奥数-整式的乘除-法上海师

第3讲整式的乘、除法模块一：幂的运算形如(，为正整数)的整式就叫做幂，表示个相乘，其中叫做幂的底数，叫做幂的指数.，，，，，其中，，，为正整数.经典例题速算比赛：A组：⑴；⑵；⑶；⑷，其中，.B组：⑴； ⑵；⑶； ⑷C组：⑴； ⑵.⑶； ⑷⑴计算：．⑵计算：_____________．已知有理数，，满足，求的值．⑴计算的结果为：DigitsoftheproductofisA． B． C． D．⑴已知，，求的值．⑵若，求.比较、、、四个数的大小.你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小(是自然数)，然后，我们分析，，，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“”、“”、“”号)①；②；③；④；⑤…⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是．⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小．模块二：整式的乘法单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母的幂分别是和，乘积中的幂是，同理，乘积中的幂是，另外，单项式中不含的幂，而中含，故乘积中含.2、单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：，其中为单项式，为多项式.3、多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：经典例题计算：⑴； ⑵； ⑶⑷； ⑸⑴计算：； ⑵计算：．若不论取何值，多项式与都相等，求，．已知，求的值．使的积中不含和，求，的值.模块三：整式的除法1、单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：，被除式为，除式为，系数分别为3和1，故商中的系数为3，的幂分别为和，故商中的幂为，同理，的幂为，另外，被除式中含，而除式中不含关于的幂，故商中的幂为.2、多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：，其中为单项式，为多项式.**3、多项式除以多项式：竖式除法（大除法），综合除法（使用于除以一次因式x-a较多）.经典例题计算：⑴； ⑵计算计算．计算：⑴; ⑵.精品练习【练习1】【练习2】【练习3】【练习4】若A和B都是整式，且A÷x=B，其中A是关于x的四次三项式，则B是关于x的几次几项式？【练习5】如果被除后余6，求的值及商式【练习6】若为不等式的解，求的最小正整数值【练习7】若有一个因式是，则答案：【练习8】如果是整数，且是的因式，那么的值为（）A.-2B.-1C.0D.2答案：A例题答案例题答案【例1】A组：⑴；⑵；⑶；⑷；B组：⑴解法一：；解法二：；⑵；⑶；⑷；C组：⑴原式；⑵原式；原式；⑷原式.【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重点考察学生幂的运算的基本功！原式⑵原式……【例3】由题意得，解方程组得，代入所求代数式得【例4】⑴⑵从乘方的概念入手讲解，可得答案为.，故有数位34位．【例6】⑴．⑵，，，【例7】根据幂的性质可知，、、、根据幂的定义可知，表示个相乘，故只要比较出、、、的大小即可.，，，故，.【例8】从简单情况找规律.⑴①；②；③；④；⑤…(，2)，()；⑶【例9】⑴原式；⑵原式；原式；⑷原式；原式【例10】⑴原式．原式【例11】因为不论取何值，两多项式都相等，所以，，即，【例12】，，，比较等式两边得，，所以．定理：如果，那么，，，，【例13】将原式展开得，因为积中不含和，所以，解得⑴原式；⑵原式【例15】原式．在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：原式【例16】⑴用竖式除法所以，商式为，余式为0．⑵所以，商式为，余式为．说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式除式商式余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用“除式|被除式”表示．如⑴，我们可记为；当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数．显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数．原式例题答案例题答案挑战1解1：而，所以原式．解2：因为，所以，所以