第四节空间的曲面与曲线

第四节空间的曲面与曲线2023/4/161第1页，共54页，2023年，2月20日，星期二一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

2023/4/162第2页，共54页，2023年，2月20日，星期二如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题

:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义12023/4/163第3页，共54页，2023年，2月20日，星期二故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)半球面.例1

求动点到定点二、一些常见的曲面1.球面2023/4/164第4页，共54页，2023年，2月20日，星期二解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.（课本例1）

表示怎样半径为的球面.球心为例2研究方程2023/4/165第5页，共54页，2023年，2月20日，星期二定义2

一条平面曲线2.旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴

,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.例如:2023/4/166第6页，共54页，2023年，2月20日，星期二故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:2023/4/167第7页，共54页，2023年，2月20日，星期二求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？2023/4/168第8页，共54页，2023年，2月20日，星期二的圆锥面方程.解:

在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例3试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为2023/4/169第9页，共54页，2023年，2月20日，星期二分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为例4

求坐标面xoz

上的双曲线(旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）（习题6-43（2））2023/4/1610第10页，共54页，2023年，2月20日，星期二3.柱面引例分析方程表示怎样的坐标也满足方程解:在xoy面上表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面?2023/4/1611第11页，共54页，2023年，2月20日，星期二平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l

形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.定义32023/4/1612第12页，共54页，2023年，2月20日，星期二柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线xoz

面上的曲线l3:H(z,x)=0.母线柱面,准线xoy

面上的曲线l1

:F(x,y)=0.母线准线yoz面上的曲线l2

:G(y,z)=0.母线一般地,在三维空间2023/4/1613第13页，共54页，2023年，2月20日，星期二三、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)2023/4/1614第14页，共54页，2023年，2月20日，星期二方法一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状．这种方法叫做截痕法．怎样了解三元方程所表示的曲面的形状呢?

研究二次曲面特性的基本方法:截痕法和伸缩变形

方法二是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法．2023/4/1615第15页，共54页，2023年，2月20日，星期二椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.①椭圆锥面(EllipticCone)椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到.2023/4/1616第16页，共54页，2023年，2月20日，星期二(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆1.椭球面(Ellipsoid)2023/4/1617第17页，共54页，2023年，2月20日，星期二与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)2023/4/1618第18页，共54页，2023年，2月20日，星期二2.单叶双曲面(HyperboloidofOneSheet)椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:2023/4/1619第19页，共54页，2023年，2月20日，星期二虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:2023/4/1620第20页，共54页，2023年，2月20日，星期二2.单叶双曲面

把xOz面上的双曲线绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面.把此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面.2023/4/1621第21页，共54页，2023年，2月20日，星期二双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面:系数二项正,一项为负.双叶双曲面:系数一项正,二项负.图形3.双叶双曲面(HyperboloidofTwoSheets)（a、b、c是正数）2023/4/1622第22页，共54页，2023年，2月20日，星期二4.椭圆抛物面

xyz把xOz面上的双曲线绕z轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面.此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得椭圆抛物面.2023/4/1623第23页，共54页，2023年，2月20日，星期二5.双曲抛物面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.2023/4/1624第24页，共54页，2023年，2月20日，星期二四、空间曲线的方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例5方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C1.空间曲线的一般方程2023/4/1625第25页，共54页，2023年，2月20日，星期二表示上半球面与圆柱面的交线C.例6方程组2023/4/1626第26页，共54页，2023年，2月20日，星期二会画草图2023/4/1627第27页，共54页，2023年，2月20日，星期二2.空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.2023/4/1628第28页，共54页，2023年，2月20日，星期二

动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解2023/4/1629第29页，共54页，2023年，2月20日，星期二螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距2023/4/1630第30页，共54页，2023年，2月20日，星期二解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为练习将下列曲线化为参数方程表示:2023/4/1631第31页，共54页，2023年，2月20日，星期二五、曲面的参数方程(TheParametricEquationofSurface)一般曲面的参数方程含两个参数,形如2023/4/1632第32页，共54页，2023年，2月20日，星期二绕z轴旋转时的旋转曲面方程.略解:点M1绕z轴旋转,转过角度后到点则这就是旋转曲面满足的参数方程.例8求空间曲线:2023/4/1633第33页，共54页，2023年，2月20日，星期二定义：以曲线为准线、母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面，投影柱面与面的交线叫做空间曲线在或简称投影（类似地可以定义曲线在其他坐标面上的投影）．面上的投影曲线，六、空间曲线在坐标面上的投影(ProjectingCurveonaCoordinatePlaneofSpaceCurve)曲线2023/4/1634第34页，共54页，2023年，2月20日，星期二如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面2023/4/1635第35页，共54页，2023年，2月20日，星期二消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线C的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：空间曲线C在面上的投影曲线C´2023/4/1636第36页，共54页，2023年，2月20日，星期二设空间曲线C的一般方程为消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去

x

得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程2023/4/1637第37页，共54页，2023年，2月20日，星期二例9求曲线在xoy面上的投影曲线方程.2023/4/1638第38页，共54页，2023年，2月20日，星期二补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面2023/4/1639第39页，共54页，2023年，2月20日，星期二所围的立体在xoy

面上的投影区域.和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所求的投影区域是圆域:解:半球面和锥面的交线在xoy面上的投影曲线所围之域

.例10求上半球面为所求的投影区域.2023/4/1640第40页，共54页，2023年，2月20日，星期二内容小结1.空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2023/4/1641第41页，共54页，2023年，2月20日，星期二三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:2.二次曲面2023/4/1642第42页，共54页，2023年，2月20日，星期二3.空间曲线一般方程（三元方程组）或参数方程(如,圆柱螺线)4.

曲面的参数方程5.空间曲线在坐标面上的投影2023/4/1643第43页，共54页，2023年，2月20日，星期二作业习题6-3P43-45

4(1)(2);9;162023/4/1644第44页，共54页，2023年，2月20日，星期二斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y

轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴