2022-2023学年安徽省名校高二年级下册学期开学考试数学试题（A卷）【含答案】

2022-2023学年安徽省名校高二下学期开学考试数学试题（A卷）一、单选题1．已知，为空间向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的表达式及值，即可求出的值，进而得到的值.【详解】由题意，，∴，∴向量夹角，故选：C.2．已知点，在直线：上，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】将两点坐标代入直线方程解出即可求解.【详解】因为点，在直线：上，所以将，带入：，得，解得，所以直线，即的斜率为，故选：A3．已知两圆和相交于，两点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长.【详解】因为两圆的方程为和，所以两圆的公共弦方程为，又因为该弦过圆的圆心，故．故选：D.4．已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的几何性质即等比数列概念即可得出的关系式，解方程即可得离心率.【详解】由题意可得，长轴长、短轴长、焦距成等比数列，所以，即得，解得或（舍）故选：B5．已知等比数列的公比，且与的等差中项为5，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等差中项的概念和等比数列通项公式即可求得【详解】由题知，即，又，解得或，因为，所以，.故选：A6．如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中点，连接，，则即为所求角，再利用余弦定理求解即可.【详解】如图取中点，连接，，因为是中点，所有，则即为所求角，因为，，所以，又因为是等腰直角三角形，所以，，在中由余弦定理可得，所以在中由余弦定理可得，所以，故选：D7．抛物线的准线交轴于点，焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，若，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出两根之积和两根之和，由几何关系可知为的中点，即可求解出直线的斜率.【详解】设直线方程为，将联立得，设，，即过点分别向准线作垂线，垂足为,又因为，所以,即,所以为的中点，即，所以得，则，解得，所以直线的斜率为，故选：A.8．某高科技企业为一科技项目注入启动资金1000万元作为项目资金，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，则的最小值为（，）（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由已知分析出递推关系，结合等比数列的定义即可得出，然后解指数不等式，结合对数运算性质即可求解.【详解】由题意设经过年后，该项目资金为万元，则，且，得，得，所以令，得，所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻一番的目标.故选：B二、多选题9．已知曲线（或），则（

）A．曲线可表示椭圆B．曲线为双曲线C．，则曲线的焦点坐标为D．，则曲线的渐近线方程为【答案】BD【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程和性质求解即可.【详解】若表示椭圆，则，此时无解，选项A错误；因为或，则，所以曲线为双曲线，选项B正确；当时，曲线表示焦点在轴的双曲线，所以焦点坐标为，渐近线方程为，选项C错误D正确；故选：BD10．已知等差数列的前项和为,公差为,,,则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先将等差数列的前项和公式代入,中,求出公差、首项,进而求得,从而判断选项A,B,C的正误;根据进行放缩,利用裂项相消即可判断选项D的正误.【详解】解:因为为等差数列,且,,所以,解得,所以,故选项A,B正确;因为,所以,故选项C错误;因为,所以,所以,故选项D正确.故选:ABD11．已知正四棱柱的底面边长为2，，点在棱上，点在棱上，则以下说法正确的是（

）A．若为中点，存在点，B．若为中点，存在点，平面C．若，分别为，的中点，则与平面所成的角的余弦值为D．若，分别为，的中点，则到平面的距离为【答案】BCD【分析】利用空间向量进行判断，垂直转化为数量积问题，线面平行结合判定定理来验证，线面角通过法向量来求解，线面距转化为点面距求解.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则.对于A，为中点，，设，,则，若，则，解得（舍），所以A不正确.对于B，为中点，由正四棱柱的性质可得，平面，平面，所以平面，即当在处时，满足题意，所以B正确.对于C，，分别为，的中点，，，易知平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，所以，所以，所以C正确.对于D，由上面可知，，;设平面的一个法向量为，则，，令，可得；因为，平面，所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离，点到平面的距离，所以D正确.故选：BCD.12．已知数列，，满足，，则以下结论正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列为等差数列C．用集合中元素个数，则D．把数列，中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第2023项为4025【答案】ACD【分析】确定，，则，，A正确；，B错误；，C正确；根据确定新数列的第2023项为，D正确，得到答案.【详解】，，当，满足通项公式，故，从而得，对选项A：令，得，正确；对选项B：令，，数列不为等差数列，错误；对选项C：，正确；对选项D：，组成的新数列含有数列的项为2，，，…，，共11项，所以新数列含有数列的项为，，…，故所求新数列的第2023项为，正确.故选：ACD三、填空题13．已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．【答案】【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求解.【详解】因为，，所以，，故答案为：四、双空题14．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点______，______．【答案】

【分析】根据，在曲线上，设出点，的坐标，由，两点连线的斜率得出，的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.【详解】由题意，在中，点，在曲线上，设，，，两点连线的斜率为2，∴，解得：，∴当时，，．故答案为：，.五、填空题15．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，，且，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的正切值为______．【答案】【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过几何关系可得到，，，过作满足，过做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出即可求解【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，由，所以，因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，所以，，得，，因为所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以，过作满足，则即为矩形与平面的交线，过做垂直于点，连接，则即为所求，在中，，由可得，所以，解得，所以矩形与平面所成角的正切值为..故答案为：.16．已知函数，数列的首项，点在函数图象上，若，则整数_____________.【答案】7【分析】将点代入函数得到，变换得到，，根据得到答案.【详解】因为点在函数图像上，所有，得，所以，，，，故恒成立；，故，，，所以，所以.故答案为：六、解答题17．已知正项等比数列中，，.(1)求；(2)若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设的公比为，由求解；由（1）得，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：设的公比为，则有，解得，，所以；（2）由（1）得，所以，因为，所以，所以.18．已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形．(1)求的方程；(2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）设直线方程为，分别解出两点坐标和，利用解出的值即可；（2）设圆的一般方程为，将点代入解方法组即可.【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，，令，得，所以令，得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以，得，解或，当时直线过原点，不满足题意，故直线的方程为或，即或.（2）由题意可知直线的方程为，即，设圆的方程为，将，，代入得，解得，所以所求圆的方程为.19．已知，是椭圆：的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且直线经过线段的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线经过的右焦点与交于，两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由直线过中点得，再将点代入椭圆方程得到方程组，解出即可；（2）首先排除斜率为0的情况，从而设：，联立椭圆得到韦达定理式，根据得到关于的等式，代入韦达定理式，解出即可.【详解】（1）因为，，所以的中点为，直线经过线段的中点，所以，又因为点在椭圆上，故，故可得，，所以（2）若直线的斜率为0时，可得，，易得，故不满足题意；若直线的斜率不为0时，设：，联立，消去得，，，则，，因为，所以，即，得，即得，得，所以或所以直线：或．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.20．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．(1)求证：；(2)求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作于，连接，由平面平面，得到平面，进而得到，然后求得，根据且为中点，利用三线合一证明；（2）以为坐标原点，，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，求得是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，由求解.【详解】（1）如图所示：作于，连接，由平面平面，且平面平面，平面，得平面，平面，所以，因为，，，由勾股定理得，所以，所以，，在中，由余弦定理得：，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得，又且为中点，所以（2）如图，以为坐标原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，设是平面的一个法向量，则，取，得设与平面所成的角为，所以.所以与平面所成的角的正弦值为.21．设为数列的前项和，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，设数列的前项和为，若对恒成立，求和正整数的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)2025【分析】（1）根据，，成等差数列得到，再利用通项和前n项和的关系，得到，进而得到，再分为奇数偶数求解；（2）由，利用错位相减法得到，然后由对恒成立求解.【详解】（1）解：由题意，令，有，当时，得，所以，时有，两式相减得，得，即当时，，，所以，当为奇数时，，当为偶数时，，所以；（2）因为，所以，，两式相减得，所以.，令，得，即，要使得对恒成立，只需，即，故正整数的最大值为2025.22．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，离心率为3，点在上．(1)求的标准方程；(2)已知直线过的右焦点且与的左，右两支分别交于，两点，点是的平分线上一动点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件、双曲线的性质建立方程组求解即可.（2）利用直线与双曲线方