版高中数学概率正态分布北师大版选修

版高中数学概率正态分布北师大版选修第1页/共32页学习目标1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.第2页/共32页题型探究知识梳理内容索引当堂训练第3页/共32页知识梳理第4页/共32页知识点正态分布1.正态分布正态分布的分布密度函数为：f(x)＝

，x∈(－∞，＋∞)，其中exp{g(x)}＝eg(x)，μ表示

，σ2(σ>0)表示

.通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.均值方差第5页/共32页2.正态分布密度函数满足以下性质(1)函数图像关于直线

对称.(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的

.(3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X<μ＋σ)＝

.②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝

.③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝

.通常服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有

.x＝μ“胖”“瘦”68.3%95.4%99.7%0.3%第6页/共32页题型探究第7页/共32页例1

如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差.类型一正态曲线的图像的应用解答第8页/共32页解从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是

，于是该正态分布的分布密度函数的解析式是第9页/共32页利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为

.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式.反思与感悟第10页/共32页

跟踪训练1

设两个正态分布N(μ1，

)(σ1>0)和N(μ2，

)(σ2>0)的分布密度函数图像如图所示，则有A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ2

解析解析分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线.当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.答案第11页/共32页例2

设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X<3)；类型二利用正态分布的对称性求概率解答解因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.P(－1<X<3)＝P(1－2<X<1＋2)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683.第12页/共32页解因为P(3<X<5)＝P(－3<X<－1)，所以P(3<X<5)＝

[P(－3<X<5)－P(－1<X<3)]＝

[P(1－4<X<1＋4)－P(1－2<X<1＋2)]＝

[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝

×(0.954－0.683)≈0.136.(2)P(3<X<5)；解答第13页/共32页(3)P(X>5).解P(X>5)＝P(X<－3)＝

[1－P(－3<X<5)]＝

[1－P(1－4<X<1＋4)]＝0.023.解答第14页/共32页引申探究本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值.解因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称.又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，因此

＝1，即c＝1.解答第15页/共32页利用正态分布求概率的两个方法(1)由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P(X<a)＝1－P(X>a).②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解.反思与感悟第16页/共32页

跟踪训练2

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2解析解析∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.答案第17页/共32页(2)设X～N(6,1)，求P(4<X<5).解由已知得μ＝6，σ＝1.∵P(5<X<7)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954.如图，由正态分布的对称性知，解答P(4<x<5)＝P(7<x<8)，第18页/共32页类型三正态分布的应用例3

设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.解答第19页/共32页解由题可知μ＝110，σ＝20，P(X>90)＝P(X－110>－20)＝P(X－μ>－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ<σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.683＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.159，∴P(X>90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.159＝0.841.∴54×0.841≈45(人)，即及格人数约为45.∵P(X>130)＝P(X－110>20)＝P(X－μ>σ)，∴P(X－μ<－σ)＋P(－σ<X－μ<σ)＋P(X－μ>σ)＝0.683＋2P(X－μ>σ)＝1，∴P(X－μ>σ)≈0.159，即P(X>130)≈0.159.∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8.第20页/共32页解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.反思与感悟第21页/共32页跟踪训练3

有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；解∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，∴尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.解答第22页/共32页(2)若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？解∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是

＝2.15%.因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×2.15%≈107(个).解答第23页/共32页当堂训练第24页/共32页234511.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是A.甲科总体的方差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的方差及平均数都居中D.甲、乙、丙总体的平均数不相同√答案解析解析由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ2是方差，故选A.第25页/共32页2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为

，则μ等于A.1 B.2 C.4 D.不能确定23451√答案解析由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，第26页/共32页3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有A.997人 B.972人

C.954人 D.683人23451答案√解析解析依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(60<X<120)＝P(90－2×15<X<90＋2×15)＝0.954,1000×0.954＝954，故大约有学生954人.第27页/共32页23