2023艺术生高考数学复习学案(二)

§37 平面向量1(1)【考点及要求】解掌握平面向量的概念；握平面向量的线性运算．【基础知识】1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）； 2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）；4．平面向量基本定理.【基本训练】1．判断下列命题是否正确：⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （）⑵若四边形ABCD是平行四边形，则=； （）⑶若∥，∥，则∥； （）⑷若与是共线向量，则A、B、C、D四点共线； （）⑸若++=，则A、B、C三点共线； （）2．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=，=，则等于（）A．+ B． C．+ D．3．设M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是（）A．++ B．++C．++ D．3+OADBCMNN4．已知C是线段AB上一点，=（＞0）．若=，=，请用，表示．OADBCMNN【典型例题讲练】例1、如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD．试用，表示，，．变式:平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).例2设两个非零向量、不是平行向量（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．变式:已知、不共线，=a+b．求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1．【课堂小结】向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。【课堂检测】1．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有．（2）与向量的模相等的有．（3）与向量相等的有．2．已知正方形ABCD边长为1，++模等于（）A．0 B．3 C．2 D．3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.4．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设eq\o(EA,\s\up6(→))＝a，eq\o(EB,\s\up6(→))＝b，则向量等于（）A.2a＋bB.2a－bC.b－2aD.－§38平面向量1(2)【典型例题讲练】例3如图，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))（t∈R)，当P是（1）eq\o(AB,\s\up6(→))中点，（2）eq\o(AB,\s\up6(→))的三等分点（离A近的一个）时，分别求eq\o(OP,\s\up6(→)).变式:在△OAB中，C是AB边上一点，且eq\f(BC,CA)＝λ(λ>0)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(OC,\s\up6(→)).例4．某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)千米/时，他在水流速度为（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？变式:一艘船从A点出发以2eq\r(3)km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为【课堂小结】在理解向量加减法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则，并了解向量加减法在物理学中的应用。【课堂检测】1．四边形ABCD满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，且｜eq\o(AC,\s\up6(→))｜＝｜eq\o(BD,\s\up6(→))｜，则四边形ABCD是.2．化简：（eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＋（eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))）＝3．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－7e1，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是（）A.平行四边形 B.等腰梯形C.菱形 D.梯形但两腰不相等【课后作业】1．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42．若O为平行四边形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1等于（）A.eq\o(AO,\s\up6(→)) B.eq\o(BO,\s\up6(→))C.eq\o(CO,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))3．已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝eq\f(1,3)(PA＋PB＋PC).§39 平面向量2(1)【考点及要求】理解平面向量的坐标表示；掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立，即向量a的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥bx1y2－x2y1＝_______【基本训练】1.设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6）2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为：()A、（-8，）B、（）C、（0，1）D、（0，1）或（2，）3．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（）A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－14．已知向量且∥，则= （）A． B． C． D．【典型例题讲练】已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且，，求M，N的坐标和的坐标.变式:若向量，，其中，分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x1,y1)、(x2,y2)（1）加减法：±=(x1±x2,y1±y2)(其中=(x1,y2)、=(x2,y2)).（2）数乘：若=(x,y),则λ=(λx,λy)（3）∥()注意：充要条件不能写成：或，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（）A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5 D．x=5,y=－12．已知向量且∥，则= （）A． B． C． D．3．若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则2=4．已知，，若平行，则λ=5．已知中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D的坐标为____________§40平面向量2(2)【典型例题讲练】例3已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及问：(1) t为何值时，P在x轴上?P在第二象限？(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t值；若不能；请说明理由.变式:已知＝(3,-1),＝(-1,2),＝(-1,0),求与，使例4．已知向量＝(x，y)与向量＝(y，2y-x)的对应关系用表示，(1)证明对于任意向量，及常数m，n恒有成立；(2)设＝(1，1)，＝(1，0)，求向量及的坐标；变式引申:求使＝(p，q)(p，q为常数)的向量的坐标.【课堂小结】运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。【课堂检测】1．若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=2．已知三点P(1,1)、A(2,-4)、B(x,-9)在一条直线上，求x的值.3．已知向量=(2x－y+1,x+y－2),=(2,－2),x、y为何值时，(1)；(2)【课后作业】1．平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；2.(2005湖北)．已知向量不超过5，则k的取值范围是3.设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，O为坐标原点，则满足+=的的坐标是＿＿＿＿§41 平面向量3(1)【考点及要求】熟练掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题。【基础知识】知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则有a·b＝___________，其中夹角θ的取值范围是________。规定0·a＝___________；向量的数量积的结果是一个______。2．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0；②a⊥ba·b＝_____；③当a与b同向时，a·b＝______；当a与b反向时，a·b＝_______；特别地，a·a＝_______或｜a｜＝_________。④cosθ＝____________；⑤｜a·b｜____｜a｜｜b｜（用不等号填空）。3．平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________；记a与b的夹角为θ，则cosθ＝_______________。其中｜a｜=_________。4.两向量垂直的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b___________.【基本训练】1.判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.⑨a·b>0，则它们的夹角为锐角。2.已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=__________3．已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，则a·b=_________4．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为（）（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0（2）|a|－|b|＜|a－b|（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|bA.（2）（4） B.（2）（3）C.（1）（2） D.（3）（4）5．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°【典型例题讲练】已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.变式：设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝.例2已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与变式:已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.【课堂小结】掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【课堂检测】1．△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且a·b＞0，则△ABC为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形2．已知等边△ABC的边长为1，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于（）A.－eq\f(3,2) B.eq\f(3,2)C.0 D.eq\f(9,4)3．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为（）A.60° B.90°C.45° D.30°4．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝.5．已知|i|＝|j|＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝.6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝.§42平面向量3(2)【典型例题讲练】例3已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)＋1，eq\r(3)－1)，则a与b的夹角是多少?变式:已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.例4．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.变式1:已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b变式2:已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值是多少?【课堂小结】掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.【课堂检测】1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为（）A.平行 B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不对2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·bA.63 B.83C.23 D.573．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于（）A.－23 B.eq\f(7,2)C.－eq\f(7,3) D.－eq\f(7,4)4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A.（eq\f(10,3)，+∞） B.［eq\f(10,3)，+∞）C.（－∞，eq\f(10,3)） D.（－∞，eq\f(10,3)］5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为（）A.－eq\f(\r(13),13) B.eq\f(\r(13),13)C.0 D.1【课后作业】1．已知向量c与向量a＝（eq\r(3)，－1）和b＝（1，eq\r(3)）的夹角相等，c的模为eq\r(2)，则c＝.2．若a＝（3，4），b＝(1，2)且a·b＝10，则b在a上的投影为.3．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：①|a|＝eq\r(x12＋y12)②b2＝eq\r(x22＋y22)③a·b＝x1x`2＋y1y`2④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为.4．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），（1）求证：eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.5．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋§43 平面向量4(1)【考点及要求】利用平面向量的概念及运算法则，尤其在掌握向量平行与垂直的性质的基础上，解决向量相关问题。【基础知识】（1）平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________；（2）两个向量平行的充要条件a∥b________________________________（3）两个向量垂直的充要条件a⊥b________________________________【基本训练】1.选择题已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是()A．a与b相等B．如果a与b平行，那么a与b相等C.a·b＝1D．a2＝b22．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是A.a⊥ba·b＝0B.a·b＝｜a｜·｜b｜C.a·b＝－b·aD.a·b＝－｜a｜·｜b｜3．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，则x的值为A.0 B.3C.15 D.184．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为A.30° B.60°C.120° D.150°5．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则kA.－6 B.6C.3 D.－36．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－47．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2i＋3j垂直的向量是A.3i＋2jB.－2i＋3jC.－3i＋2j D.2i－3j8．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为A.2i－jB.i－2jC.2i＋jD.i＋2j【典型例题讲练】例1四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?变式：在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定例2若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.证明：a⊥b.变式引申:.已知a＋b＝c，a－b＝d求证：|a|＝|b|c⊥d【课堂小结】1.熟悉向量的性质及运算律；2.能根据向量性质特点构造向量；3.熟练平面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.【课堂检测】1当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.相等2下面有五个命题，其中正确的命题序号为①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|A.①②③ B.⑤C.③⑤ D.①⑤3下列四式中不能化简为的是（）A.B.C.D.3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为A.30° B.60°C.120° D.150°4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则kA.－6 B.6C.3 D.－35．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－46．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2i＋3j垂直的向量是A.3i＋2jB.－2i＋3jC.－3i＋2j D.2i－3j7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为A.2i－jB.i－2jC.2i＋jD.i＋2j8．已知a2＝2a·b，b2＝2a·b，则a与A.0° B.30° C.60° D.180°§44平面向量4(2)【典型例题讲练】例3圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：.变式:已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.例4．已知A(3,0),B(0,3),C(cos(1)若的值；(2)若变式1:平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足=,其中α、β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为变式2:已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于m，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为【课堂小结】针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.在综合学习向量知识之后，解决问题的途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质.【课堂检测】1．设cos,),sin,且∥，则锐角为2．已知点、，动点，则点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线3．已知向量4．已知是非零向量且满足【课后作业】1．若A,B两点的坐标是A(3,3,1),B(221),||的取值范围是A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25]2．（选做）从点A(2,－1,7)沿向量方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为A.(-9,-7,7)B.(-9,-7,7)或(9,7,-7)C.(18,17,-17)D.(18,17,-17)或(-18,-17,17)3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足=,其中α、β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为()A.B.C.D.§45等差数列(1)【考点及要求】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式、前项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系.【基础知识】1.数列：按照______.数列中的每一个数叫做数列的______.数列可以看成是定义域为__的函数，其图像是__.2.一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于____________，那么这个数列就叫做____________，这个常数叫做等差数列的_____，其通项公式为_____________或______________.3.若为等差数列，则称为与的____，且__；成等差数列是的条件.4.在等差数列中，若，则_____________.5.判断一个数列为等差数列的常用方法有：.6.等差数列的求和公式为___________或_____________；其推导方法为__________.7.若数列是等差数列，则从函数的观点看，是关于的_____次函数，其图象是直线上均匀排开的一群孤立的点，是关于的_______次函数，当____0，____0时，有最_____值；当____0，____0时，有最______值；当_____0时，等差数列为常数数列.8.数列的项与其前和的关系是：=_________________.【基本训练】1.在数列中，，，则通项___________，.2.在等差数列中，首项，公差为，如果，则.3.等差数列中，已知，，则=______.4.高斯求和：.5.在等差数列中，若，，则前项和=_____________.【典型例题讲练】例1在等差数列中，已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数.

练习在等差数列中，(1)已知，求；(2)前三项是，求.例2在等差数列中，(1)已知，求和；(2)已知，求.练习(1)已知，若，求.(2)已知，求和；练习一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d=_________【课堂小结】【课堂检测】1.已知为等差数列，，前4项和，则.2.已知等差数列中，，则前10项的和＝________.【课后作业】1.在等差数列中，已知，求.2.设是等差数列的前项和，若则.§46等差数列(2)【典型例题讲练】例1已知数列中，，求通项.练习已知数列中，，求通项.例2在等差数列中，问此数列前几项的和最大？练习等差数列的前项和为，若，则当n=_______时，最大.例3已知成等差数列，求证：也成等差数列.练习已知数列中，，，数列满足，求证：数列是等差数列【课堂小结】1.2.3.【课堂检测】1.设等差数列的前项和，已知.指出…，中哪一个值最大，并说明理由.2.设是等差数列，求证：为通项的数列是等差数列.【课后作业】1.在等差数列中，，其前n项和为.（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求.2.在等差数列中，则使数列前项和取最小值的为_______.3.设为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，求.§48等比数列(2)【典型例题讲练】已知数列的前项和为，.(1)求，，；(2)求证：数列是等比数列.练习数列的前项和为，已知，，求证：数列是等比数列.例2若是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列.(1)求数列的公比；(2)若，求的通项公式.

练习设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且成等比数列.（1）求证：；（2）求公差的值和数列的通项公式.【课堂检测】已知正项等比数列.(1)求证：数列是等差数列；(2)如果数列的前7项和S7是它的前n项和Sn的最大值，且.求数列的公比q的取值范围.§53课题：一元二次不等式及其解法=1\*GB2⑴【考点及要求】会从实际情境中抽象出一元二次不等式的模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．【基础知识】一元二次不等式的解集情况如下表：判别式二次函数的图象一元二次方程的根的解集的解集【基本训练】1．不等式(x+2)(1-x)>0的解集是．2．若关于x的不等式的解集为，则实数=．3．已知不等式的解集为，则．4．若关于x的方程两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数的取值范围是．【典型例题讲练】例1．解下列不等式：⑴(2)(3)(4)例2．已知不等式的解集为，且，求不等式的解集．练习：已知不等式的解集为，求不等式的解集．【课堂小结】1．解一元二次不等式的一般步骤；2．一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的解之间的关系；3．蕴含的数学思想有：．【课堂检测】：1．不等式的解集是．2．不等式组的解集是．3．解集是．4．函数在上存在使则的取值范围是．5．解下列不等式：⑴(2)(3)(4)§54课题：一元二次不等式及其解法=2\*GB2⑵【典型例题讲练】例1．当为何值时，不等式的解是全体实数．练习：已知常数，解关于x的不等式．例2已知函数⑴．当时，解不等式；⑵．如果当时，恒成立，求实数的取值范围．例3．某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离和汽车车速有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到）【课堂小结】1.解含参数的不等式时,一般需;2.主要运用的数学思想是;3.一元二次不等式的实际运用．【课堂检测】1．已知不等式对任意实数不等式恒成立,求实数的取值范围是；2．已知关于的不等式的解集为,求=1\*GB2⑴求的值；=2\*GB2⑵解关于的不等式的解集．【课后作业】1．解不等式:(1)(2)=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷2．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，=1\*GB2⑴若方程有两个相等的实数根，求的解析式；=2\*GB2⑵若的最大值为正数，求实数的取值范围.3．某种商品现在定价每件元，每月卖出件，因而现在每月售货总金额是元，设定价上涨成，卖出数量减少成，售货总金额变成现在的倍，⑴．用和表示；⑵．设，利用表示当售货总金额最大时的值；⑶．如果，求使售货金额有所增加的值的范围；4．已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是．5．已知不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围§55课题：基本不等式⑴【考点及要求】探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。【基础知识】几个重要的不等式：⑴；⑵2．的乘积为定值时，那么当且仅当时，有最值是；的和为定值时，那么当且仅当时，有最值是【基本训练】函数的最大值为已知均为正数，且，则的最小值是3．已知则的大小关系是．4．设为正实数,且则有最值是；【典型例题讲练】例1．已知是实数，是正实数，求证：练习：①是不全相等的实数，求证：②是实数，求证：例2．=1\*GB2⑴设都是正数,且，求证：；⑵已知为不全相等的正数，求证：．练习：已知求证：【课堂小结】【课堂检测】1．已知则的最小值是．2．(1)若正数满足的最小值；(2)若求的最小值．3．已知都是正数，求证：§56课题：基本不等式⑵【典型例题讲练】例1已知求证：不能同时大于．练习：已知求证:中至少有一个小于2例2．已知直角三角形ABC的周长为定值,求这个三角形面积的最大值．练习：已知点P在曲线上运动，作PM垂直于轴于点M，则△OPM（O为坐标原点）的周长的最小值是．例3．某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉,,才能使平均每天所支付的总费用最少?若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由．练习:一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地,,若车速为千米/小时,两车的距离不能小于千米,运完这批物资至少需要小时．【课堂小结】【课堂检测】1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值是．2．已知，则的最小值为．3．不等式①②其中恒成立的是4．设则最准确的大小关系是．5．已知在中,上的点,求点到的距离乘积的最大值．【课后作业】1．已知数列{}的通项公式为，则数列中最大项是．2．设，则取最小值时，的值是．3．已知为正实数,若是的等差中项,是的正的等比中项,的等差中项,则按从大到小的顺序为．4．已知正数满足，求的取值范围．§57不等关系及简单的线性规划问题=1\*GB2⑴【考点及要求】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景；会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；【基础知识】1．用表示不等关系的式子叫做不等式．2．不等式性质的单向性有：传递性，可加性，可乘性，，乘法的单调性，可乘方性，可开方性；3．不等式性质的双向性有：，，，对称性，加法单调性；4．二元一次不等式表示平面区域：在平面直角坐标系中，直线不同时为0）将平面分成三个部分，直线上的点满足于，直线一边为，另一边为，如何判断不等式只需取一个代入即可。5．线性规划问题中的有关概念：=1\*GB2⑴满足关于的一次不等式（组）的条件叫；=2\*GB2⑵欲求最大值或最小值所涉及的变量的线性函数叫；=3\*GB2⑶所表示的平面区域称为可行域；=4\*GB2⑷使目标函数取得或的可行解叫；=5\*GB2⑸在线性约束条件下，求线性目标函数的或问题叫；6．线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：=1\*GB2⑴根据题意设出；=2\*GB2⑵找出；=3\*GB2⑶确定；=4\*GB2⑷画出；=5\*GB2⑸利用线性目标函数；函数观察图形，找出，给出答案．【基本训练】1．克糖水中有克糖，若再添上克糖，则糖水变甜了，试根据此事实提炼一个不等式．2．由直线和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为．3．已知三个不等式：用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数为．4．已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点（3，1）处取得最大值，则的取值范围是．【典型例题讲练】例1．⑴若试比较的大小．⑵已知，试比较与的大小．例2．画出下列不等式或不等式组表示的平面区域．（1）（2）练习：设集合是三角形的三边长},试作出所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）．【课堂小结】1．比较大小的常用方法有：；2．画平面区域时，有等号画；没等号画；【课堂检测】1．若角满足则的取值范围是．2．若则的最大值是．3．介于两个连续自然数之间，则这两个数是．4．定义运算，如，则函数的最大值为．5．设且求的取值范围§58课题：不等关系及简单的线性规划问题=2\*GB2⑵【典型例题讲练】例1．在坐标平面上，求不等式组所表示的平面区域的面积．练习：画出不等式组所表示的平面区域，并求平面区域的面积．例2．已知满足约束条件，求（1）的最大值；(2)的最小值；（3）的范围．练习：设满足约束条件则使得目标函数的取值范围．例3.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲，乙两个项目。根据预测，甲，乙项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲,乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?练习：配置两种药剂都需要甲,乙两种原料,用料要求如下表所示(单位:克),如果药剂至少各配一剂,且药剂每剂售价分别为2元,3元,现在有原料甲20克,原料乙25克,那么可以获得的最大销售额是多少?原料甲乙A24B43【课堂小结】【课堂检测】1．已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=．2．若那么的取值范围是3．点（x，y）是在区域|x|+|y|≤1内的动点，则的最大值为，最小值为．3．某木器厂有生产圆桌和衣柜两种木料，第一种有72米3，第二种有56米3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示，每生产一张圆桌可获利润6元，生产一个衣柜可获利润10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少，才能使获得的利润最多？产品木料（单位米3）第一种第二种圆桌0．180．08衣柜0．090．28【课后作业】1．如图阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是．2．设x,y满足约束条件，分别求：z=6x+10y;(2)z=2x-y的最大值、最小值．3．某工厂生产甲乙两种产品，已知生产甲种产品1吨需耗A种矿石10吨，B种矿石5吨，煤4吨，利润600元；生产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨，B种矿石4吨，煤9吨，利润1000元；工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨，B种矿石不超过200吨，煤不超过360吨；问如何安排生产才能使所获利润最大？．4．已知函数,=1\*GB2⑴指出在上的奇偶性及单调性;⑵若§59不等式的综合应用⑴【考点及要求】综合运用不等式的有关知识解决数学问题。【基础知识】【基本训练】1．函数的定义域是_____________________.2．若x满足,化简=．3．若为偶函数并在（0，+）上是减函数，=0，则的解为4．建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为元和150元，那么池的最低造价为__________元．5．若直线过圆的圆心,则的最小值为．【典型例题讲练】例1．已知且，求证：练习：已知，求证：．例2．已知是正常数,，①求证：，并指出等号成立的条件；②利用①的结论求函数的最小值，并指出取最小值时的值．变式练习：已知在上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程的一个根为2，⑴求的值；⑵求证：【课堂小结】【课后作业】1．函数的最小值是．2．已知A=，B=.若A∪B=R，则实数t的取值范围是________________．3．方程一根大于2另一根小于2，则实数的取值范围是．4．不等式恒成立,则的取值范围是．5．若为奇函数并在上是增函数，若，则的解集为．§60不等式的综合应用⑵【典型例题讲练】例1．求证：例2．已知求证:练习：设且求证:例3．已知数列是等差数列,其前项的和为⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数,且,证明:练习：数列由下列条件确定：⑴证明：对总有；⑵证明：对总有；【课堂小结】【课堂检测】1.若，，且，则的取值范围为．2．设，且恒成立，则实数取值范围为．3．已知满足，则的最小值是.4．若直线始终平分圆的周长,则的取值范围是．5．△ABC中三边长为a、b、c,若、、成等差数列，则b所对的角是_____角．【课后作业】1．某居民小区收取冬季供暖费,根据规定,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按使用面积交纳,每平方米40元;(2)按建筑面积交纳,每平方米30元;李华家的使用面积是60平方米.如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过平方米．2．若函数满足，求的最大值．3．若关于的方程有实数解,求实数的取值范围．§61导数的概念及导数的几何意义⑴【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。【基础知识】1．一般地，函数在区间上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2．不妨设，则割线PQ的斜率为，设x1－x0=△x，则x1=△x＋x0，∴，当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线。3．曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的，记为．4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：，称为；当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的；速度的平均变化率：，当无限趋近于0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的．【基础练习】1．已知函数在区间[1,2]上的平均变化率为,则在区间[-2,-1]上的平均变化率为．2．A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东,若A船的速度为30km/h,B船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t1,t2]上,A,B两船间距离变化的平均速度为_______3．在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度与起跳的时间t的函数关系为,则()A.B.C.D.运动员在这段时间内处于静止状态【典型例题讲练】例1．已知函数f(x)=2x+1,⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率；⑵.探求一次函数y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率的特点；练习：已知函数f(x)=x2+2x，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率;⑴[1，2]；⑵[3，4]；⑶[－1，1]；⑷[2，3]【课堂检测】1．求函数在区间[1,1+△x]内的平均变化率2．试比较正弦函数y=sinx在区间和上的平均变化率，并比较大小。§62导数的概念及导数的几何意义⑵【典型例题讲练】例2．自由落体运动的物体的位移s（单位:s）与时间t（单位：s）之间的关系是：s(t)=gt2(g是重力加速度)，求该物体在时间段[t1，t2]内的平均速度；练习：自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=(1)求t=t0s时的瞬时速度；(2)求t=3s时的瞬时速度；(3)求t=3s时的瞬时加速度；例3．已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。练习:1．曲线y=x3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________．2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为．3．曲线与在交点处切线的夹角是______．4．已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为.5．曲线y=x3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为__________．6．过曲线上一点P的切线与直线平行，则P点的坐标为．例4．求过点(1,1)的切线方程练习：过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是______.【课堂小结】【课堂检测】1．求曲线在点（1，－1）处的切线方程2．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M处的切线方程为．求函数的解析式；3．已知曲线上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?说明理由【课堂作业】1．与直线平行的曲线的切线方程是______.2．设曲线y=和曲线y=在它们交点处的两切线的夹角为，则tan的值为_____.3．若直线y=是曲线的切线，则α=.4．求曲线在原点处的切线方程.§63导数的运算（1）【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数的导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【基础知识】1．基本初等函数的求导公式：，；，（α为常数）；，=，；注：当a=e时，，，，；2．法则1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即．法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的．即．法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即．法则4两个函数的商的导数，等于，即．【基础练习】1．求下列函数导数．（1）（2）（3）（4）（5）（6）y=sin(+x)(7)y=sin（8）y=cos(2π－x)（9）y=【典型例题讲练】例1求下列函数的导数（1）；（2）；(两种方法)（3）；（4）y=；.练习：(1)求y=在点x=3处的导数.(2)求y=·cosx的导数.（3）．求y=的导数.（4）．求的导数.【课堂小结】【课堂检测】1．设函数，且，则；2．求下列函数的导数：(1)y=(2)y=(3)y=(4)y=§64导数的运算（2）例2．求满足下列条件的函数(1)是三次函数,且(2)是一次函数,练习：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式例3．已知点P在函数y=cosx的图象上（0≤x≤2π），在点P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围．练习：已知函数，且对，求证：例4.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标．练习：1．求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程；2．求曲线y=x2过点(0,-1)处的切线方程；3．已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短；【课堂小结】【课堂检测】1．已知函数，f’(-1)=4，则a=．2．过抛物线上的点M（）的切线的倾斜角是．3．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是．4．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是．5．已知曲线y=和这条曲线上的一点P(2,),求曲线y=在点P处的切线方程.【课堂作业】1．若曲线y=x2－1与y=1－x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于．2．求下列函数的导数：(1)y=lg(1+cos2x)(2)y=exlnx3．设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值.4．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切,求a、b、c的值.§65导数在研究函数性质中的应用⑴【考点及要求】熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三次的多项式函数的极值、最值。【基础知识】1．用导数的符号判别函数增减性的方法：若，则函数为，若，则函数为；2．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：⑴确定函数的；⑵求，令，解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；⑶把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；⑷确定在各个小区间内的符号，根据的判断函数在每个相应小区间内的增减性；3．函数极值的定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有（或），就说是函数的一个极值；和统称为极值；4．求可导函数在上的最大或最小值的一般步骤和方法：①求函数在上的值；②将极值与区间端点的函数值比较，确定最值。【基础练习】1．若函数在区间内是一个可导函数，则＞0是在区间内递增的条件．2．如果函数f(x)=x4－8x2+c在[－1，3]上的最小值是－14，那么=．3．已知，函数在是单调递增函数，则的最大值是____________．4．函数在时,有极值10,那么的值为.5．已知f(x)=ax3－6ax2+b在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，则a=___________．【典型例题讲练】例1．已知函数的图象过点P,且在点M处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.练习：1．已知函数，仅当x=－1及x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，求a、b的值。2．设（1）求函数f(x)的单调递增、递减区间；（2）当x∈[－1，2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围。【课堂检测】1.函数是减函数的区间为.2.函数,已知在时取得极值,则.3.函数的单调递减区间为,极大值为,极小值为.4．已知:为常数)在上有最大值是3,那么在上的最小值是5．(1)函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则的图象的顶点在第象限(2)如果函数(为常数)在区间内单调递增,并且的根都在区间内,那么的范围是.6．已知函数(1)求的单调递减区间;(2)若在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.§66导数在研究函数性质中的应用(2)【典型例题讲练】例2．已知函数与的图象都过点P且在点P处有相同的切线.(1)求实数的值;(2)设函数,求的单调区间,并指出在该区间上的单调性.练习：已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且f(x)－g(x)=－x3+2x2+3x+7，f(x)在x=1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间。例3．设a为实数,函数(1)求的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.练习：已知向量在区间上是增函数,求t的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】1．函数，已知在时取得极值，则=．2．函数是减函数的区间为．3．函数有极值的充要条件是．-22O1-1-114．已知函数-22O1-1-11函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）OO-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD5．若函数y＝x3－2x2＋mx,当x＝时,函数取得极大值,则m的值为．6.函数y＝的单调递减区间为.【课外作业】1．已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，则f′(0)=_____________2．函数＝在区间上的最大值与最小值分别是．3.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间上的最大值为,则a等于．4．设函数y=f(x)是一次函数，已知f(0)=1，f(1)=－3，则该函数的导数f′(x)=．5．已知函数y=3x3+2x2－1在区间(m，0)上是减函数，则m的取值范围是_____________6.已知是函数的一个极值点,其中(1)求m与n的关系式;(2)求的单调区间;(3)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.§67导数在实际生活中的应用⑴【考点及要求】导数在实际问题中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有：⑴与几何有关的最值问题；⑵与物理学有关的最值问题；⑶与实际生活有关的最值问题；【典型例题讲练】1．与几何有关的最值问题：例1．在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底的铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？练习：某种圆柱形饮料罐的容积为V，如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省？变式1：表面积为定值S，如何制造，才能使其容积最大？变式2：例中若罐底单位造价为周围单位造价为侧壁部分单位造价的2倍，如何设计尺寸，使总造价最低？变式3：有一底半径为r（cm），高为h（cm）的倒立的圆锥容器，若以n(cm3)/s的速度向容器里注水，求注水t(s)的水面上长的速度。2．与物理学有关的最值问题；例2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲乙两地相距100千米。（Ⅰ）当汽车以40千米/（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂检测】：AEAEFBC2．如图，把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖六棱柱盒子，设高为h所做成的盒子体积V(不计接缝).（1）写出体积V与高h的函数关系式；（2）当为多少时，体积V最大，最大值是多少？OO13．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心OO1§68导数在实际生活中的应用⑵【典型例题讲练】3．与实际生活有关的最值问题：例3．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）．如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）．如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系是：C＝100＋4q，价格P与产量q的函数关系为P＝25－，求产量q为何值时，利润L最大？【课堂检测】：1．若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是______________．2．已知函数y=－x3－3x2+9x－1在[－3，a]上的最小值为－77，则a=________．3．若a＞3，则方程x3－ax2+1=0，在[0，2]恰有________个实根．4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数；y2=2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产____．5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积V，那么其表面积最小时底面边长为．6．用总长为14.8的钢条制做一个长方体容器的框架，如果制做的容器底面的一边比另一边长0.5m，则高为多少时容积最大？并求出它的最大容积．【课堂作业】1．函数f(x)=ax3+(a－1)x2+48(a－2)x+b的图象关于原点中心对称，则函数f(x)的单调区间为．2．过曲线C：y=x2－1(x＞0)上的点P作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点M、N，试确定点P的坐标，使△MON面积最小．3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量（吨）与每吨产品的价格P（元吨）之间的关系为，且生产吨的成本为R=（元），问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？4．已知函数f(x)=(b、c为常数)（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b、c的值；（2）若f(x)在x∈(－∞，x1)，(x2，+∞)上单调递增且x∈(x1，x2)上单调递减，又x2－x1＞1，求证：b2＞2(b+2c)．（3）在（2）的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小并加以证明。§69直线方程(1)【考点及要求】掌握直线的斜率和倾斜角的概念及它们之间的关系，斜率公式，倾斜角的范围。直线方程的几种形式。【基础知识】1.若一条直线斜率为，则它的倾斜角为______________.2.若直线经过点（3，1）它的方向向量为，则直线的倾斜角为___________，斜率为__________，它的点斜式方程为________________，截距式方程为______________，斜截式方程为____________________，一般式方程为_______________________.【基本训练】1.已知直线倾斜角变化范围为，则其斜率变化范围是______________.2.若直线斜率是，且过点，则其方程为___________________________.3.若直线过点，则其方程为________________________.4.已知直线，时，斜率是__________，时，斜率是__________，系数取_____________时，方程表示通过原点的直线【典型例题】例1直线的方向向量为，直线的倾斜角为，则___________.练习：求直线的倾斜角的取值范围.例2已知两点，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率及倾斜角的取值范围.练习如果直线将圆平分，且不通过第四象限，则直线的斜率的取值范围是______________________.【课堂小结】1.直线的倾斜角和斜率；2.直线方程的几种形式.【课堂检测】1.根据所给条件求直线的方程.直线过点，倾斜角的正弦值为；直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点，且到原点的距离为5.2.的三个顶点为，求:(1)所在直线的方程；(2)边上中线所在直线的方程；(3)边的垂直平分线的方程.§70直线方程(2)【典型例题】例3已知直线过点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角的正弦为；(2)与两坐标轴围成的三角形面积为5.练习一条直线被两直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程.例4已知直线（1）证明:直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求的最小值并求此时直线的方程.练习过点作直线交轴于点，交直线于点，若，求直线的方程.【课堂小结】根据条件合理地选用直线方程的形式.【课堂检测】1.过点引一直线，使其倾斜角为直线的倾斜角的两倍，则该直线方程是_____________________.2.若，则直线不通过第______象限.3.若三点共线，则的值等于________________.4.若直线在轴上的截距为3，则实数的值是____________.【课后作业】1.已知中，，则的边上中线所在直线的方程为_________________________.2.已知直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为_________________________.3.已知点.(1)若，求证：动点在一条直线上；(2)试求(1)中直线在轴，轴上的截距和倾斜角.§71两条直线的位置关系(1)【考点及要求】1.两直线的平行与垂直，两点间的距离公式，点到直线的距离公式及简单应用，平行线间的距离；2.两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合的思想。【基础知识】1.两直线和的位置关系是_________________.2.已知过点和的直线与已知直线平行，则实数的值为__________________.【基本训练】1.直线与直线，当___________时，∥；当___________时，；当___________时，与相交；当_________时，与重合.2.过坐标原点且与点的距离都等于1的两条直线的夹角为3.若直线和与轴、轴正方向所围成的四边形有外接圆，则为________________.【典型例题】例1已知两直线和，试确定的值，使(1)与相交于点；(2)∥；(3)⊥，且在轴上的截距为.变式“”是“直线与另外一条直线相互垂直”的_______________________条件.例2已知直线，在上求一点，使得：(1)到点和的距离之差最大；(2)到点和的距离之和最小.变式.过点作直线，使它被相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程.【课堂小结】1.两条直线平行与垂直的判断；2.两条直线的到角与夹角.【课堂检测】1.若直线和直线垂直，则满足____________________.2.若直线与的交点在第一象限，求取值范围.3.已知直线与点和的距离相等，且过二直线与的交点，求直线的方程§72两条直线的位置关系(2)【典型例题】例3已知直线经过点，且被两平行直线和截得的线段之长为5，求直线的方程.变式已知，直线和直线与坐标轴正半轴围成一个四边形，要使此四边形的面积最小，求的值例4已知定点和直线.求证:不论取何值，点到直线的距离不大于.变式圆直线，其中，(1)证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.【课堂小结】1.含参数的直线位置关系的判断；2.点到直线的距离公式.【课堂检测】1.点关于点的对称点是__________，关于直线的对称点是__________.2.直线关于点对称的直线方程是_______________，直线关于直线对称的直线方程是___________________.3若则的面积为________