(WORD)-高中数学基础公式及总结大全

高中数学基础公式及总结大全

袁轲教学资料（高中数学）

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);

(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);

(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).

7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0|f(x)MNf(x)

2|MNN

2Mf(x)0

11个；非–

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11.f(x)NMN

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1kk2bk1k2b,或f(k2)0且1k2.2a222a

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x取得，具体如下：

(1)当a>0时，若x

xbbp,q，则f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2ab处及区间的两端点处2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a

bb()若xp,q，则(2)当a<0时，若xp,q，则f(x)minminf(p),fq，2a2a

f(x)maxmax()f(x)minminf(p),f(q).f(p),fq，

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；（2）方程m2

f(m)0f(n)0f(m)02或f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p4q0或af(n)0mpn2

2

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f(n)0

；

af(m)0

p24q0

（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0

a0

(3)f(x)ax4bx2c0恒成立的充要条件是b0或2.

c0b4ac0

12.真值表

13.常见结论的否定形式

3

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14.四种命题的相互关系

原命题互逆

互否若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.4

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注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.x1x2

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22

a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若f(x)f(xa),则函2

数yf(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

5

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f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xf(abmx)f(mx).ab对称f(amx)f(bmx)2

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x

(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系f(a)bf1(b)a.

127.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y[f1(x)b],并不是y[f1(kxb),k

1而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f'(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，f(0)1,limx0g(x)1.x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；

（2）f(x)f(xa)0，6

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或f(xa)1(f(x)0)，f(x)

1(f(x)0),

f(x)或f(xa)

1或2f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)

f(x1)f(x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期T=4a；1f(x1)f(x2)(3)f(x)1(4)f(x1x2)

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)a

m

nmn1

m

na0,m,nN，且n1）.(2)a（a0,m,nN，且n1）.a

31．根式的性质

（1

）na.

（2）当n

a；

a,a0当n

|a|.a,a0

32．有理指数幂的运算性质

(1)arasars(a0,r,sQ).

(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对7

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于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logaNlogmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logma

推论logambnnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).m

35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMlogaMlogaN;N

(3)logaMnnlogaM(nR).

36.设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx)a

11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.aa

11，(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.aa若a0,b0,x0,x

推论:设nm1，p0，a0，且a1，则

（1）logmp(np)logmn.

（2）logamloganloga2

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,an(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).snsn1,n2

8mn.2

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40.等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN*)；其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn

41.等比数列的通项公式ana1qn1a1nq(nN*)；q

其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1qna,q11

a1anq,q1或sn1q.

na,q11

42.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；,q1q1

其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q

43.分期付款(按揭贷款)ab(1b)n

每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).n(1b)1

44．常见三角不等式

（1）若x(0,)，则sinxxtanx.2

9

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(2)若x

(0,

2)，则1sinxcosx(3)|sinx||cosx|1.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=sin

cos，tancot1.

46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sin(nn

2)(1)2sin,

n1(1)2cos,cos(nn

(1)2cos,

2)

n1

(1)2sin,

47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan

1tantan.

sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

asin

bcos=)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb

a).

48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.tan22tan

1tan2.

49.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin(

3)sin(3).

cos34cos33cos4coscos(

3)cos(3)

10.

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3tantan3tan3tantan()tan().213tan33

50.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T

T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.

51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2b2c22bccosA;

b2c2a22cacosB;

c2a2b22abcosC.

53.面积定理

111（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.222

111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222(3)SOAB54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)CAB2C22(AB).222

55.简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).特别地,有

sinsink(1)k(kZ).11

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coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.2

tanxa(aR)x(k

2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a·b=b·a（交换律）;

(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;

(3)（a+b）·c=a·c+b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一

对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.

53.a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

61.a·b的几何意义

12

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数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).63.两向量的夹角公式

cos

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

d

A,B=|AB|(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.66.线段的定比分公式

PP2，则设P112的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP

xy

x1x2

OPOP21OP1

y1y211

1

(1t)OP（）.tOPtOP12

1

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

13

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G(x1x2x3y1y2y3,).33

68.点的平移公式

'''xxhxxh'OPOPPP.''yykyyk

注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的坐标为''''

(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P'(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的函数解析式为yf(xh)k.

(3)图象C'按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C'的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222（1）O为ABC的外心OAOBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,b

R

ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．214

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（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

1（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值s2.4

推广已知x,yR，则有(xy)2(xy)22xy

（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.

73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

xax2aaxa.2

xax2a2xa或xa.

75.无理不等式

15

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（1

）f(x)0g(x)0.

f(x)g(x)

f(x)0f(x)0g(x)g(x)0或.f(x)[g(x)]2g(x)0

f(x)0g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2（2

）（3

）

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)

(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2x1

78.直线的五种方程

（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).y2y1x2x1

xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).16

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79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C2

②l1l2A1A2B1B20；

80.夹角公式(1)tan|k2k1|.1k2k1

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1|.A1A2B1B2

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是

81.l1到l2的角公式(1)tank2k1.1k2k1.2

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1.A1A2B1B2

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1到l2的角是

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线xx0),其17.2

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中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

d

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

84.AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：

若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.

18

袁轲教学资料（高中数学）

（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).

xarcos

（3）圆的参数方程.

ybrsin

（4）圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、

B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待

定的系数．

(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

(3)过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程是x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种

若d

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:

dr相离0;dr相切0;dr相交0.

其中d

AaBbCAB

2

2

.

19

袁轲教学资料（高中数学）

90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2ddr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2y2DxEyF0．①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是D(x0x)E(y0y)F0.22

D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时,x0xy0yF0表示过两个切点的切点弦方程．22x0xy0y

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2y2r2．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr2;②斜率为k

的圆的切线方程为ykxxacosx2y2

92.椭圆221(ab0)的参数方程是.ybsinab

x2y2

93.椭圆221(ab0)焦半径公式ab

a2a2

PF1e(x)，PF2e(x).cc

94．椭圆的的内外部

20

袁轲教学资料（高中数学）

22x0y0x2y2

（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221.

abab22

x0y0x2y2

（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部221.

abab

95.椭圆的切线方程

xxyyx2y2

(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2

（2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

ab

x0xy0y

21.2ab

x2y2

（3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.

ab

x2y2

96.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2

PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

97.双曲线的内外部

22

x0y0x2y2

(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部221.

abab22

x0y0x2y2

(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部221.

abab

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b

(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababaxyxyb

(2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababa

x2y2x2y2

(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，

abab

2

2

焦点在y轴上）.

99.双曲线的切线方程

21

袁轲教学资料（高中数学）

xxyyx2y2

(1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是0

2021.abab

x2y2

（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是ab

x0xy0y21.2ab

x2y2

（3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.ab

100.抛物线y22px的焦半径公式

抛物线y22px(p0)焦半径CFx0

过焦点弦长CDx1p.2ppx2x1x2p.22

2y101.抛物线y22px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中y22px.2p

b24acb2

102.二次函数yaxbxca(x)（1）顶点坐标为(a0)的图象是抛物线：2a4a2

b4acb2b4acb214acb21(,)；)；（2）焦点的坐标为(,（3）准线方程是y.2a4a2a4a4a103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0).

点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).

(2)点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的内部y22px(p0).

点P(x0,y0)在抛物线y22px(p0)的外部y22px(p0).

(3)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).

点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0).

(4)点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的内部x22py(p0).

点P(x0,y0)在抛物线x22py(p0)的外部x22py(p0).

104.抛物线的切线方程

22

袁轲教学资料（高中数学）

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

（2）过抛物线y22px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).（3）抛物线y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程221,其中kmax{a2,b2}.当kmin{a2,b2}时,

akbk

表示椭圆;当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

AB|x1x2||y1y2|（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，

ykxb

由方程消去y得到ax2bxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

F(x,y)0

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x

2A(AxByC)2B(AxByC)

,y)0.

A2B2A2B2

x0yxy0

2

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Ax2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x2，用y0y代y2，用代xy，用

x0xyy

代x，用0代y即得方程22xyxy0xxyy

Ax0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方

222

程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；

23

袁轲教学资料（高中数学）

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共24

袁轲教学资料（高中数学）

始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），

则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、

A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、C、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A'，作B点在l上

的射影B'，则

AB|AB|cos〈a，e〉=a·e''

122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则

(1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

25

袁轲教学资料（高中数学）

(2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

(3)λa＝(a1,a2,a3)(λ∈R)；

(4)a·b＝a1b1a2b2a3b3；123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则ABOBOA=(x2x1,y2y1,z2z1).124．空间的线线平行或垂直rr设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

x1x2rrrrrraPbab(b0)y1y2；

zz21

rrrrabab0x1x2y1y2z1z20.125.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉

=.

222a3)(b12b2b32)，此即三维柯西不等式.推论(a1b1a2b2a3b3)2(a12a2

126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.2ACBD

127．异面直线所成角

rrcos|cosa,b|

rr|ab|=|a||b|

oorr（其中（090）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）128.直线AB与平面所成角26

袁轲教学资料（高中数学）

ABm(m为平面的法向量).arcsin|AB||m|

129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A'、B'为ABO的两个内角，则

tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2.

131.二面角l的平面角

mnmnarccos或arccos（m，n为平面，的法向量）.|m||n||m||n|

132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

133.三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

27

袁轲教学资料（高中数学）

d

A,B=|AB|135.点Q到直线l距离

h点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).136.异面直线间的距离

|CDn|d(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的|n|

距离).

137.点B到平面的距离

|ABn|d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.|n|

138.异面直线上两点距离公式

d

ddEAA'F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A'Em,AFn,EFd).

139.三个向量和的平方公式

2222(abc)abc2ab2bc2ca

222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有

l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141.面积射影定理

28

袁轲教学资料（高中数学）

S'

.Scos

(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为).

142.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别

是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l.

②V斜棱柱S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E1的关系：EnF；2

1（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：EmV.2

146.球的半径是R，则4其体积VR3,3

其表面积S4R2．

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

29

袁轲教学资料（高中数学）

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体:

棱长为a

的正四面体的内切球的半径为

148．柱体、锥体的体积

1V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.3

1V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3,

a.149.分类计数原理（加法原理）

Nm1m2mn.

150.分步计数原理（乘法原理）

Nm1m2mn.

151.排列数公式

mAn=n(n1)(nm1)=n！.(n，m∈N*，且mn)．(nm)！

注:规定0!1.

152.排列恒等式

mm1(nm1)An(1）An;

m（2）AnnmAn1;nm

mm1nAn（3）An1;

nn1nAn（4）nAn1An;

mmm1（5）An.1AnmAn

(6)1!22!33!nn!(n1)!1.

153.组合数公式

Anmn(n1)(nm1)n！C=m==(n∈N*，mN，且mn).Amm！(nm)！12mm

n

154.组合数的两个性质

30

袁轲教学资料（高中数学）

mnm(1)Cn=Cn;

m(2)Cn+Cnm1=Cnm1.

01.注:规定Cn

155.组合恒等式

nm1m1Cn;m

nmm（2）CnCn1;nm

nm1m（3）CnCn1;mm（1）Cn

r（4）Cn=2n;

r0n

rr1Cn（5）CrrCrr1Crr2Cn1.

012rnCnCnCnCn2n.(6)Cn

135024CnCnCnCnCn2n1.(7)Cn

123n2Cn3CnnCnn2n1.(8)Cn

r0r110rrrCnCmCnCmCnCm(9)Cmn.

021222n2n)(Cn)(Cn)(Cn)C2(10)(Cnn.

156.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn.

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

1mm11m1①某（特）元必在某位有Anm1种；②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）An1An1

m1m1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

mk①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkkAnk种.

nk1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An此类问题常用捆绑k1Ak种.注：

31

袁轲教学资料（高中数学）

法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不

hk

Ah1种.能挨近的所有排列数有Ah

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

n

Amn1

Cm当nm1时，无解；当nm1时，有n1种排法.An

n

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共

nnnnn

Cmn有NCmnnCmn2nC2nCn

(mn)!

.m

(n!)

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCn

N.

m!m!(n!)m

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，„，nm件，且n1，n2，„，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

nmn1n2

NCpCpn1...Cnmm!

p!m!

.

n1!n2!...nm!

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，„，nm件，且n1，n2，„，nm这m个数中分别有a、b、c、„个相等，则其分配方法数有N

nmn1n2

CpCpn1...Cnmm!

a!b!c!...

p!m!

.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，„，nm件无记号的m堆，且n1，n2，„，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N

p!

.

n1!n2!...nm!

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，„，

32

袁轲教学资料（高中数学）

nm件无记号的m堆，且n1，n2，„，nm这m个数中分别有a、b、c、„个相等，则其分配方法数

有N

p!

.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，„„等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，„时，则无论n1，n2，„，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2

NCpCpn1...Cnm

p!

.

n1!n2!...nm!

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![

1111

(1)n].2!3!4!n!

推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234

f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!

(1)C(np)!(1)C(nm)!

p

p

m

m

mm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm

n![11224(1)(1)].pm

AnAnAnAnAnAn

160．不定方程x1+x2++xnm的解的个数

n1

(1)方程x1+x2++xnm（n,mN）的正整数解有Cm个.1

1(2)方程x1+x2++xnm（n,mN）的非负整数解有Cnn个.m1

(3)方程x1+x2++xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的非负整数解有

n1Cm个.1(n2)(k1)

(4)方程x1+x2++xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的正整数解有

11n12n1n2n2n1CnnCCCC(1)CCm1(n2)k个.m1n2mnk2n2mn2k3n2

0n1n12n22rnrrnn

aCnabCnabCnabCnb;161.二项式定理(ab)nCn

二项展开式的通项公式

rnrr

Tr1Cnab(r0，1，2，n).

33

袁轲教学资料（高中数学）

162.等可能性事件的概率

P(A)m.n

163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋„＋An)=P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)．165.独立事件A，B同时发生的概率

P(A·B)=P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1·A2·„·An)=P(A1)·P(A2)·„·P(An)．167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）Pi0(i1,2,);

（2）P1P21.

169.数学期望

Ex1P1x2P2xnPn

170.数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b.

（2）若～B(n,p),则Enp.

(3)若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则E171.方差

Dx1Ep1x2Ep2xnEpn2221.p172.标准差

=D.

173.方差的性质

34

袁轲教学资料（高中数学）

(1)Daba2D；

(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

(3)若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则D174.方差与期望的关系DE2E.2q.2p

175.正态分布密度函数f

xx226,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数f

xx22,x,.177.对于N(,2)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1

Fx2Fx1

xx12.

178.回归直线方程

nxiyii1bn2yabx，其中xii1axynxyiii1nnxi22i1.

179.相关系数

35

袁轲教学资料（高中数学）

rx

yii

n

x

yiin.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.180.特殊数列的极限

0|q|1

（1）lim

nqn1q1.不存在|q|1或q1

0(

（2）limaak1akt)

knkk1n0

nbtntbat(kt).

t1nt1b0bk

不存在(kt)

（3）Slima11qn

1n1

n1qa

1q（S无穷等比数列a1q

181.函数的极限定理

xlimxf(x)axlim0xf(x)limf(x)a.0xx0

182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）g(x)f(x)h(x);

（2）limxxg(x)a,limxh(x)a（常数）,0x0

则limxxf(x)a.0

本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

183.几个常用极限

（1）lim1

nn0，limnan0（|a|1）；

（2）xlimxxx0，lim1

0xx1x.

0x0

184.两个重要的极限

（1）limsinx

x0x1；

36|q|1)的和）.(

袁轲教学资料（高中数学）

1（2）lim1e(e=2.718281845„).xxx

185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)a，limg(x)b，则xx0xx0

(1)limfxgxab；xx0

(2)limfxgxab;xx0

(3)limfx

gxxx0ab0.b

186.数列极限的四则运算法则

若limana,limbnb，则nn

(1)limanbnab；n

(2)limanbnab；n

(3)limanab0nbbn

nnn(4)limcanlimclimanca(c是常数).

187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

188.瞬时速度

s(t)limss(tt)s(t).limt0tt0t

189.瞬时加速度

av(t)limvv(tt)v(t).limt0tt0t

190.f(x)在(a,b)的导数

f(x)ydydfyf(xx)f(x).limlimx0x0dxdxxx

191.函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切37

袁轲教学资料（高中数学）

线方程是yy0f(x0)(xx0).

192.几种常见函数的导数

(1)C0（C为常数）.

(2)(xn)'nxn1(nQ).

(3)(sinx)cosx.

(4)(cosx)sinx.

(5)(lnx)11e；(logax)loga.xx

(6)(ex)ex;(ax)axlna.

193.导数的运算法则

（1）(uv)'u'v'.

（2）(uv)'u'vuv'.

u'u'vuv'

（3）()(v0).2vv

194.复合函数的求导法则

设函数u(x)在点x处有导数ux''(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数

'''yu'f'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作fx'((x))f'(u)'(x).

195.常用的近似计算公式（当x充小时）11x;nx1x；2n

1(2)(1x)1x(R)；1x；1x(1)x1

(3)ex1x；

(4)ln(1x)x；

(5)sinxx（x为弧度）；

(6)tanxx（x为弧度）；

(7)arctanxx（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

38

袁轲教学资料（高中数学）

当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值；

（2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.197.复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）198.复数zabi的模（或绝对值）|z|=|a

bi|.

199.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;(4)(abi)(cdi)acbdbcad2i(cdi0).222cdcd200.复数的乘法的运算律

对于任何z1,z2,z3C，有

交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3).

分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3.

201.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|（z1x1y1i，z2x2y2i）.202.向量的垂直

非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则

zOZ1OZ2z1z2的实部为零2为纯虚数|z1z2|2|z1|2|z2|2z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ为非零实数).203.实系数一元二次方程的解39

袁轲教学资料（高中数学）

实系数一元二次方程ax2bxc0，

b①若b4ac0,

则x1,2;2a2

②若b24ac0,则x1x2b;2a

③若b24ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C

内有且仅有两个共轭复数根2xb4ac0).

高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于