上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.6-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.6第四章方程求根

问题，解方程()0fx=

给出函数()fx，求*

x使*()0fx=1，平分区间法：（实方程，实根）

[](),()*()0,(,)fxCabfafbab∈取11,2ab

abb+==()()02abfaf+，不收敛

由于：**()xx?=**

1()kkxxxx?ξ+'-=-

**101,||0kkLxxLxx?ξ+'≤（）时，上面的量→∞

定理1：设()Lip1,Lx?∈1L在01(,)

xx内有一根

以直线01PP与x轴的交点2x

代曲线01

PP与x轴的交点*

x

01PP的方程

0x

100110

()()()()

0fxxxfxxxyxx≡=

-

12022110

()()()()

0fxxxfxxxxx=

-

1012110023034()()()()

,,,,

xxfxxxfxfxxxxxxx-=-

-→→

普通有递推公式：

010()()

()()

kkkkkxxfxxxfxfx+-=-

-

估量误差：

00000()()1

()()()()()()2

kkkfxfxfxfxxxfxxxxxxξ-''=+

-+

以根*

x代入

***00000()()1

0()()()()()2

kkkfxfxfxxxfxxxxxxξ-''=+

-+

由递推公式可得：00100

()()

0()()kkkfxfxfxxxxx+-=+

--

相减得：***0100()()1

0()()()()2

kkkkfxfxxxfxxxxxxξ+-''=

-+

由中值定理**

*

011()()()()2()

kkfxxxxxxfξξ+''--=--'

*:()kxxρ=-

*0xx-充分小，使系数1ρ1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。

定理2对于迭代过程1()kkxx?+=，假如迭代过程()()px?在*

x附近延续，并且：

**(1)*()()()0pxxx???-'''====，

()*()0px?≠

则该迭代过程在点*

x附近是p阶收敛的。假如迭代过程1()kkxx?+=超线性收敛，则

1

**

*11pkkkxxCxxxx≤--，同时**10kxxxx--≤-，所以我

们有：

1**

0()pk

kxxCxx--≤-

对照定理1中线性收敛的状况*k

kxxL-≤，其中的L是由方程确定的，

而在超线性收敛时，误差减小的比例因子1

*0pCxx--是可以通过取尽

可能好的初值使得它很小。应用定理2可以证实：

定理3(Newton法的局部收敛性)

设2*(),()0fxCfx'∈≠，则当时值0x充分临近*

x时，Newton法收敛，并且收敛是二阶的。

解非线性方程组的Newton法

12(,,,)0

1,2,,jnfxxxjn=??

=?

设其解为***12(,,,)nxxx，在其附近一点00012

(,,,)nxxx把jf展成Taylor展式：

000000

121

2

121(,,...,)(,,...,)()

(,,...,)n

jnjn

kkjnjkk

fxxxfxxxxxfxxxRx=?=+-+?∑

200

12,11()()(,,)1,2,,2njllkkjnlklk

Rxxxxfjn

xxξξξ=?=--=??∑

忽视余项jR得：

000

000

1

2

121(,,...,)()

(,,...,)01,2,...,n

jn

kkjnkk

fxxxxxfxxxjnx=?+-==?∑

这是一组线性方程，它的解1

11,,nxx作为解，系数矩阵式Jacobi阵

111122221

211

2

(,...,)nnnnnnnfffxxxfffxxxJJxxfffxxx??????

????????

????==??

???????????

写成向量形式：12(,,,)jjjjnxxxx=，则上述线性方程组化为：

000()()()0fxJxxx+-=

1(,...,)nRRR=的重量001

()()()2

TjjRxxHxxξ=--

2,1,2,,j

jlk

nn

fHlknxx???

?==

??????因而1

1

1

1()()()()kkkkxxJxfxx

xJx