状态空间表达式的解

第二章控制系统状态空间表达式的解--------精选ppt(见第三章和第四章)精选ppt精选ppt精选ppt精选ppt§2-1线性定常齐次状态方程的解----自由解

所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：其唯一确定的解为:若t0=0,则有eAt为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵精选ppt矩阵指数函数:§2-2矩阵指数函数----状态转移矩阵从可看出:形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(TheStateTransitionMatrix)，并记：……

由此若已知状态转移矩阵和初始状态,即可求的任意时刻的状态.精选ppt***状态转移矩阵的基本性质****性质1：组合性质

性质2：性质3：转移矩阵的逆意味着时间的逆转精选ppt性质4：性质5：对于n阶方阵A和B,当且仅当AB=BA:即A,B可交换时,有:、

证明过程见现代2--P6证明过程见现代2--P6可用来从给定的矩阵中求出系统矩阵A

精选ppt***几个特殊的状态转移矩阵****1.若A为对角阵2.若A能够通过非奇异变换对角化,即:存在T使则则证明过程见现代2—P8证明过程见现代2—P9精选ppt3.若A为Jordan矩阵.即:则证明过程见现代2—P9精选ppt***状态转移矩阵的计算****1.根据定义直接计算:2.利用拉普拉斯反变换对两边取拉氏变换，得：拉氏反变换，得：精选ppt3.变换A为Jordan标准型(1)A的特征根互异:存在非奇异变换阵T使A成为对角阵精选ppt(2)A的特征根有重根:存在非奇异变换阵T使A成为Jordan型精选ppt4.应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley－Hamilton)求eAT考虑nXn维矩阵A及其特征方程:凯莱-哈密尔顿定理指出:矩阵A满足其自身的特征方程,即:由此可得:其中αi(t)可计算如下:精选ppt(1)A的特征值互异时:精选ppt(2)A的特征值为重根时:精选pptExample:1.Example:2.精选ppt§2-3线性定常系统非齐次方程的解线性定常非齐次状态方程为：从物理意义上看，系统从时刻的初始状态开始，在外界控制的作用下运动。要求系统在任意采用类似于齐次标量定常微分方程的解法，上式可写成：时刻的状态,则必须求解上述微分方程。精选ppt两边同时左乘，得：根据矩阵微积分知识，上式进一步有：两边同时在区间积分，得：两边同时左乘并整理得：即：

精选ppt，当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t0)=x(0)时,其解为:当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:第一部分是在初始状态作用下的自由运动，的作用下的强制运动。第二部分为在系统输入精选ppt在特定控制作用下,如脉冲函数,阶跃函数和斜坡函数的激励下,系统的全响应解可以简化为一些公式:1.脉冲函数2.阶跃函数3.斜坡函数精选ppt1脉冲信号输入，即：时即：精选ppt2阶跃信号输入，即

……

精选ppt【例2－8】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：解：根据上面的式子其中，K=1精选ppt在例2－6中已求的：精选ppt其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示：%ExampleExample2-8grid;xlabel('时间轴');ylabel('x代表x1，----*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end精选ppt§2-4线性时变系统状态方程的解线性时变系统:1.齐次方程的解:2.状态转移矩阵的基本性质:一般不可交换精选ppt3.线性时变系统非齐次方程的解若的A(t)和B(t)的各元素在时间区间内分段连续,则有:4.状态转移矩阵的计算:精选ppt精选ppt§2-5离散时间系统状态方程的解离散时间状态方程求解一般有两种方法：递推法（迭代法）和Z变换法。前者对定常、时变系统都适用，而后者只适用于定常系统。我们只介绍递推法。对于线性定常离散系统状态方程：依次取得：精选ppt当初始时刻为h时，同理可推出：或:离散系统的状态转移矩阵:精选ppt例2-11:离散系统的状态方程为:我们可以在MATLAB中，直接通过递推法求出各值X=[1;1];U=1;G=[01;-0.16-1];H=[1;1];fork=0:400X=G*X+H*Uplot(X(1),X(2),'o');end精选ppt§2-6连续时间系统状态空间表达式的离散化

数字计算机处理的是时间上离散的数字量，如果要采用数字计算机对连续时间系统进行控制，就必须将连续系统状态方程离散化。另外，在最优控制理论中，我们经常要用离散动态规划法对连续系统进行优化控制，同样也需要先进行离散化。设连续系统动态方程为：系统离散化的原则是：在每个采样时刻，其中T为采样周期）系统离散化前后的保持不变。而采样的方法是在t=kT时刻对U(t)值采样得U(kT)，并通过零阶保持器，使的值在时间段保持不变。精选ppt根据上述离散化原则，我们有离散化后的动态方程为：上述输出方程应该很容易理解，它表示kT时刻离散系统的输出Y(kT)和输入U(kT)及其系统状态量X(kT)的关系，它应该与离散化前的关系一样。下面我们根据离散化原理求出离散系统状态方程，即求出

其中：近似计算:T<0.1τ时:G=TA+I;H=TB精选ppt【例2－13】试将下列状态方程离散化解：精选ppt

精选ppt在MATLAB中，语句C2D可直接求出连续系统的离散化方程。%Example3-8ContinuoustodiscretesystemA=[01;0-2];B=[0;1];T=0.01[G,H]=c2d(A,B,T)end运行结果为：G=1.00000.009900.9802H=

0.00000.0099精选ppt应掌握的内容：矩阵指数函数的定义状态