《计算机数值方法教学》第四章 有限差分法的基本概念

第四章

有限差分法的基本概念§4.1引言§4.2导数的差分近似方法§4.3差分方程§4.4显式和隐式差分格式§4.5差分格式的基本性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt§4.1引言(1)离散化概念bxf(x)axx+△x计算域控制方程离散点代数方程组编辑ppt(2)

离散化网格§4.1引言xit1tntNxt(i,n)x0x1xIt0…………Pdiscretegrids编辑ppt复杂外形网格生成(2)

离散化网格§4.1引言编辑ppt(3)

离散化过程网格生成L(u)=0B(u)=0I(u)=0§4.1引言编辑ppt(4)有限数值模型计算域离散化因变量离散分布反映同一的物理特性和信息分析离散带来的伪物理效应§4.1引言编辑ppt(4)有限数值模型§4.1引言偏微分方程的离散方法：

有限差分法FiniteDifferenceMethod（FDM）有限体积法FiniteVolumeMethod（FVM）有限元法FiniteElementMethod（FEM）谱方法SpectralMethod…………编辑ppt(5)

有限差分法～～微商差商微分方程差分方程§4.1引言编辑ppt向前差分（前差）(5)

有限差分法向后差分（后差）中心差分（中心差）§4.1引言～～～xi+1xuxi-1xiABC编辑ppt离散对象：离散方法：离散结果：偏微分方程和定解条件差商取代微商有限节点值的有限个代数方程组的数值解(5)

有限差分法§4.1引言编辑ppt基本问题：判断方程的类型，选择合适的差分离散方法；对解域的选取和网格划分；方程和定解条件的离散，构造逼近微分方程定解问题的差分方程；解的合理性研究。(5)

有限差分法§4.1引言编辑ppt解的精度:数值解的误差估计；解的收敛性及收敛速度:与偏微分方程的一致性；解的稳定性：对误差传播的敏感程度；解的结构研究：逼近真实解的形式。基本问题：解的合理性研究：差分余项效应

数值耗散

数值色散(5)

有限差分法§4.1引言编辑ppt§4.2导数的差分近似方法泰勒级数展开法待定系数法差分算子法编辑ppt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数截断误差一阶精度编辑pptP一阶精度xt

空间前差(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑pptP

时间前差一阶精度xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑pptP一阶精度

空间后差xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑pptP一阶精度

时间后差xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑pptP二阶精度

空间中心差分xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑ppt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数编辑pptP二阶精度

空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数编辑pptP二阶精度

空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数编辑pptP二阶精度

空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数编辑ppt(2)待定系数法§4.2导数的差分近似方法四阶精度五点中心差二阶精度三点后差二阶精度三点中心差编辑pptP二阶精度

空间三点后差xt(1)待定系数法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数编辑ppt(3)差分算子法§4.2导数的差分近似方法移位算子E:前差算子△:后差算子▽:中心差算子微分算子D:δ:编辑ppt§4.2导数的差分近似方法(3)差分算子法例

1:△＝▽E例2:例3:Dand△Dand▽Dandδ编辑ppt(3)差分算子法应用：

1、构造高阶差分格式；

2、求解截断误差。习题：P1154.6§4.2导数的差分近似方法编辑ppt§4.3差分方程偏微分方程代数方程组1)判断控制方程数学性质；2)网格生成；3)控制方程

初始条件

边界条件代数方程组；编辑ppt§4.3差分方程4)求解代数方程组；5)解的合理性分析:相容性收敛性稳定性网格效应差分余项效应伪物理效应宏观特性微观特性编辑ppt§4.3差分方程差分离散FTCS（时间前差空间中心差分格式）:编辑ppt§4.3差分方程微分方程差分方程截断误差编辑ppt

时间前差空间后差格式（FTBS）

时间前差空间前差格式（FTFS）……§4.3差分方程编辑ppt

……

时间前差空间中心差分格式（Lax-Wendroff格式）

……§4.3差分方程编辑ppt

时间前差空间后差格式（FTBS）§4.3差分方程编辑ppt相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？问题：§4.3差分方程编辑ppt精确解：计算域：§4.3差分方程编辑pptFTBS格式：FTFS格式：§4.3差分方程编辑pptFTFS格式§4.3差分方程编辑pptFTBS格式§4.3差分方程编辑ppt现象：一阶精度FTFS格式的数值解发散，导致计算无法运行下去。§4.3差分方程编辑pptFTBS格式：FTFS格式：§4.3差分方程编辑ppt特征线:QxiXi+1xi-1P(xi

，tn+1)tn+1x-at=xi-atn+1tn§4.3差分方程编辑ppti-1ii+1xa差分方向FTBS:差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息。§4.3差分方程编辑ppt相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异？问题：§4.3差分方程编辑ppt

时间前差空间后差格式（FTBS）和§4.3差分方程编辑pptFTBS格式§4.3差分方程编辑pptFTBS格式§4.3差分方程编辑ppt现象：一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制。§4.3差分方程编辑ppt相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异？问题：一阶精度格式和二阶精度格式的数值解与解析解的差异？§4.3差分方程编辑pptFTBS格式：Lax-Wendroff格式：（空间一阶精度）（空间二阶精度）§4.3差分方程编辑pptFTBS格式（空间一阶精度）FTBS格式数值耗散§4.3差分方程编辑pptLax-Wendroff格式（空间二阶精度）Lax-Wendroff格式数值色散§4.3差分方程编辑ppt现象：一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应。§4.3差分方程编辑ppt小结：差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息；需分析离散所带来的伪物理效应的表现及其控制。§4.3差分方程编辑ppt§4.3差分方程习题：求出方程

下述差分格式的截断误差：编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

1)显式差分格式离散化：解域离散：方程离散：初、边条离散编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

1)显式差分格式差分格式：1i-1xt0n=1nn+1T=bT=aii+1编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

1)显式差分格式xt编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

2)隐式差分格式Crank-Nicolson格式:编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

2)隐式差分格式xtCrank-Nicolson格式:编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

3)对比例:FTCS:编辑ppt§4.4显式和隐式差分格式

3)对比i=‥‥ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4n=0‥‥ 0 0 0 0ε 0 0 0 0n=1‥‥ 0 0 0 ε-ε

ε 0 0 0n=2‥‥ 0 0 ε -2ε3ε -2ε

ε 0 0n=3‥‥ 0 ε

-3ε 6ε-7ε 6ε -3ε

ε 0编辑ppt§4.5差分格式的基本性质

1)差分格式的精度截断误差精度时间β阶、空间α阶编辑ppt

2)三种类型的解偏微分方程精确解差分方程精确解差分方程数值近似解实际误差：§4.5差分格式的基本性质编辑ppt

2)三种类型的解实际误差：离散误差:舍入误差:§4.5差分格式的基本性质编辑ppt

3)宏观特性(ii)收敛性:(iii)稳定性:(i)相容性:§4.5差分格式的基本性质编辑ppt

时间前差空间后差格式（FTBS）和例1：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑ppt精确解：计算域：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptFTBS格式4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptFTBS格式4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑ppt现象：一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制。4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptFTCS:CTCS:例2：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑ppti=‥‥ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4n=0‥‥ 0 0 0 0ε 0 0 0 0n=1‥‥ 0 0 0 ε-ε

ε 0 0 0n=2‥‥ 0 0 ε -2ε3ε -2ε

ε 0 0n=3‥‥ 0 ε -3ε 6ε-7ε 6ε -3ε

ε 04)差分格式的稳定性分析编辑ppti= 0 1 2 3 n+3n+2n+1nn-14)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptVonNeumann方法傅利叶级数：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptVonNeumann方法4)差分格式的稳定性分析编辑ppt编辑pptVonNeumann方法傅利叶级数：舍入误差：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑ppt

舍入误差：VonNeumann准则:放大因子：VonNeumann条件是初边值问题稳定的必要条件。4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质编辑pptFTCS格式Richardson格式Crank-Nicolson格式4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质VonNeumann方法例：热传导方程编辑pptFTCS格式：4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质VonNeumann方法例：热传导方程稳定性条件:编辑pptRichardson格式(CTCS)：绝对不稳定4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质VonNeumann方法例：热传导方程稳定性条件:编辑pptCrank-Nicolson格式：稳定性条件:绝对稳定4)差分格式的稳定性分析§4.5差分格式的基本性质VonNeumann方法例：热传导方程编辑ppt

习题:

下述差分格式的稳定性条件:利用VonNeumann方法分析方程§4.5差分格式的基本性质编辑ppt

§4.6数值耗散与数值色散1)修正方程差分方程实际上所准确逼近的微分方程，称为该差分方程的修正方程，通常要求在修正方程中不包含有对时间的高阶导数项。修正方程是差分方程的微分表达式。编辑ppt

例1:FTCS差分格式:修正方程:§4.6数值耗散与数值色散1)修正方程编辑ppt

例2:FTBS差分格式:修正方程:§4.6数值耗散与数值色散1)修正方程编辑ppt

修正方程:§4.6数值耗散与数值色散1)修正方程编辑pptFTBS格式：Lax-Wendroff格式：（空间一阶精度）（空间二阶精度）例：2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt精确解：计算域：2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑pptFTBS格式（空间一阶精度）FTBS格式数值耗散效应2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑pptLax-Wendroff格式（空间二阶精度）Lax-Wendroff格式数值色散效应2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt现象：一阶精度格式产生数值耗散效应；二阶精度格式产生数值色散效应。2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt微分方程精确解：FTBS差分格式：差分方程精确解：2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt微分方程精确解：差分方程精确解：波速：波幅：2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗散与数值色散编辑ppt数值色散数值耗散奇阶项效应偶阶项效应修正方程:2)差分方程数值解的性质§4.6数值耗