沪教版相似三角形专题复习教学案

./相似三角形综合复习一、基础知识<一>.比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：〔1基本性质：〔2合比定理：〔3等比定理：3.黄金分割：如图,若,则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理<二>相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定〔1平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。〔2如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。〔3如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。〔4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质〔1对应边的比相等,对应角相等.〔2相似三角形的周长比等于相似比.〔3相似三角形的面积比等于相似比的平方.〔4相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似,可证明角相等；线段成比例〔或等积式；２、利用三角形相似,求线段的长等3、利用三角形相似,可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。<三>位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形,而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．〔1填空：∠ABC=______,BC=_______．〔2判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.例2.如图所示,D、E两点分别在△ABC两条边上,且DE与BC不平行,请填上一个你认为适合的条件_________,使得△ADE∽△ABC．例3.如图,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走2米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度等于〔A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米例4.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少？例5.如图所示,在△ABC中,AB=AC=1,点D、E在直线BC上运动,设BD=x,CE=y．〔1如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式；〔2如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α、β满足怎样的关系式时,〔1中y与x之间的函数关系式还成立,试说明理由．例6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm,放映的荧屏的规格为2m×2m,若放映机的光源距胶片20cm时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏？三．适时训练〔一选择题1．梯形两底分别为m、n,过梯形的对角线的交点,引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为〔〔A〔B〔C〔D2．如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且＝,AE＝BE,则〔〔A△AED∽△BED〔B△AED∽△CBD〔C△AED∽△ABD〔D△BAD∽△BCD题2题4题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有〔〔A1条〔B2条〔C3条〔D4条4．如图,∠ABD＝∠ACD,图中相似三角形的对数是〔〔A2〔B3〔C4〔D55．如图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP与△ECP相似的是〔〔A∠APB＝∠EPC〔B∠APE＝90°〔CP是BC的中点〔DBP︰BC＝2︰36．如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且有下列条件：〔1∠B＋∠DAC＝90°；〔2∠B＝∠DAC；〔3＝；〔4AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有〔〔A3个〔B2个〔C1个〔D0个题6题7题87．如图,将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论中错误的是〔〔AAE⊥AF〔BEF︰AF＝︰1〔CAF2＝FH·FE〔DFB︰FC＝HB︰EC8．如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有〔〔A△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长〔B△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积〔C△ABE∽△DEC〔D△ABE∽△EBC9．如图,在□ABCD中,E为AD上一点,DE︰CE＝2︰3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于〔〔A4︰10︰25〔B4︰9︰25〔C2︰3︰5〔D2︰5︰25题9题10题1110．如图,直线a∥b,AF︰FB＝3︰5,BC︰CD＝3︰1,则AE︰EC为〔．〔A5︰12〔B9︰5〔C12︰5〔D3︰211．如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE＝AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC︰CD为〔〔A2︰1〔B3︰2〔C3︰1〔D5︰212．如图,矩形纸片ABCD的长AD＝9cm,宽AB＝3cm,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为〔〔A4cm、cm〔B5cm、cm〔C4cm、2cm〔D5cm、2cm题12〔二填空题13．已知线段a＝6cm,b＝2cm,则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm,a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2,则m＝______．15．如图,在△ABC中,AB＝AC＝27,D在AC上,且BD＝BC＝18,DE∥BC交AB于E,则DE＝_______．16．如图,□ABCD中,E是AB中点,F在AD上,且AF＝FD,EF交AC于G,则AG︰AC＝______．题16题17题1817．如图,AB∥CD,图中共有____对相似三角形．如图,已知△ABC,P是AB上一点,连结CP,要使△ACP∽△ABC,只需添加条件______〔只要写出一种合适的条件．19．如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC,EF∥BC,AB＝15,AF＝4,则DE的长等于________．题19题20题2120．如图,△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,AE＝EC,AD＝18,BE＝15,则△ABC的面积是______．21．如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD＝8,BC＝10,则梯形ABCD面积是_________．22．如图,已知AD∥EF∥BC,且AE＝2EB,AD＝8cm,AD＝8cm,BC＝14cm,则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．<三>解答题23.方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形,并加以证明〔要求所画三角形是钝角三角形,并标明相应字母．24.如图,△ABC中,CD⊥AB于D,E为BC中点,延长AC、DE相交于点F,求证＝．25.如图,在△ABC中,AB＝AC,延长BC至D,使得CD＝BC,CE⊥BD交AD于E,连结BE交AC于F,求证AF＝FC．26.已知：如图,F是四边形ABCD对角线AC上一点,EF∥BC,FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H,求证：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH．28.如图,∠ABC＝∠CDB＝90°,AC＝a,BC＝b．〔1当BD与a、b之间满足怎样的关系时,△ABC∽△CDB？〔2过A作BD的垂线,与DB的延长线交于点E,若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形〔自己完成图形．29.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC〔AB＞AE．〔1△AEF与△EFC是否相似？若相似,证明你的结论；若不相似,请说明理由；〔2设＝k,是否存在这样的k值,使得△AEF∽△BFC,若存在,证明你的结论并求出k的值；若不存在,说明理由．30.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝6cm,CA＝8cm,动点P从点C出发,以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出发多少秒时,可使S△BCP＝S△ABC？31.如图,小华家〔点A处和公路〔L之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌〔DE．广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离〔精确到1m．32.某老师上完"三角形相似的判定"后,出了如下一道思考题：如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于O,试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中,∵AD∥BC,∴,∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC．请你回答,该学生的解答是否正确？如果正确,请在每一步后面写出根据；如果不正确,请简要说明理由．33.如图：四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F,求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G,又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区<如图所示>,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35.〔1如图一,等边△ABC中,D是AB上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连结AE。求证：AE//BC；〔2如图二,将<1>中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。36.如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC,切点分别为B、C,且⊙O直经BD=6,连结CD、AO。〔1求证：CD∥AO；〔2设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；〔3若AO+CD=11,求AB的长。37.已知：如图,在正方形ABCD中,AD=1,P、Q分别为AD、BC上两点,且AP=CQ,连结AQ、BP交于点E,EF平行BC交PQ于F,AP、BQ分别为方程的两根.〔1求的值〔2试用AP、BQ表示EF〔3若S△PQE=,求n的值38.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t<s>表示移动的时间〔,那么：OPAXYBQ〔1设△POQ的面积为OPAXYBQ〔2当△POQ的面积最大时,△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ,试判断点C是否落在直线AB上,并说明理由。〔3当为何值时,△POQ与△AOB相似？39.如图,矩形PQMN内接于△ABC,矩形周长为24,AD⊥BC交PN于E,且BC＝10,AE＝16,求△ABC的面积．40.已知：如图,△ABC中,AB＝AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．41.在Rt△ABC中,∠C=90,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC于点D,〔第41题DE⊥DB交AB于点E,⊙O是△BDE的外接圆,交BC于点F〔第41题〔1求证:AC是⊙O的切线;〔2联结EF,求的值.42.请阅读下列材料：〔图1圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD．请你根据以上材料,解决下列问题.〔图1已知⊙O的半径为2,P是⊙O内一点,且OP=1,过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作⊙O的切线m和n,作PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R.〔如图2<1>若AC恰经过圆心O,请你在图3中画出符合题意的图形,并计算：的值；<2>若OP⊥AC,请你在图4中画出符合题意的图形,并计算：的值；〔图2<3>若AC是过点P的任一弦〔图2,请你结合<1><2>的结论,猜想：的值,并给出证明．〔图2〔图4〔图3〔图4〔图343.已知,是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动,点不与点重合.〔1如图,当直角的两边分别与射线、交于点、时,请判断与的数量关系,并证明你的结论；〔2如图,在〔1的条件下,设与的交点为点,且,求的值；〔3若直角的一边与射线交于点,另一边与直线、直线分别交于点、,且以、、为顶点的三角形与相似,请画出示意图；当时,直接写出的长.44.图1是边长分别为4EQ\R<,3>和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起〔与重合．〔1固定△,将△绕点顺时针旋转得到△,连结〔如图2．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；〔2设图2中的延长线交于,并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移,平移后的△设为△〔如图3．设△移动〔点在线段上的时间为x秒,若△与△重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；〔3若固定图1中的△,将△沿方向平移,使顶点C落在的中点处,再以点为中心顺时针旋转一定角度,设,边交于点M,边交于点N〔如图4．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化,请你求出的值；如果有变化,请你说明理由．图1图2图3图445.如图：是⊙O的直径,是弦,,延长到点,使得．<1>求证：是⊙O的切线；<2>若,求的长．46.已知：如图,AB为⊙O的直径,AD为弦,∠DBC=∠A.〔1求证：BC是⊙O的切线；〔2若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6,CE=4,求AD的长.47.在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△〔使＜180°,连接、,设直线与AC交于点O.〔1如图①,当AC=BC时,:的值为；〔2如图②,当AC=5,BC=4时,求:的值；〔3在〔2的条件下,若∠ACB=60°,且E为BC的中点,求△OAB面积的最小值.图①图②48.