×1023个/mol，含离子数为2NA=N16、在立方晶系中，若弹性波沿向传播，试求（i）它的三个波速；（ii）位移矢的三个方向余弦。解：即P99的；n=0代入P97（2-49）得ij，克氏模量；和P98克氏模量，必须满足，久期方程：又因立方品系中，弹性模量Cij不等于零得，只存C11=C12=C33，C12=C23=C31，C44=C55=C66上面的ij代入久期议程：以p、q、r为未知数的两个独立方程，再加上P2+q2+r2=1可解出：则弹性位移矢也沿[110]方向，所以这是一只纵波。弹性位移矢平行于[001]和传播方向[110]垂直,这是横波。弹性位移矢平行于，也与波传播方向[110]垂直。17、试由热力学证明Cp-Cv=92TK，K是体弹性模量，是体膨胀系数。解：由热力学定义：以T、V为独立变量（1）上式第二步用了关系以T、P为独立变量；（2）麦开关系之一由（1）和（2）得以P、V为独立变量独立变量前系数应相等：体胀系数。压缩系统的定义。附表用关系：第三章习题参考答案18、如原子离开平衡位置位移后的势能为：试证明，用经典理论比热可写成：证：一维振子总能处理小振动当c、g、f为正常数第二个积分中的小很多，积分主要贡献来自于。略去高于X6之上的项；X3等奇次指数的项定积分为零也不写出积分公式eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D19、自由能F=U0(V)+F振（T、V）式中F振表示晶格振动时自由能的贡献，U0(V)是0eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(eq\o\ac(○,H)D（2）体胀系数eq\o\ac(eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D（2）即相当证已知所以相当于证明即：所以又相当证明：要证明上式关系式方法有二由书P144（3-127）知（二）用热力学霍姻霍兹关系式证为此利用本题第一式：eq\o\ac(○,H)eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D如能证则问题就可解决由霍姻霍兹关系式eq\o\ac(○eq\o\ac(○,H)Deq\o\ac(○,H)D[附]霍姻霍兹关系式的证明：霍姻霍兹的自由能两端对T的微分又20、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：证：经典极限由教本P14321、设晶体中每个振子的零点振动能量具试用德拜模型求晶体的零点振动能。解：由教本P129德拜模型每频率在间格波数又由德拜模型知晶体零点振动能HHHH注：由上可见，，应当是：；但在计算比热时零点能E0因为与T无关，它不起作用，所以研究比热时，中没写它，但是在计算晶体结合能时，要估计零点能的贡献。

第四章习题参考22、在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正负离子对的数目，是产生一对缺陷所需的能量，N是原有正、负离子对的数目，在理论上可推出：（1）试求有肖脱基缺陷后体积的变化，V为原有的体积。（2）在800℃时，用X射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度算得分子量为58.430±0.016，而用化学方法所测定的分子量是58.454，求在800℃时缺陷解：（1）在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体表面填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，在肖特基缺陷中所增加的体积为：其中a为正负离子间的距离。晶体原来的体积是因此体积变化是（2）这是一个著名的实验，证明食盐中有肖特基缺陷，因为X光测点阵常数时，其值a不随有无缺陷而改变，而用化学方法测密度则是真实的，每单位体积的质量，当晶体总质量m不改变时，晶体的实际体积V将随缺陷数目的改变而变化，即用化学方法测得密度将由于缺陷的数目增加而变。设NaCl分子量为M1每个分子占体积为2a3，令为密度，则有：所以通过这个实验充分证明了空位的存在。通过密度的变化，说明空位存在的实验还有以下实验：在纯NaCl或KCl等晶体中掺入一些重量较大的正负离子杂质，例如CaCl2，MgCl2等不同价的正离子，似乎密度应该会增加些，增加的数量与加入MgCl2的百分比成正比。有人用纯KCl内加入CaCl2掺杂KCl，不仅密度不增加仅而减少；这说明Ca++入K+的位置，为使电中性维持下去，必然使晶体中处于正格点位上的一些K+去掉，这就造成了K+空位，而使晶体体积增大，密度减小。△“补充题”求体心立方，面心立方，六角密积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。解：根据实验数据和理论推测所得规律：“滑移方向是密排方向或比较密排的方向”“滑移平面是密排平面”。所以此题就是最密排的原子面和线。体心立方：参考书P16图1-9得：滑移面为[101]，滑移方向[111]；最小距离。面心立方：参考书P16图1-9得：滑移面为[111]，滑移方向[110]；六角密积：参考书P16图1-9得：滑移面为[001]，滑移方向△补充题：（1）画出体心立方晶格[110]面上的原子分布图。（2）设有一沿方向滑移，位销线和[110]平行的刃位错，试画在[110]面上的投影图。 滑移面与纸面的交迹就是方向解：（1）参考书P17的体心立方则在[110]面上原子排列的两维原胞是边长为的菱形，菱形的一对锐角。纸面是[110]面，刃位错线[110]与纸面的垂足用“⊥”标记，它是方向。（2）刃位借线的方向是[110]与[110]面垂直，即刃位错线垂直于纸面，刃位错线的滑移方向是，它和[110]面法线方向垂直，所以在带面上（或平行于纸面）。实际上方向是[110]面上菱形两维原胞的一个菱边的方向。刃位错所插入（或取消）的半晶面与[110]面相交之迹，就沿方面，实际上是方向，滑移面由和纸面[110]面的法线所确定。注意：滑移面左下方，在刃位错线之下，稍远之处，相邻原子三距离应当恢复为[沿方向]第五章习题参考答案23、限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量（i）求能量E到E+dE之间的状态数（ii）求此二维系统在绝对零度的弗米能量解：（i）采用周期边鲜条件由每个K矢在R空间占体积为E到E+dE间的状态，在k空间内的体积为在其中的状态数为：由于令（ii）24、金属锂是体心立方晶格，晶格常数为试计算绝对零度时锂的电子气的弗米能量EF。解：体心立方晶格内，每个晶胞有两个原子，锂为一个价原子，所以锂的电子气密度25、在低温下金属钾的摩尔容量的实验结果可写为：C=（2.08T+2.57T3）毫焦/摩尔·开若一摩尔钾有N=6×1023个电子，试求钾的弗米温度TF和德拜温度QD。解：在低温下，电子气的摩尔热容量是：=2.08钾的z=1，所以在低温下，晶格振动摩尔热容贡献为：26、一维周期势场中电子的波函数应当满足Bloch定理，若晶格常数是a，电子波函数为试求电子在这些状态下的波矢解：(i)按Bloch定理：(ii)(iii)27、克一潘问题，当势阱之间的间距时，求决定能量的关系式并说明此结果。解：由克一潘模型加上势能为这实际上有限深势阱的本征值问题分区讨论的形式：（1）在势阱内（2）在势阱外，为满足波函数的有限性：由波函数和它的微商的连续性得：（i）在x=a处①②（ii）在x=0处B=C③A=C④由③、④得①②⑤⑥代入并整理之后得⑦讨论（1）图解求E，令则（7）式可写为：以为直角坐标的纵轴，为横轴，则对于一定的Vo，由（A）和（B）交点可决定E值，E值的个数与Vo之值有关，但只能取分立的能级2）28、电子在周期势场中的势能a=4b，为常数试画出此势能曲线，并求势能平均值。解：势场周期=a=4b29、用近自由电子模型处理28题，求此晶体的第一个及第三个禁带宽度。解：适当选取，位置座标原点，则研究（-2b,2b）间隔的V(x)，即令n=0则V(x)为偶函数，展开为富利叶级数将只有余弦项30、已知一维晶体的电子能带可写成式中a为晶格常数，试求：(i)能带宽度(ii)电子在波矢k时的速度(iii)能带底和顶的有效质量解：(i)可解得：因为ka为实数，若只有sinka=0存在，则ka=n；能带宽（ii）（iii）带底位于带顶位于27、克龙尼克一潘纳问题，当势阱之间的间距时，决定能量的关系式，并说明此结果。解：由克一潘模型加上条件，此时势能为：这实际上是求有限深势阱的本征值问题由薛定谔方程：分区讨论波函数形式1）在2）在讨论边界条件和连续性①当②当③当（1）（2）4）在B=C（3）（4）由（3）（4）式得（5）（6）（5）÷（6）将讨论1）用图解法求能量的本征值当Vo一定时，至少存在一个束缚态。当时，开始出现第一个