第四节一阶线性微分方程

第四节一阶线性微分方程1第1页，共27页，2023年，2月20日，星期二一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为齐次的;非齐次的.线性一阶

自由项2第2页，共27页，2023年，2月20日，星期二如线性的;非线性的.判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：(1)、(4)是一阶线性的，其余的是非线性的.3第3页，共27页，2023年，2月20日，星期二齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò4第4页，共27页，2023年，2月20日，星期二2.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.线性齐次方程的通解是但它们5第5页，共27页，2023年，2月20日，星期二设想非齐次方程

待定函数的解是6第6页，共27页，2023年，2月20日，星期二从而C(x)满足方程7第7页，共27页，2023年，2月20日，星期二一阶线性非齐次微分方程的通解为即.)()(dd的解是xQyxPxy=+8第8页，共27页，2023年，2月20日，星期二非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.9第9页，共27页，2023年，2月20日，星期二解例一阶线性非齐次方程10第10页，共27页，2023年，2月20日，星期二解

积分方程例如图所示,平行于y轴的动直线被曲线y=f(x)阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程即截下的线段PQ之长数值上等于求曲线y=f(x).)0(3³=xxy与11第11页，共27页，2023年，2月20日，星期二所求曲线为12第12页，共27页，2023年，2月20日，星期二练习解初值问题:解将方程写为øöççèæ+ò-ò=ò---Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d122213第13页，共27页，2023年，2月20日，星期二由初始条件特解øöççèæ+ò-ò=ò---Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d122214第14页，共27页，2023年，2月20日，星期二例解方程若将方程写成则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成以x为未知函数,

即一阶非齐次线性方程.分析y为自变量的15第15页，共27页，2023年，2月20日，星期二此外,y=1也是原方程的解.解0d)ln(dln=-+yyxxyy16第16页，共27页，2023年，2月20日，星期二注参数形式的.解方程时,

通常不计较哪个是自变量哪个是因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是17第17页，共27页，2023年，2月20日，星期二解

这是典型的一阶线性方程.分析

由通解公式有

1992年考研数学一,3分练习xCxcos)(+xCxcos)(+=18第18页，共27页，2023年，2月20日，星期二形如的方程,方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.称为伯努利(Bernoulli)方程.

雅个布·伯努利(瑞士)1654-1705二、伯努利(Bernoulli)方程19第19页，共27页，2023年，2月20日，星期二需经过变量代换化为线性微分方程.解法

事实上,用除方程的两边,得即20第20页，共27页，2023年，2月20日，星期二可见只要作变换,方程就可化为z的一阶线性方程伯努利方程的通解

令21第21页，共27页，2023年，2月20日，星期二解例伯努利方程作变换则方程化为即22第22页，共27页，2023年，2月20日，星期二它的通解为故原方程的通解为23第23页，共27页，2023年，2月20日，星期二例解方程解这不是线性方程,但若把y视为自变量,n=2的伯努利方程.也不是伯努利方程.方程写为:即24第24页，共27页，2023年，2月20日，星期二即25第25页