高三数学复习教案

高三数学复习教案

高三数学复习教案1

__题目：高三数学复习教案：古典概型复习教案

【高考要求】古典概型(B);互斥事件及其发生的概率(A)

【学习目标】：1、了解概率的频率定义，知道随机事件的

发生是随机性与规律性的统一;

2、理解古典概型的特点，会解较简单的古典概型问题;

3、了解互斥事件与对立事件的概率公式，并能运用于简单

的概率计算.

【知识复习与自学质疑】

1、古典概型是一种理想化的概率模型，假设试验的结果数

具有性和性.解古典概型问题关键是判断和计数，要掌握简单

的记数方法(主要是列举法).借助于互斥、对立关系将事件分解

或转化是很重要的方法.

2、(A)在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品。

从中任意抽出3件，则下列4个事件：①3件都是正品;②至少

有一件是正品;③3件都是次品;④至少有一件是次品.是必然事

件的是.

3、(A)从5个红球，1个黄球中随机取出2个，所取出的两

个球颜色不同的概率是。

4、(A)同时抛两个各面上分别标有1、2、3、4、5、6均匀

的正方体玩具一次，向上的两个数字之和为3的概率是.

5、(A)某人射击5枪，命中3枪，三枪中恰好有2枪连中的

概率是.

6、(B)若实数,则曲线表示焦点在y轴上的双曲线的概率

是.

【例题精讲】

1、(A)甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，

其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.(1)

甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少?

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

2、(B)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：

血型ABABO

该血型的人所占的比(%)2829835

已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的

人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不

能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少?

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少?

3、(B)将两粒骰子投掷两次，求：(1)向上的点数之和是8

的概率;(2)向上的点数之和不小于8的概率;(3)向上的点数之

和不超过10的概率.

4、(B)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成(n个同样大

小的正方体，从这些小正方体中任取一个，求下列事件的概率：

(1)三面涂有颜色;(2)恰有两面涂有颜色;

(3)恰有一面涂有颜色;(4)至少有一面涂有颜色.

【矫正反馈】

1、(A)一个三位数的密码锁，每位上的数字都可在0到10

这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，开锁时在对

好前两位号码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率是.

2、(A)第1、2、5、7路公共汽车都要停靠的一个车站，有

一位乘客等候着1路或5路汽车，假定各路汽车首先到站的可能

性相等，那么首先到站的正好是这位乘客所要乘的的车的概率

是.

3、(A)某射击运动员在打靶中，连续射击3次，事件至少有

两次中靶的对立事件是.

4、(B)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，

在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%，

求抽验一只是正品(甲级)的概率.

5、(B)袋中装有4只白球和2只黑球，从中先后摸出2只求

(不放回).求：(1)第一次摸出黑球的概率;(2)第二次摸出黑球的

概率;(3)第一次及第二次都摸出黑球的概率.

【迁移应用】

1、(A)将一粒骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次

成等差数列的概率是.

2、(A)从鱼塘中打一鱼，共M条，做上标记后放回池塘中，

过了几天，又打上来一鱼，共N条，其中K条有标记，估计池塘

中鱼的条数为.

3、(A)从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中，任取2张，这

两张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是.

4、(B)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一

时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为

23的概率是.

5、(B)将甲、乙两粒骰子先后各抛一次，a,b分别表示抛掷

甲、乙两粒骰子所出现的点数.

(1)若点P(a,b)落在不等式组表示的平面区域记为A，求事

件A的概率;

(2)求P(a,b)落在直线x+y=m(m为常数)上，且使此事件的

概率最大，求m的值.

高三数学复习教案2

教学目标

知识目标等差数列定义等差数列通项公式

能力目标掌握等差数列定义等差数列通项公式

情感目标培养学生的观察、推理、归纳能力

教学重难点

教学重点等差数列的概念的理解与掌握

等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列“等差”的

理解、把握和应用

教学过程

由__《红高粱》主题曲“酒神曲”引入等差数列定义

问题：多媒体演示，观察————发现？

一、等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫

做等差数列的公差，通常用字母d表示。

例1：观察下面数列是否是等差数列：…。

二、等差数列通项公式：

已知等差数列{an｝的首项是a1，公差是d。

则由定义可得：

a2—a1=d

a3—a2=d

a4—a3=d

……

an—an—1=d

即可得：

an=a1+（n—1）d

例2已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项

公式。

分析：知道a1，d，求an。代入通项公式

解：∵a1=3，d=2

∴an=a1+（n—1）d

=3+（n—1）×2

=2n+1

例3求等差数列10，8，6，4…的第20项。

分析：根据a1=10，d=—2，先求出通项公式an，再求出a20

解：∵a1=10，d=8—10=—2，n=20

由an=a1+（n—1）d得

∴a20=a1+（n—1）d

=10+（20—1）×（—2）

=—28

例4：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项an。

分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36，n=18分别代入通项

公式an=a1+（n—1）d中，可得两个方程，都含a1与d两个未

知数组成方程组，可解出a1与d。

解：由题意可得

a1+5d=12

a1+17d=36

∴d=2a1=2

∴an=2+（n—1）×2=2n

练习

1、判断下列数列是否为等差数列：

①23，25，26，27，28，29，30；

②0，0，0，0，0，0，…

③52，50，48，46，44，42，40，35；

④—1，—8，—15，—22，—29；

答案：①不是②是①不是②是

2、等差数列{an}的前三项依次为a—6，—3a—5，—10a—

1，则a等于（）

A、1B、—1C、—1/3D、5/11

提示：（—3a—5）—（a—6）=（—10a—1）—（—3a—5）

3、在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=。

提示：d=an+1—an=—4

教师继续提出问题

已知数列{an}前n项和为……

作业

P116习题3。21，2

高三数学复习教案3

1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两

点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。

(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;

(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是

否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证

明;否则说明理由。

(文)若为x轴上一点,求证:

2.如图所示，已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P

在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程;

(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点

G在点F、H之间)，且满足的取值范围。

3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于

AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且

⑴求椭圆C的离心率;

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

l：相切，求椭圆C的方程.

4.设椭圆的离心率为e=

(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，

且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.

(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2，)处的切线

交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1OQ2.

5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，

0)的距离之和为4.

(1)求曲线的方程;

(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标

原点)，求直线的方程.

6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶

点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n).

(Ⅰ)当m+n0时，求椭圆离心率的范围;

(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.

7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结

论：椭圆处的切线方程为，过椭圆C：的右准线l上任意一

点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.

(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，

求△ABM的面积

8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，

1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.

(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;

(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点

的距离为。

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同

的两点满足，若存在，求直线的倾斜角;若不存在，说明理

由。

10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。

(1)求椭圆的方程;

(2)直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。

11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为

B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为.

(1)若椭圆的离心率，求的方程;

(2)若的圆心在直线上，求椭圆的方程.

12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点.

(Ⅰ)若，求证：曲线是一个圆;

(Ⅱ)若，当且时，求曲线的离心率的取值范围.

13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，

且，坐标原点O到直线的距离为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较

y轴于点M，若，求直线l的方程.

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过

其上一点的切线方程为为常数).

(I)求抛物线方程;

(II)斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的

直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同)，且满足，求

证线段PM的中点在y轴上;

(III)在(II)的条件下，当时，若P的坐标为(1，-1)，求

PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点

P在线段AB上，且

设点P的轨迹方程为c。

(1)求点P的轨迹方程C;

(2)若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N

不在坐标轴上)，点Q

坐标为求△QMN的面积S的最大值。

16.设上的两点，

已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)，(c为半焦距)，求直

线AB的斜率k的值;

(Ⅲ)试问：△AOB的面积是否为定值?如果是，请给予证明;

如果不是，请说明理由

17.如图，F是椭圆(a0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶

点，椭圆的离心率为.点C在x轴上，BCBF，B，C，F三点确定

的圆M恰好与直线l1：相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程：

(Ⅱ)过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2

的方程.

18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦

点，且.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存

在直线，使点恰为的垂心?若存在，求出直线的方程;若不存

在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，

且经过点.直线交椭圆于两不同的点.

20.设，点在轴上，点在轴上，且

(1)当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程;

(2)设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线

与轴交于点时，求点坐标.

21.已知点是平面上一动点，且满足

(1)求点的轨迹对应的方程;

(2)已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，

判断：直线是否过定点?试证明你的结论.

22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经

过、、三点.

(1)求椭圆的方程：

(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆

的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;

(3)若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交

点在直线上.

23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为

的直线与抛物线相交于A，B两点。

(1)用表示A，B之间的距离;

(2)证明：的大小是与无关的定值，

并求出这个值。

24.设分别是椭圆C：的左右焦点

(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C

的方程和焦点坐标

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨

迹方程

(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆

相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为试探

究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭

圆的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆的方程;

(II)设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于

椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，

求点的轨迹的方程;

(III)设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的

取值范围.

26.如图所示，已知椭圆：，、为

其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与

椭圆相交于、

两点，且有：(为椭圆的半焦距)

(1)求椭圆的离心率的最小值;

(2)若，求实数的取值范围;

(3)若,，

求证：、两点的纵坐标之积为定值;

27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，

过三点作圆，其中圆心的坐标为

(1)当时，椭圆的离心率的取值范围

(2)直线能否和圆相切?证明你的结论

28.已知点A(-1，0)，B(1，-1)和抛物线.，O为坐标原点，

过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另

一点Q，如图.

(I)证明:为定值;

(II)若△POM的面积为，求向量与的夹角;

(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.

29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值

为1.

(1)请确定M点的坐标

(2)试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点

A、B满足条件(O为原点),若存在,求出的方程,若不存在请说

是理由。

30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.

(Ⅰ)若线段中点的横坐标是，求直线的方程;

(Ⅱ)在轴上是否存在点，使的值与无关?若存在，求出

的值;若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线的焦点F，并与其相交于A、B两点。

Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点.O是坐标

原点.

(I)求的取值范围;

(Ⅱ)过A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N

点.求证：∥;

(Ⅲ)若P是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范

围为时，求该抛物线的方程.

32.如图，设抛物线()的准线与轴交于，焦点为;以、

为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.

(Ⅰ)当时，求椭圆的方程及其右准线的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物

线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置

关系，并说明理由;

(Ⅲ)是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，

求出这样的实数;若不存在，请说明理由.

33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。

(1)求动点P的轨迹C的方程。

(2)设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。

若求的值。

34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点

的距离为，点是线段上的一个动点.

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、

两点,使得,并说明理由.

35.已知椭圆C：(.

(1)若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程;

(2)在(1)的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的

两点，且为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率k的取值

范围;

(3)如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()

相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足

的条件.

36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为

法向量的直线相交于动点.

(1)求直线和的方程;

(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点

使得恒为定值;

(3)在(2)的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取

最小值时，向量与是否平行，并说明理由。

37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线.

(Ⅰ)若面积等于6，求过点的抛物线的方程;

(Ⅱ)若点在轴右边，求面积的最小值.

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线

的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法

吗?请同学们进行研究并完成下面问题。

(1)设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距

离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭圆M的位

置关系。

(2)设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线

(m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M

相切，试求d1d2的值。

(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，

并证明。

(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己

研究的有关结论(不必证明)。

39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线

交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交

点.

(Ⅰ)求直线的方程;(Ⅱ)求的面积范围;

(Ⅲ)设，，求证为定值.

40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭

圆的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆的方程;

(II)设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于

椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，

求点的轨迹的方程;

(III)设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的

取值范围.

41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶

点关于直线的对称点在该抛物线的准线上.

(1)求抛物线的方程;

(2)设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直

线，直线与直线交于点，若(为坐标原点，、异于点)，

试求点的轨迹方程。

42.如图，设抛物线()的准线与轴交于，焦点为;以、

为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.

(Ⅰ)当时，求椭圆的方程及其右准线的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，直线经过椭圆的右焦点，

与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，

试判断点与圆的位置关系，并说明理由;

(Ⅲ)是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，

求出这样的实数;若不存在，请说明理由.

43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆

的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交

于两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程;若

不存在，说明理由.

(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定

值.

44.设是抛物线的焦点，过点M(-1，0)且以为方向向量

的直线顺次交抛物线于两点。

(Ⅰ)当时，若与的夹角为，求抛物线的方程;

(Ⅱ)若点满足，证明为定值，并求此时△的面积

45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直

线上，且满足.

(Ⅰ)当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程;

(Ⅱ)设、为轨迹上两点，且0,，求实数，

使，且.

46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，

MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线

恰好与圆相切。

(1)已知椭圆的离心率;

(2)若的最大值为49，求椭圆C的方程.

高三数学复习教案4

●知识梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面：

1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方

面知识的综合.

2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、

解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内

容.

3.函数与实际应用问题的综合.

●点击双基

1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数)，若x[1，+)时，f(x)0

恒成立，则

A.b1B.b1C.b1D.b=1

解析：当x[1，+)时，f(x)0，从而2x-b1，即b2x-1.而x[1，

+)时，2x-1单调增加，

b2-1=1.

答案：A

2.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0，3)

和B(3，-1)，则不等式|f(x+1)-1|2的解集是

___________________.

解析：由|f(x+1)-1|2得-2

又f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象过点A(0，3)，B(3，

-1)，

f(3)

答案：(-1，2)

●典例剖析

【例1】取第一象限内的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，使

1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，

则点P1、P2与射线l:y=x(x0)的关系为

A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上

C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的

下方

剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1=，y2=，∵y1

P1、P2都在l的下方.

答案：D

【例2】已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0，g(x)是R

上的奇函数，且对于xR，都有g(x)=f(x-1)，求f(20__)的值.

解：由g(x)=f(x-1)，xR，得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，

g(-x)=-g(x)，

故有

f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=

g(x-3)=f(x-4)，也即f(x+4)=f(x)，xR.

f(x)为周期函数，其周期T=4.

f(20__)=f(4500+2)=f(2)=0.

评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

【例3】函数f(x)=(m0)，x1、x2R，当x1+x2=1时，

f(x1)+f(x2)=.

(1)求m的值;

(2)数列{an}，已知an=f(0)+f()+f()++f()+f(1)，求an.

解：(1)由f(x1)+f(x2)=，得+=，

4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].

∵x1+x2=1，(2-m)(4+4)=(m-2)2.

4+4=2-m或2-m=0.

∵4+42=2=4，

而m0时2-m2，4+42-m.

m=2.

(2)∵an=f(0)+f()+f()++f()+f(1)，an=f(1)+f()+

f()++f()+f(0).

2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]++[f(1)+f(0)]=+++=.

an=.

深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思

想方法.

【例4】函数f(x)的定义域为R，且对任意x、yR，有

f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)=-2.

(1)证明f(x)是奇函数;

(2)证明f(x)在R上是减函数;

(3)求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，

f(x)+f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0.从而有

f(x)+f(-x)=0.

f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.

(2)证明：任取x1、x2R，且x10.f(x2-x1)0.

-f(x2-x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数.

(3)解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[-3，3]上的

最大值是f(-3)，最小值是f(3).由f(1)=-2，得

f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=

3(-2)=-6，f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.

深化拓展

对于任意实数x、y，定义运算x__y=ax+by+cxy，其中a、b、

c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知

1__2=3，2__3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，

都有x__m=x，试求m的值.

提示：由1__2=3，2__3=4，得

b=2+2c，a=-1-6c.

又由x__m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，

b=0=2+2c.

c=-1.(-1-6c)+cm=1.

-1+6-m=1.m=4.

答案：4.

●闯关训练

夯实基础

1.已知y=f(x)在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，

7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上

A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增

减性，f-1(x)的值域是[1，3].

答案：C

2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则

实数a的值是___________________.

解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象，如下图.

由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点，即方

程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数

根，因此a=1.

答案：1

3.若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px-)(xR)，

则f(x)的一个正周期为__________.

解析：由f(px)=f(px-)，

令px=u，f(u)=f(u-)=f[(u+)-]，T=或的整数倍.

答案：(或的整数倍)

4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解，求a的取

值范围.

解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.

∵-11，0(sinx-1)24.

a的范围是[-1，3].

5.记函数f(x)=的定义域为A，

g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a1)的定义域为B.

(1)求A;

(2)若BA，求实数a的取值范围.

解：(1)由2-0，得0，

x-1或x1，即A=(-，-1)[1，+).

(2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0.

∵a1，a+12a.B=(2a，a+1).

∵BA，2a1或a+1-1，即a或a-2.

而a1，1或a-2.

故当BA时，实数a的取值范围是(-，-2][，1).

培养能力

6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b0，cR).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上

述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不

存在，请说明理由.

解：设符合条件的f(x)存在，

∵函数图象的对称轴是x=-，

又b0，-0.

①当-0，即01时，

函数x=-有最小值-1，则

或(舍去).

②当-1-，即12时，则

(舍去)或(舍去).

③当--1，即b2时，函数在[-1，0]上单调递增，则解得

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.

(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b0，cR).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上

述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不

存在，请说明理由.

解：∵函数图象的对称轴是

x=-，又b0，--.

设符合条件的f(x)存在，

①当--1时，即b1时，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，

则

②当-1-，即01时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.

7.已知函数f(x)=x+的定义域为(0，+)，且f(2)=2+.设点

P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂

线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：|PM||PN|是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，

请说明理由.

(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(1)∵f(2)=2+=2+，a=.

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则有y0=x0+，x00，由点到

直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，有|PM||PN|=1，即

|PM||PN|为定值，这个值为1.

(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y0).

∵PM与直线y=x垂直，kPM1=-1，即=-1.解得t=(x0+y0).

又y0=x0+，t=x0+.

S△OPM=+，S△OPN=x02+.

S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=(x02+)+1+.

当且仅当x0=1时，等号成立.

此时四边形OMPN的面积有最小值1+.

探究创新

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成

一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知

识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正

方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，

如图(b).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计

切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面

边长为4-2x，高为x，

V1=(4-2x)2x=4(x3-4x2+4x)(0

V1=4(3x2-8x+4).

令V1=0，得x1=，x2=2(舍去).

而V1=12(x-)(x-2)，

又当x时，V10;当

当x=时，V1取最大值.

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方

形;如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;

如图③，将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方

体容积V2=321=6，显然V2V1.

故第二种方案符合要求.

●思悟小结

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问

题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适

当加强.

2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，

掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.

●教师下载中心

教学点睛

数形结合和数形转化是解决__问题的重要思想方法，应要求

学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不

等式等问题.

拓展题例

【例1】设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、

b[-1，1]，当a+b0时，都有0.

(1)若ab，比较f(a)与f(b)的大小;

(2)解不等式f(x-)

(3)记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-c2)}，且PQ=，求c

的取值范围.

解：设-1x1

0.

∵x1-x20，f(x1)+f(-x2)0.

f(x1)-f(-x2).

又f(x)是奇函数，f(-x2)=-f(x2).

f(x1)

f(x)是增函数.

(1)∵ab，f(a)f(b).

(2)由f(x-)

-.

不等式的解集为{x|-}.

(3)由-11，得-1+c1+c，

P={x|-1+c1+c}.

由-11，得-1+c21+c2，

Q={x|-1+c21+c2}.

∵PQ=，

1+c-1+c2或-1+c1+c2，

解得c2或c-1.

【例2】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关

于点A(0，1)对称.

(1)求f(x)的解析式;

(2)(文)若g(x)=f(x)x+ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函

数，求实数a的取值范围.

(理)若g(x)=f(x)+，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求

实数a的取值范围.

解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于

点A(0，1)的对称点(-x，2-y)在h(x)的图象上.

2-y=-x++2.

y=x+，即f(x)=x+.

(2)(文)g(x)=(x+)x+ax，

即g(x)=x2+ax+1.

g(x)在(0，2]上递减-2，

a-4.

(理)g(x)=x+.

∵g(x)=1-，g(x)在(0，2]上递减，

1-0在x(0，2]时恒成立，

即ax2-1在x(0，2]时恒成立.

∵x(0，2]时，(x2-1)max=3，

a3.

【例3】在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店

销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(130，nN__)的函数

关系如下图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3

的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量

最大.

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数;

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流

行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行

会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说

明理由.

解：(1)由图形知，当1m且nN__时，f(n)=5n-3.

由f(m)=57，得m=12.

f(n)=

前12天的销售总量为

5(1+2+3++12)-312=354件.

(2)第13天的销售量为f(13)=-313+93=54件，而354+54400，

从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.

设第n天的日销售量开始低于30件(1221.

从第22天开始日销售量低于30件，

即流行时间为14号至21号.

该服装流行时间不超过10天.

高三数学复习教案5

一、教学内容分析

本小节是普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)第三章

第3小节,主要内容是利用平面区域体现二元一次不等式(组)的

解集;借助图解法解决在线性约束条件下的二元线性目标函数的

最值与解问题;运用线性规划知识解决一些简单的实际问题(如

资源利用,人力调配,生产安排等)。突出体现了优化思想，与数

形结合的思想。本小节是利用数学知识解决实际问题的典例,它

体现了数学源于生活而用于生活的特性。

二、学生学习情况分析

本小节内容建立在学生学习了一元不等式(组)及其应用、直

线与方程的基础之上，学生对于将实际问题转化为数学问题,数

形结合思想有所了解.但从数学知识上看学生对于涉及多个已知

数据、多个字母变量，多个不等关系的知识接触尚少，从数学方

法上看，学生对于图解法还缺少认识，对数形结合的思想方法的

掌握还需时日，而这些都将成为学生学习中的难点。

三、设计思想

以问题为载体，以学生为主体，以探究归纳为主要手段，以

问题解决为目的，以多媒体为重要工具，激发学生的动手、观察、

思考、猜想探究的兴趣。注重引导学生充分体验“从实际问题到

数学问题”的数学建模过程，体会“从具体到一般”的抽象思维

过程，从“特殊到一般”的探究新知的过程;提高学生应用“数

形结合”的思想方法解题的能力;培养学生的分析问题、解决问

题的能力。

四、教学目标

1、知识与技能:了解二元一次不等式(组)的概念,掌握用平

面区域刻画二元一次

不等式(组)的方法;了解线性规划的意义，了解线性约束条

件、线性目标函数、

可行解、可行域和解等概念;理解线性规划问题的图解法;

会利用图解法

求线性目标函数的最值与相应解;

2、过程与方法:从实际问题中抽象出简单的线性规划问题,

提高学生的数学建模能力;

在探究的过程中让学生体验到数学活动中充满着探索与创

造，培养学生的数据分析能力、

化归能力、探索能力、合情推理能力;

3、情态与价值:在应用图解法解题的过程中,培养学生的化

归能力与运用数形结合思想的能力;体会线性规划的基本思想，

培养学生的数学应用意识;体验数学________于生活而服务于生

活的特性.

五、教学重点和难点

重点:从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),用平面区

域刻画二元一次不等式组

的解集及用图解法解简单的二元线性规划问题;

难点:二元一次不等式所表示的平面区域的探究,从实际情

境中抽象出数学问题的过

程探究,简单的二元线性规划问题的图解法的探究.

六、教学基本流程

第一课时,利用生动的情景激起学生求知的欲望,从中抽象

出数学问题,引出二元一次不等式(组)的基本概念,并为线性规

划问题的引出埋下伏笔.通过学生的自主探究,分类讨论,大胆猜

想,细心求证,得出二元一次不等式所表示的平面区域,从而突破

本小节的第一个难点;通过例1、例2的讨论与求解引导学生归

纳出画二元一次不等式(组)所表示的平面区域的具体解答步骤

(直线定界,特殊点定域);最后通过练习加以巩固。

第二课时,重现引例,在学生的回顾、探讨中解决引例中的可

用方案问题,并由此归纳总结出从实际问题中抽象出数学问题的

基本过程:理清数据关系(列表)→设立决策变量→建立数学关系

式→画出平面区域.让学生对例3、例4进行分析与讨论进一步

完善这一过程,突破本小节的第二个难点。

第三课时,设计情景,借助前两个课时所学,设立决策变量,

画出平面区域并引出新的问题,从中引出线性规划的相关概念,

并让学生思考探究,利用特殊值进行猜测,找到方案;再引导学生

对目标函数进行变形转化,利用直线的图象对上述问题进行几何

探究,把最值问题转化为截距问题,通过几何方法对引例做出完

美的解答;回顾整个探究过程,让学生在讨论中达成共识,总结出

简单线性规划问题的图解法的基本步骤.通过例5的展示让学生

从动态的角度感受图解法.最后再现情景1,并对之作出完美的解

答。

第四课时,给出新的引例,让学生体会到线性规划问题的普

遍性.让学生讨论分析,对引例给出解答,并综合前三个课时的教

学内容,连缀成线,总结出简单线性规划的应用性问题的一般解

答步骤,通过例6,例7的分析与展示进一步完善这一过程.总结

线性规划的应用性问题的几种类型,让学生更深入的体会到优化

理论,更好的认识到数学________于生活而运用于生活的特点。

七、教学过程设计

高三数学复习教案6

一.课标要求：

(1)空间向量及其运算

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意

义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;

③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数

量积判断向量的共线与垂直。

(2)空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量;

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括

三垂线定理);

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，

体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二.命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应

用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以

客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向

量求夹角和距离。

预测20__年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，

尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距

离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，

用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的

训练力度。

三.要点精讲

1.空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位

移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表

示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任

何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示;

②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是

空间的平移。

2.向量运算和运算率

加法交换率：

加法结合率：

数乘分配率：

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首

尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍

成立。

3.平行向量(共线向量)：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。

注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能

是同一直线，也可能是平行直线;当我们说、平行时，也具有

同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量()、，∥的充要

条件是存在实数使=

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥(0)，

则有=，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实

数，使=(0)，则有∥(若用此结论判断、所在直线平行，

还需(或)上有一点不在(或)上)。

⑵对于确定的和，=表示空间与平行或共线，长度为|

|，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。

⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下

面根据上述定理来推导的表达式。

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直

线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，

满足等式

①其中向量叫做直线l的方向向量。

在l上取，则①式可化为②

当时，点P是线段AB的中点，则③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中

点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也

是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途：解决三点共

线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4.向量与平面平行：

如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平

面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与

直线a∥的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、

共面的充要条件是存在实数对x、y，使①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实

数对x、y，使

④或对空间任一定点O，有⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对(x,y)是唯一的。①式叫

做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得

⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一

(它们只是形式不同的同一等式)，点P就在平面MAB内;对于平

面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、

⑤、⑥都是由不共线的两个向量、(或不共线三点M、A、B)确

定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充

要条件。

5.空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么

对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那

么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向

量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，

都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量

的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底

中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念;⑷由于可视为与

任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量

不共面就隐含着它们都不是。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，

都存在唯一的有序实数组，使

6.数量积

(1)夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，

则角AOB叫做向量与的夹角，记作

说明：⑴规定0,因而=;

⑵如果=，则称与互相垂直，记作

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注

意图(3)、(4)中的两个向量的夹角不同，

图(3)中AOB=，

图(4)中AOB=,

从而有==.

(2)向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度

或模。

(3)向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。

即=，

向量:

(4)性质与运算率

⑴。⑴

⑵=0⑵=

⑶⑶

四.典例解析

题型1：空间向量的.概念及性质

例1.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向

量的一组基底，那么的关系是不共线;②为空间四点，且向量

不构成空间的一个基底，那么点一定共面;③已知向量是空间

的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题

是()

①②①③②③①②③

解析：对于①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一

组基底，那么的关系一定共线所以①错误。②③正确。

例2.下列命题正确的是()

若与共线，与共线，则与共线;

向量共面就是它们所在的直线共面;

零向量没有确定的方向;

若，则存在唯一的实数使得;

解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面

与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。

题型2：空间向量的基本运算

例3.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，

则下列向量中与相等的向量是()

例4.已知：且不共面.若∥,求的值.

题型3：空间向量的坐标

例5.(1)已知两个非零向量=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，

b3)，它们平行的充要条件是()

A.：||=：||B.a1b1=a2b2=a3b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k

(2)已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若||=6，，则

x+y的值是()

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

(3)下列各组向量共面的是()

A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)

C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)

D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)

解析：(1)D;点拨：由共线向量定线易知;

(2)A点拨：由题知或;

例6.已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，

4)。设=，=，(1)求和的夹角;(2)若向量k+与k-2互

相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应

用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，=，=，

=(1，1，0)，=(-1，0，2).

(1)cos==-，

和的夹角为-。

(2)∵k+=k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，

k-2=(k+2，k，-4)，且(k+)(k-2)，

(k-1，k，2)(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。

则k=-或k=2。

点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做。(+)(k-2)=k2

2-k-22=2k2+k-10=0，解得k=-，或k=2。

题型4：数量积

例7.设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①()-