点集拓扑学课程

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本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概念和基本方法。

通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养。课程要求第2页/共22页

掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。

拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重要的拓扑性质的可积性和遗传性。教学目标教学要点第3页/共22页第三部分：几类重要的拓扑性质(28学时)

连通性,局部连通性,道路连通性,可数性公理,分离性公理,紧性,度量空间的紧性与可数性等内容.教学安排第一部分：预备知识(4学时）

拓扑学的起源,集合的运算等预备知识.第二部分：拓扑空间与连续映射(16学时)

拓扑空间,度量空间,连续映射,基,邻域,闭包、内部与边界,拓扑空间中的序列,子空间拓扑,有限积拓扑,商映射等.第4页/共22页教材熊金城《点集拓扑学讲义》

高等教育出版社

参考资料1、陈奕培.

《一般拓扑学》,厦门大学出版社2、梁基华等《拓扑学基础》,高等教育出版社3、王敬庚.

《直观拓扑》,北京师范大学出版社4、[美]斯蒂芬•巴尔.

《拓扑实验》

上海教育出版社

第5页/共22页1.端正学习态度,保证出勤,不得无故旷课.2.认真并按时完成作业.3.阅读理解五篇左右本课程相关的论文.(其中包括外文论文一篇).4.平时表现以20%记录学期总成绩。5.考试:开卷考试，占学期总成绩80%。考核要求第6页/共22页哥尼斯堡七桥问题四色问题Möbius带Euler示性数1736年欧拉解决七桥问题1976年9月四色问题得到解决第7页/共22页

哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步哥尼斯堡七桥问题

一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单,有很有趣的问题吸引了大家.

很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确理想的答案还不那么容易哥尼斯堡七桥问题

哥尼斯堡七桥问题

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1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。

而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。

经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，第9页/共22页Euler示性数

对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。

欧拉定理告诉我们，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2。第10页/共22页四色问题

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一,四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”

“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

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数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。第12页/共22页Möbius带

数学上流传着这样一个故事：先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。

这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？

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“麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。

第14页/共22页拓扑的来源

“拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。拓扑学的形成和发展

拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。第15页/共22页例子：

设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。

我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。第16页/共22页

在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。

因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表示它们之间的空间关系。（如下图）拓扑还是描述目标间关系需要Longitude/Latitude投影Gauss-Krivger投影第17页/共22页

从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空间实体的空间结构关系。研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。第18页/共22页黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。拓扑学的发展的促进二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

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拓扑学发展到今天，在理论上已经分