安徽省宿州市2023届高三下学期一模数学试题【含答案】

高三下学期一模数学试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设复数z满足，则z=（）A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么下列说法错误的是（）A．B．7阶幻方第4行第4列的数字为25C．8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260D．9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为3965．函数的图象大致是（）A． B．C． D．6．设，若，则（）A．8 B．9 C．10 D．117．已知是双曲线上不同的三点，且，直线AC，BC的斜率分别为，（），若的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．28．已知，，，则（）A． B． C． D．二、多选题9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角10．已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中一个对称中心，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数图象的一条对称轴方程是C．函数在区间上单调递增D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象11．已知，且，则下列不等关系成立的是（）A． B．C． D．12．棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（）A．平面B．平面C．平面截正方体外接球所得圆的面积为D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为三、填空题13．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为.14．若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.15．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和.16．已知函数（e为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数a的取值范围是.四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.18．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值.19．在数列中，，且.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求.20．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.（1）求n的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.22．已知函数（e为自然对数的底数），a，.（1）当时，讨论在上的单调性；（2）当时，若存在，使，求a的取值范围.

1．C2．A3．A4．D5．A6．D7．A8．B9．A,B10．A,B11．A,B,C12．A,B,D13．514．（答案不唯一）15．16．17．（1）解：由正弦定理可得，即，由余弦定理的变形得，又，所以.（2）解：由得，且，所以，所以，因为，从而，所以，从而.即的取值范围为.18．（1）证明：记为棱靠近点的三等分点，连接又为棱靠近点的三等分点.所以，且，又且，所以且，即四边形ADEF为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）解：在BC上取一点G，使得，所以，又，知四边形AGCD为矩形，从而，又底面ABCD，所以AG，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AG，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，从而，，，设平面的法向量为，则，即，取，可得，为平面PBC的一个法向量，则，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角的正弦值为.19．（1）证明：因为，所以，即，又，所以，又，所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，所以.（2）解：因为，所以，即所以.20．（1）解：由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，解得.即n的值为4.（2）解：X的可能取值为0，1，2，3.，，，.则随机变量X的分布列为X0123P则X的数学期望.21．（1）解：设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，的周长为，离心率联立，解得，，所以，即椭圆C的标准方程.（2）解：设点，又为切点，可知，所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，则以OM为直径的圆的方程为，又在圆上，两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：设，，由，消去y整理后得，，，所以，又点O到直线PQ的距离，设的面积为S，则，其中，令，则，设，，则，所以在区间上单调递增，从而得，于是可得，即的面积的取值范围为.22．（1）解：当时，，的定义域为，，当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；当时，方程有两不等正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，方程有一负根和一正根，结合定义域由可得，由可得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上可知：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）解：法一：分离变量可得：，令，，则，易得当时，，且，从而，所以在单调递减，于是.即a的取值范围为.法二：