第四节几种典型函数的积分

第四节几种典型函数的积分第1页，共25页，2023年，2月20日，星期二一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束第2页，共25页，2023年，2月20日，星期二例1.

将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束第3页，共25页，2023年，2月20日，星期二(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束第4页，共25页，2023年，2月20日，星期二(3)混合法机动目录上页下页返回结束原式=第5页，共25页，2023年，2月20日，星期二四种典型部分分式的积分:

机动目录上页下页返回结束变分子为再分项积分第6页，共25页，2023年，2月20日，星期二例2.

求解:

已知例1(3)目录上页下页返回结束第7页，共25页，2023年，2月20日，星期二例3.

求解:

原式机动目录上页下页返回结束第8页，共25页，2023年，2月20日，星期二例4.求解:机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第9页，共25页，2023年，2月20日，星期二二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t

的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束1.三角函数有理式的积分则第10页，共25页，2023年，2月20日，星期二例5.求解:

令则机动目录上页下页返回结束第11页，共25页，2023年，2月20日，星期二机动目录上页下页返回结束第12页，共25页，2023年，2月20日，星期二例6.求解:

说明:

通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动目录上页下页返回结束第13页，共25页，2023年，2月20日，星期二例7.求解令原式机动目录上页下页返回结束第14页，共25页，2023年，2月20日，星期二例8.求解:

因被积函数关于cosx

为奇函数,可令原式机动目录上页下页返回结束第15页，共25页，2023年，2月20日，星期二2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.例如:机动目录上页下页返回结束令第16页，共25页，2023年，2月20日，星期二例9.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束第17页，共25页，2023年，2月20日，星期二例10.

求解:

为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令机动目录上页下页返回结束第18页，共25页，2023年，2月20日，星期二例11.

求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束第19页，共25页，2023年，2月20日，星期二内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.

特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,第20页，共25页，2023年，2月20日，星期二思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动目录上页下页返回结束第21页，共25页，2023年，2月20日，星期二作业P212(A)3,6,11.(B)1,3,7,12,14,15,18.第五节目录上页下页返回结束第22页，共25页，2023年，2月20日，星期二备用题1.求不定积分解：令则,故机动目录上页下页返回结束分母次数较高,宜使用倒代换.第23页，共25页，2023年，2月20日，星期二2.求不定积分解：原式=前式令;后式配元机动目录上