高中三角函数知识点总结

#高中数学-三角函数考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin（sx+©）的图像.正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（sx+©）的简图，理解A.3、©的物理意义.（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.（8）“同角三角函数基本关系式：sin2a+cos2a=l,sina/cosa=tana,tana・cosa=l”.§.三角函数知识要点1.①与a（0°以V360°）终边相同的角的集合（角a与角P的终边重合）:PIp=kx360。+a,keZ②终边在x轴上的角的集合：3sinx2sinx③终边在y轴上的角的集合：iI②终边在x轴上的角的集合：3sinx2sinx③终边在y轴上的角的集合：iIP=kx180。+90。,keZcosxcosx④终边在坐标轴上的角的集合：iIp=kx90。,keZcosxcosx1]s.nx⑤终边在y=x轴上的角的集合：iIP=kx180。+45。,keZ⑥终边在y=-x轴上的角的集合：iIP=kx180。-45。,keZ.14sinx3SIN\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、四象限一半所在区域若角a与角卩的终边关于x轴对称，则角a与角卩的关系：a=360。k-p若角a与角卩的终边关于y轴对称，则角a与角卩的关系：a=360。k+180。-p若角a与角卩的终边在一条直线上，则角a与角卩的关系：a=180。k+p角a与角p的终边互相垂直，则角a与角p的关系：a=360。k+p土90。2.角度与弧度的互换关系：360。=2兀180。=兀1。=0.017451=57.30。=57。18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad=180°~57.30°=57°18、弧度与角度互换公式：1rad=180°~57.30°=57°181°=卫^0.01745180rad)3、弧长公式：l=1qI-r扇形面积公式：s4、三角函数：设a是扇形2个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r,则cosa=x；tana=；x・rcot3、弧长公式：l=1qI-r扇形面积公式：s4、三角函数：设a是扇形2个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r,则cosa=x；tana=；x・rcota=seca=-yxesca=—y5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+A-°ll-x正弦、余割y+x+正切、余切余弦、正割6、三角函数线a的终边sinq=正弦线：MP;余弦线：正切线：AT.7.三角函数的定义域：ylsinx>cos:cc16.几个重要结论⑴>xsx>sinxcosxl>lsinx|sinx|■|sinx|x(2)sinx|⑶若ovxg贝Osinx<x<tanx三角函数定义域f(x)=SinxlxIxeR)f(x)=cosxlxIxeR)f(x)=tanxVxIxeR且x丰k兀+丄兀,keZ〔一2、J1f(x)=cotx11xeR且x工k冗,keZ1f(x)=secxVxIxeR且x丰k兀+丄兀,keZ12J1f(x)=cscxaIxeR且x丰k冗,keZJ8、同角三角函数的基本关系式：sinaaeosa=tana=cotacosasinatana-cota=1csca-sina=1seca-cosa=1sin2a+cosza=1sec2a-tan2a=1esc2a-cot2a=19、诱导公式：把—±a的三角函数化为a的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系sinx•cscx=1tanx=sinxsin2x+cos2x=1cosxcosx・secx=1i："1x=cosx221+tan2x=sec2xsinxtanx•cotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五sin(冗+x)=-sinxsin(2冗-x)=-sinxcos(冗+x)=-cosxcos(2k-x)=cosxtan(冗+x)=tanxtan(2冗-x)=-tanxcot(冗+x)=cotxcot(2K-x)=-cotx公式组一公式组二公式组三sin(2kK+x)=sinxsin(-x)=-sinxcos(2k冗+x)=cosxcos(-x)=cosxtan(2kK+x)=tanxtan(-x)=-tanxcot(2kK+x)=cotxcot(-x)=-cotx（二）角与角之间的互换公式组一公式组六sin(冗一x)=sinxcos(冗一x)=-cosxtan(冗一x)=-tanxcot(冗一x)=-cotx公式组二cos(a+P)=cosacosB-sinasinBsin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin(a+B)=sinacosB+cosasinB2tanatan2a一1-tan2asin(a-B)=sinacosB-cosasinB.a.1-cosasin=±22cos(a-B)=cosacosB+sinasinPtan(a+p)=tana+tanB1-tanatanBa.1+cosacos=±22tan(a-B)=tana-tanB1+tanatanBa(1一cosasina1一cosatan=±==21+cosa1+cosasina公式组三2tana.2

sina=—1+tan2a2公式组订丫、zsinacosB=—kinx—+B丿+sinx—-2cosasinB=—Cin(—+B)-sin(—-2B)]B)]公式组五cos(2兀-a)=sina1-tan2—2cosa=—1+tan2a2丄Icos(—+B)+cos(—-BM2—Cos(—+B)-cos(—-B)]a+B—-BcosacosB=sinasinB=-sin(2兀-a)=cosatan(2兀-a)=cotacos(2兀+a)=-sinasina+sinB=2sincos—22a+B.a-卩

sina-sinB=2cossin—

22a+Ba-B

cosa+cosB=2coscos一

22a+B.a-卩

cosa-cosB=-2sinsin—__2-Sinl5。=COS75。'sin75。=cosl5。'tan15°=cot75°=2一'3'tan75。=cotl5°=2+'32tana2tana=—a1—tan2—2tan(2兀+a)=-cotasin(2兀+a)=cosa10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=AsinOox+9)(A、w>0)定义域RR<x1xeR且x丰k-+丄—,keZ>(xIxeR且x丰k-,keZ}R值域[-1,+1][-1,+1]〔2JRRLA,a]周期性2-22-w奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当9工0,非奇非偶当9=0,奇函数单调性-[—+2k-,2-—+2k-]2上为增函数；[—+2k-,23-—+2k-]2上为减函数(keZ)[(2k-lh,2k-]上为增函数[2k-,(2k+1L]上为减函数(keZ)--+k-,-+k-]I22丿上为增函数(keZ)(k-,(k+11)上为减函数(keZ)“-]2k-_—-92(A)(A),w“12k-+_--92(A)(一A)_w」上为增函数；"-]2k-+—-92z1)(A),w“32k-+一--92(』)(—A)_w」上为减函数(keZ)注意：①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=f（x）在［a,b］上递增（减），则y=-f（x）在［a,b］上递减（增）.②y=lsinx与y=Icosx的周期是兀③y=sin@x+*）或y=cosgx+屮）（®工0）的周期T=v®lxtan—2y=的周期为2兀（T兀『T加，如图，翻折无效）.T帀=Txtan—2y=、兀④y=sin@x+*）的对称轴方程是x=k兀+—（keZ）,对称中心（k兀,0）；y=cos（ox+屮）的2k兀对称轴方程是x=航（keZ），对称中心（kn+丄冗0）；y=tangx+9）的对称中心（——,0）.2?2y=cos2x―原点对称=—cos（-2x）=-cos2x兀兀⑤当tana•tanp=1,a+0=k兀+(keZ)；tana•tanp=-1,a-卩=k兀+(keZ)22⑥y=cosx与y==sinfx+-+2k兀]⑥y=cosx与y=I2丿

y=伽）=血驱+kK+2冗）=±co知）⑦函数y=tanx在R上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y=tanx为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x），奇函数：f（-x）=-f（x））奇偶性的单调性：奇同偶反例如：y=tanx是奇函数，y=tan（x+—兀）是非奇非偶•（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若owx的定义域，则f（x）一定有f（0）=0.（0电x的定义域，则无此性质）⑨y=sin|x不是周期函数；y=y=COS&是周期函数（如图）；|sinx为周期函数（T=冗）；y=|cosx为周期函数（T=冗）；xy=lcos2x+1/21图象y=Cos2x+2的周期为"y=coslxl图象如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：y=f(x)=5=f(x+k),keR⑩y=acosa+bsinB=、；a2+b2sin(a+*)+cos*=—有Ja2+b2>|y|a11、三角函数图象的作法：1）、几何法：2）、描点法及其特例一五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y=Asin（sx+申）的振幅|A|,周期空，频率f=丄=叵|，相位®x+9；初相*T=|®|八T=2k（即当x=0时的相位）.（当A>0,s>0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当0V|A|V1）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|«|<1）或缩短（|co|>1）到原来的|丄|倍，得到y=sinox的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用ox替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当申>0）或向右（当申<0）平行移动丨申丨个单位，得到y=sin（x+申）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+p替换

x)由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当bVO）平行移动丨b丨个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（«x+（p）（A>0,3>0）（xWR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数y=sinx,/IxG疋疋j的反函数叫做反正弦函数，记作y函数y=sinx,/IxG1,1],值域是「止圧2‘2函数y=cosx,（xw[o,n]）的反应函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，它的定义域是[—1,1],值域是[0,n].函数y=tanx,//疋巧的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，它的定义域是IX2，21（—8，+^），值域是（止叮.「2‘2丿函数y=ctgx,[xG（0,n）]的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx，它的定义域是（一8,+b）,值域是（0,n）.II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-x）=-arcsinx,x口]（一定要注明定义域，若xG（-g,+J，没有x与y一一对应，故y二sinx无反函数）注：sin(arcsinx)=x注：sin(arcsinx)=xxgI—1,1]arcsinxG冗冗2'2xG1—1,1]⑵反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos(—x)+arccos(x)=冗+2k冗注：①cos(arccosx)=x，xG[-1,1]，arccosxxG1—1,1]②y=cosx是偶函数，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx为奇函数.兀兀y=arctanx是奇函数，⑶反正切函数：y=arctanx，定义域YP），值域（y=arctanx是奇函数，arctan(-x)=-arctanx，xG(-g,+8)注：tan(arctanx)=x,xG(-»,+»)兀兀⑷反余切函数：y=arccotx，定义域(-乜+Q，值域(—一,一)，y=arccotx是非奇非偶.22arccot(一x)+arccot(x)=兀+2k兀,xG(一8,+8)注：①cot(arccotx)=x,xG(一8,+8)②y=arcsinx与y=arcsin(1一x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y=arccosx与y=arccotx非奇非偶但满足arccos(-x)+arccosx=k+2kK,xg[-1,1]arccotx+arccot(-x)=k+,xg[-1,1]・⑵正弦、余弦