与四边形、三角形、相似有关的动态问题

与四边形、三角形、相似有关的动态问题PAGEPAGEPAGE4三角形，四边形，圆与相似相关的动态问题1．（8分）如图，已知的半径为6cm，射线经过点，，射线与相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．ABQOABQOPNM（2）当为何值时，直线与相切？3如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；CBCBOD图7AEBAODCE图8（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.7如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q。（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形。8如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．9小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当°时，是什么三角形？图1图2在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.图1图2图4图3图4图3 10如图1，正方形和正三角形的边长都为1，点分别在线段上滑动，设点到的距离为，到的距离为，记为（当点分别与重合时，记）．（1）当时（如图2所示），求的值（结果保留根号）；（2）当为何值时，点落在对角形上？请说出你的理由，并求出此时的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：0.0300.290.290.130.03（4）若将“点分别在线段上滑动”改为“点分别在正方形边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点运动所形成的大致图形．AHFDGAHFDGCBE图1图2B(E)A(F)DCGHADCB图3HHDACB图412．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．14课堂上，老师将图①中绕点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当旋转时，得到．已知，．（1）的面积是；点的坐标为（，）；点的坐标为（，）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中绕的中点逆时针旋转得到，设交于，交轴于．此时，和的坐标分别为，和，且经过点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与重叠部分的面积不断变小，旋转到时重叠部分的面积（即四边形的面积）最小，求四边形的面积．（3）在（2）的条件下，外接圆的半径等于．yyx11B1A1A(4，2)B(3，0)O图①yx11A(4,2)B(3,0)O图②(1,3)(3,2)D(3,-1)CE16．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．=1\*GB3①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．=2\*GB3②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，=1\*GB3①中的结论是否仍然成立，为什么？第16题图第16题图图甲图乙图丙（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．17（本题满分8分）如图所示，的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作的切线，切点为C，连结AC.（1）若∠CPA=30求PC的长；MPOCBA(2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M.你认为∠CMPMPOCBA18.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：(1)如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.AABEFCD图11(1)(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.AABEFCD图11(2)(3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.AAB(E)(F)CD图11(3)E(F)α3.(2008年永州)（10分）如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．1．(2008年内江市)如图，当四边形的周长最小时，．22.（2008年湖北省宜昌市））如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.21.(2008年·东莞市)（本题满分9分）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；CBCBOD图7AEBAODCE图8（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.答案：1.（2008年泰安市）（第19题）P1如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为．（第19题）P答案：2008解析：由题意得：的横坐标为1，的横坐标为2，有一定的规律，横坐标每翻转一次，就增加1，所以点的横坐标为2008。（2010哈尔滨）１．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，在△DCE中，∠DCE＝90°，DC＝EC＝6，点D在线段AC上，点E在线段BC的延长线上．将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′（点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′），连接AD′、BE′，过点C作CN⊥BE′，垂足为N，直线CN交线段AD′于点M，则MN的长为．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？AUTONUM．（2008年龙岩市）（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（第25题图）

）（备用图）（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M（第25题图）

）（备用图）(2010台州市)22．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗?在图1中画出四边形OABC.②证明四边形OABC是平行四边形.（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．（第（第22题）yO图2Q（5,5）P（2,3）yO图111xx解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}．……………2分yO11yO11xABC（2）①画图…………………2分最后的位置仍是B．……1分②证明：由①知，A（3，1），B(4，3)，C（1，2）∴OC=AB==，OA=BC==，∴四边形OABC是平行四边形．…………3分（3）{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0,0}．……2分（2010河南）19．（9分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．(1)3或8(2)1或11(3)由(2)可知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形∴EP=AD=5过D作DF⊥BC于F，则DF=FC=4，∴FP=3∴DP=5∴EP=DP故此时□PDAE是菱形即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形。（2010广东中山）22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒。试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。第22题图（2）A第22题图（2）ABCDFMNWPQ第22题图（1）ABMCFDNWPQ22、（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF∴∠QPW=∠MNF同理可得：∠PQW=∠NFM或∠PWQ=∠NFM∴△FMN∽△QWP（2）当时，△PQW为直角三角形；当0≤x<，<x<4时，△PQW不为直角三角形。（3）（2010·浙江温州）24．(本题l4分)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；(2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t>时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．（2010·浙江湖州）25．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；ABC第25题DPE（2）当点P在AD上运动时，对应的点ABC第25题DPE（此题没有给答案）24．（2010年山东省青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）ABABC图（3）ADBCF（E）图（1）ADBCFE图（2）PQ（用圆珠笔或钢笔画图（用圆珠笔或钢笔画图）【答案】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.则AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分图（2）QADBCFEPM图（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴抛物线开口向上.∴当t=3时，y最小=.答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分CEADBF图（3）PQN（3CEADBF图（3）PQN过P作，交AC于N，∴.∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.25．（2010年门头沟区）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）图图①【关键词】正方形与旋转【答案】解：（1）如图①AH=AB………..1分（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°∴Rt△AEB≌Rt△AND………………3分∴AE=AN，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45°∵AM=AM∴△AEM≌△ANM………………….4分∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH……………...5分（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x，则MC=, NC=图②在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得∴………6分解得.（不符合题意，舍去）∴AH=6.……………7分[来源:Zxxk.Com]图③1.(2010福建泉州市惠安县)如图，正方形ABCD的边长是3cm，一个边长为1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向第7题图是下图的（）第7题图AABCD【关键词】翻转,旋转【答案】A2.(2010福建泉州市惠安县)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．(1)求梯形ABCD的周长；(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【关键词】运动与等腰三角形【答案】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E∵四边形ABCD是直角梯形∴四边形ABED是矩形∴AD=BE=2，AB=DE=8在Rt△DEC中，CE===6∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=28.（2）①∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长∴BP+BC+CQ=14又∵BP=CQ=t∴t+8+t=14∴t=3∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长.②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC=∴CF=，QF=，PG==，QG=8－=（8－t）2+22=t2+16t+68，PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=若DQ=PD，则（10－t）2=t2+16t+68，解得：t=8；若DQ=PQ，则（10－t）2=，解得：t1=，t2=＞8（舍去），此时t=；（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t－10，∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.（2010辽宁省丹东市）25．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．图图①图②图③第25题图A·BCDEF···【关键词】等边三角形【答案】25．（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上， 3分（说明：答对一个给2分）（2）成立． 4分证明：法一：连结DE，DF． 5分∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE． 7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． 8分∴MF=NE． 9分NNCABFMDENCABFMDE法二：延长EN，则EN过点F． 5分∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN． 8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN． 9分法三：连结DF，NF． 5分∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠MDF=60°，∠NDF+∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN． 7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠B=∠DFN=60°． 8分又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，∴∠DFE=60°．∴可得点N在EF上，∴MF=EN． 9分（3）画出图形（连出线段NE）， 11分MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分1.（2010年福建省晋江市）如图，在等边中，线段为边上的中线.动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.(1)填空：度；(2)当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.AABC备用图(1)ABC备用图(2)【关键词】等边三角形、动点问题【答案】(1)60；(2)∵与都是等边三角形∴，，∴∴∴≌∴，∴.(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则.在中，，，则.在中，由勾股定理得：，则.②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形∴，，∴∴∴≌∴，同理可得：.③当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形∴，，∴∴∴≌∴∵∴∴.同理可得：.综上，的长是6.（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.BE→F→CBE→F→CADG【答案】解：⑴x，D点；⑵①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；②分两种情况：Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，所以，此时y＝x2－（3x－6）2＝.Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，∵EC＝6－x,∴y＝（6－x）2＝.⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，∴x＝2时，y最大＝；当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，∴x＝3时，y最大＝.BECFADGPH图2综上所述：当x＝时，yBECFADGPH图2BEFCBEFCADGNM图12.(2010福建泉州市惠安县)如图，把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合（如图①）.现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：00＜α＜900），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.（1）在上述过程中，BH与CK有怎样的数量关系？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y,①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的EQ\F(5,16)，求此时BH的长.图图①图②【关键词】二次函数【答案】（1）BH=CK.如图2，∵点O是等腰直角三角板ABC斜边中点∴∠B=∠GCK=450，BG=CG由旋转的性质，知∠BGH=∠CGK∴△BGH≌△CGK∴BH=CK.（2）①由(1)易知S四边形CHGK=△ABC=4，∴S△GKH=S四边形CHGK-S△KCH=4-CH×CK得y=（0＜χ＜4）②当y=EQ\F(5,16)×8=时，即=，解得χ=1或χ=3.∴当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的EQ\F(5,16)时，BH=1或BH=3.（2010年常州）28.（本小题满分10分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ.设AP=（1）当PQ∥AD时，求的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于的函数关系式，并写出S的取值范围.3.（2010山东青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．ADBCF（E）图（1）ADBCADBCF（E）图（1）ADBCFE图（2）PQ解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ.∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t.∴AQ=8－t.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm.则AP=10－2t.∴10－2t=8－t.解得：t=2.答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分图（2）QADBCFEP图（2）QADBCFEPM∴.在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴.∴PM=.∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6－t.∴y=S△ABC－S△BPE=－=－==.∵，∴抛物线开口向上.∴当t=3时，y最小=.答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.过P作，交AC于N，CEADCEADBF图（3）PQN∵，∴△PAN∽△BAC.∴.∴.∴，.∵NQ=AQ－AN，∴NQ=8－t－()=．∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP.∴.∴.∵∴解得：t=1.答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分(2010台州市)（第24题）H24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y（第24题）H（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？24．（14分）（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴=90°，HD=HA，∴，…………3分（图1）（图2）∴△DHQ∽△ABC．……………………1分（图1）（图2）（2）①如图1，当时，ED=，QH=，此时．…………3分当时，最大值．②如图2，当时，ED=，QH=，此时．…………2分当时，最大值．∴y与x之间的函数解析式为y的最大值是．……………………1分（3）①如图1，当时，若DE=DH，∵DH=AH=，DE=，∴=，．显然ED=EH，HD=HE不可能；……………………1分②如图2，当时，若DE=DH，=，；…………1分若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；………1分若ED=EH，则△EDH∽△HDA，∴，，．……1分∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.24．(东营市本题满分10分)如图，在锐角三角形ABC中，，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与，重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点的异侧作正方形DEFG.（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；B（第24题图）ADEFGCB（备用图（1））ACB（备用图（2））AC（2）设DE=xB（第24题图）ADEFGCB（备用图（1））ACB（备用图（2））ACBB（第24题图(1)）ADEFGCMN解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,………1分∴，而AN=AM－MN=AM－DE，∴.………2分解之得.∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3分B（第24题图（2））B（第24题图（2））ADEFGC①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，∵DE=x，∴，此时x的范围是≤4.8…4分②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，MB（第24题图(3)）ADEFGCNMB（第24题图(3)）ADEFGCNPQ∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,…………5分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.………6分所以,即.………7分由题意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为(0<x≤(0<x≤4.8)当≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04当时，因为，所以当时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.因为24>23.04，所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24.…10分24．（湖北省咸宁市本题满分12分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，，，．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．AABCD（备用图1）ABCD（备用图2）QABCDlMP（第24题）E解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形．QABCDlQABCDlMP（第24题）EFRtRt．∴．即，∴．（2）∵为锐角，故有两种情况：①当时，点P与点E重合．此时，即，∴．ABCDABCD（备用图1）QPElM此时RtRt∴．由（1）知，，而，∴．∴．ABCD（备用图2）MQRFABCD（备用图2）MQRFP（3）为定值．……9分当＞2时，如备用图2，．由（1）得，．∴． ∴．∴． ∴．∴四边形AMQP为矩形． ∴∥．……11分∴∴．……12分24.（荆州市12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．（1）直接写出D点的坐标；（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△，求△与五边形OEFBC重叠部分的面积．解：（1）D点的坐标是.（2分）（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF(4分)∴，即：∴y与x的解析式为：(6分)（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,B在A’F上（A’F⊥EF）∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积.∵∴∴∴（也可用）(8分)②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA∴四边形DEAB是平行四边形∴AE=DB=∴(10分)③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3∴AE=AF=OA-OE=过F作FH⊥AE于H,则∴综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为或1或（12分）26.(湖南常德市)如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：AG⊥CH;②当AD=4，DG=时，求CH的长。AABCDEF图10GAD图11FEBCGADBCEFHM图12ABCDEFABCDEFG图11四边形、四边形是正方形，∴