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2023年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.设全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x<1},则集合(∁UA)∩B=()A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0] C.(2,+∞) D.[2,+∞)2.若复数z满足z+z•i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sinA=()A. B. C. D.4.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.2 B. C.3 D.25.“a,b,c,d成等差数列”是“a+d=b+c”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=,已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为()A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元7.如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为(m,n),则m=()A.2 B.3 C. D.8.设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x﹣2)2+y2=2,若在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则a的取值范围是()A.[﹣18,6] B.[6﹣5,6+5] C.[﹣16,4] D.[﹣6﹣5,﹣6+5]二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.在二项式的展开式中,常数项等于______.10.设x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值是______.11.执行如图所示的程序框图,输出的S值为______.12.设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,则其离心率为______;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为______.13.如图,△ABC为圆内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC,过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F,若AB=AC=4,BD=5,则=______;AE=______.14.在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影,则称A电影不亚于B电影,已知共有10部微电影参展,如果某部电影不亚于其他9部,就称此部电影为优秀影片,那么在这10部微电影中,最多可能有______部优秀影片.三、解答题(共6小题,满分80分)15.已知函数f(x)=(1+tanx)cos2x.(1)若α为第二象限角,且sina=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的定义域和值域.16.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人,为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分成抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a的值;(2)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.17.如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点,将正方形ABCD沿着线段EF折起,使得∠DFA=60°,设G为AF的中点.(1)求证:DG⊥EF;(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值;(3)设P,Q分别为线段DG,CF上一点,且PQ∥平面ABEF,求线段PQ长度的最小值.18.设a∈R,函数f(x)=.(1)若函数f(x)在(0,f(0))处的切线与直线y=3x﹣2平行,求a的值;(2)若对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)<f(x1),求a的取值范围.19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点B(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段EF为直径的圆内,求m的取值范围.20.已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+ak•20,其中a0=1,a1,a2,…,ak∈{0,1},k∈N.对于n∈N*,数列{bn}满足:当a0,a1,…,ak中有偶数个1时,bn=0;否则bn=1,如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20,则b5=0.(1)写出数列{bn}的前8项;(2)求证:数列{bn}中连续为1的项不超过2项;(3)记数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn=1026的所有n的值.(结论不要求证明)2023年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.设全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x<1},则集合(∁UA)∩B=()A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0] C.(2,+∞) D.[2,+∞)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据全集U=R求出A的补集,再求A的补集与B的交集即可.【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|0<x<2}=(0,2),B={x|x<1}=(﹣∞,1),∴∁UA=(﹣∞,0]∪[2,+∞);∴(∁UA)∩B=(﹣∞,0].故选:B.2.若复数z满足z+z•i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由z+z•i=2+3i,得,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出在复平面内z对应的点的坐标,则答案可求.【解答】解:由z+z•i=2+3i,得=,则在复平面内z对应的点的坐标为:(,),位于第一象限.故选:A.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sinA=()A. B. C. D.【考点】正弦定理.【分析】由内角和定理及诱导公式知sin(A+B)=sinC=,再利用正弦定理求解.【解答】解:∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC=,又∵a=3,c=4,∴=,即=,∴sinA=,故选B.4.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.2 B. C.3 D.2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥,由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长.【解答】解:根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,AD⊥AB、AD∥BC,AD=AB=2、BC=1,PA⊥底面ABCD,且PA=2,∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3,故选:C.5.“a,b,c,d成等差数列”是“a+d=b+c”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由a,b,c,d成等差数列,可得:a+d=b+c,反之不成立:例如a=0,d=5,b=1,c=4.即可判断出结论.【解答】解:由a,b,c,d成等差数列,可得:a+d=b+c,反之不成立:例如a=0,d=5,b=1,c=4.∴“a,b,c,d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件.故选:A.6.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=,已知某家庭今年前三个月的煤气费如表月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气,则其煤气费为()A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元【考点】函数的值.【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值,求出f(x)的表达式,从而求出f(20)的值即可.【解答】解:由题意得:C=4,将(25,14),(35,19)代入f(x)=4+B(x﹣A),得:,解得,∴f(x)=,故x=20时:f(20)=11.5,故选:A.7.如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为(m,n),则m=()A.2 B.3 C. D.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】根据题意,设出A、B、C的坐标,由线段BC∥y轴,△ABC是等边三角形,得出AB、AC与BC的关系,求出m、n的值,计算出结果.【解答】解:根据题意,设B(x0,2+log2x0),A(m,n),C(x0,log2x0),∵线段BC∥y轴,△ABC是等边三角形,∴BC=2,2+log2m=n,∴m=2n﹣2,∴4m=2n;又x0﹣m=,∴m=x0﹣,∴x0=m+;又2+log2x0﹣n=1,∴log2x0=n﹣1,x0=2n﹣1;∴m+=2n﹣1;2m+2=2n=4m,∴m=,故选:D.8.设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x﹣2)2+y2=2,若在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,则a的取值范围是()A.[﹣18,6] B.[6﹣5,6+5] C.[﹣16,4] D.[﹣6﹣5,﹣6+5]【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解.【解答】解:圆C:(x﹣2)2+y2=2,圆心为:(2,0),半径为,∵在圆C上存在两点P,Q,在直线l上存在一点M,使得∠PMQ=90°,∴在直线l上存在一点M,使得M到C(2,0)的距离等于2,∴只需C(2,0)到直线l的距离小于或等于2,故≤2,解得﹣16≤a≤4,故选:C.二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.在二项式的展开式中,常数项等于160.【考点】二项式定理.【分析】展开式的通项为=,要求常数项,只要令6﹣2r=0可得r,代入即可求【解答】解:展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为:16010.设x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值是.【考点】简单线性规划.【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合函数图象求出z的最大值即可.【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:由,解得A(,),由z=x+3y得:y=﹣x+,显然直线过A时,z最大,z的最大值是z=+3×=,故答案为:.11.执行如图所示的程序框图,输出的S值为.【考点】程序框图.【分析】根据所给数值执行循环语句,然后判定是否满足判断框中的条件,一旦满足条件就退出循环,输出结果.【解答】解:模拟执行程序,可得i=2,S=1S=,i=3满足条件i<10,执行循环体,i=5,S==,i=6满足条件i<10,执行循环体,i=11,S=×=,i=12不满足条件i<10,退出循环,输出S的值为.故答案为:.12.设双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,则其离心率为;若点(4,2)在C上,则双曲线C的方程为.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线渐近线和a,b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小,利用待定系数法求λ,即可得到结论.【解答】解:∵双曲线C的焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,∴=,即==e2﹣1=,则e2=,则e=,设双曲线方程为﹣y2=λ,λ>0,∵若点(4,2)在C上,∴λ==8﹣4=4,即双曲线方程为﹣y2=4,即,故答案为:13.如图,△ABC为圆内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC,过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F,若AB=AC=4,BD=5,则=;AE=6.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】利用平行线的性质,求出;利用弦切角定理、切割线定理,求AE.【解答】解:∵BD∥AC,AC=4,BD=5∴==.由弦切角定理得∠EAB=∠ACB,又因为,AB=AC,所以∠EAB=∠ABC,所以直线AE∥直线BC,又因为AC∥BE,所以是平行四边形.所以BE=AC=4.由切割线定理,可得AE2=EB•ED=4×(4+5)=36,所以AE=6.故答案为:;6.14.在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影,则称A电影不亚于B电影,已知共有10部微电影参展,如果某部电影不亚于其他9部,就称此部电影为优秀影片,那么在这10部微电影中,最多可能有10部优秀影片.【考点】进行简单的合情推理.【分析】记这10部微电影为A1﹣A10,设这10部微电影为先退到两部电影的情形,若A1的点播量>A2的点播量,且A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀影片最多可能有2部,以此类推可知:这10部微电影中,优秀影片最多可能有10部.【解答】解:记这10部微电影为A1﹣A10,设这10部微电影为先退到两部电影的情形,若A1的点播量>A2的点播量,且A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀影片最多可能有2部;再考虑3部电影的情形,若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量,且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀影片最多可能有3部.以此类推可知:这10部微电影中,优秀影片最多可能有10部.故答案为:10.三、解答题(共6小题,满分80分)15.已知函数f(x)=(1+tanx)cos2x.(1)若α为第二象限角,且sina=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的定义域和值域.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域.【分析】(1)由α为第二象限角及sina的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值,再代入f(α)中即可得到结果.(2)函数f(x)解析式利用二倍角和辅助角公式将f(x)化为一个角的正弦函数,根据x的范围,即可得到函数值域.【解答】解:(1)∵α为第二象限角,且sina=,∴cosα=﹣,∴tanα=﹣,∴f(α)=(1+tanα)cos2α=(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},化简f(x)=sin(2x+)+,∵x≠kπ+,k∈Z∴2x+≠2kπ+,k∈Z∴﹣1≤sin(2x+)≤1∴﹣≤f(x)≤∴f(x)的值域为[﹣,]16.某中学有初中学生1800人,高中学生1200人,为了解学生本学期课外阅读时间,现采用分成抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们课外阅读时间,然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组,再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],并分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a的值;(2)试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数;(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人,并用X表示其中初中生的人数,求X的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)根据频率频率直方图的性质,可求得a的值;(2)由分层抽样,求得初中生有60名,高中有40名,分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数,求和;(3)分别求得,初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数,写出X的取值及概率,写出分布列和数学期望.【解答】解:(1)由频率直方图的性质,(0.005+0.02+a+0.04+0.005)×10=1,a=0.03,(2)由分层抽样可知:抽取的初中生有60名,高中有40名,∵初中生中,阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)×10=0.25,∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人,同理,高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)×10=0.035,学生人数约为0.35×1200=420人,所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870,(3)初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05,样本人数为0.05×60=3人,同理,高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2,故X的可能取值为:1,2,3,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴X的分布列为:X123P∴E(X)=1×+2×+3×=.17.如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为BC,DA的中点,将正方形ABCD沿着线段EF折起,使得∠DFA=60°,设G为AF的中点.(1)求证:DG⊥EF;(2)求直线GA与平面BCF所成角的正弦值;(3)设P,Q分别为线段DG,CF上一点,且PQ∥平面ABEF,求线段PQ长度的最小值.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质;点、线、面间的距离计算.【分析】(1)由矩形性质得出EF⊥DF,EF⊥AF,故EF⊥平面AFD,得出EF⊥DG;(2)证明DG⊥平面ABEF,以G为原点建立空间直角坐标系,求出和平面BCF的法向量的坐标,则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos<>|;(3)设P(0,0,k)(0≤k≤),=λ(0≤λ≤1),求出的坐标,令=0得出k与λ的关系,得出||关于λ的函数,根据λ的范围求出函数的最小值.【解答】(1)证明:∵E,F分别正方形ABCD的边BC,DA的中点,∴EF⊥DF,EF⊥AF,又DF⊂平面ADF,AF⊂平面ADF,DF∩AF=F,∴EF⊥平面ADF,∵DG⊂平面ADF,∴DG⊥EF.(2)∵DF=AF,∠DFA=60°,∴△ADF是等边三角形,∵G是AF的中点,∴DG⊥AF.又EF⊥DG,EF,AF⊂平面ABEF,AF∩EF=F,∴DG⊥平面ABEF.设BE中点为H,连结GH,则GA,GD,GH两两垂直,以G为原点,以GA,GH,GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则G(0,0,0),A(1,0,0),B(1,4,0).C(0,4,),F(﹣1,0,0).∴=(1,0,0),=(﹣1,0,),=(﹣2,﹣4,0).设平面BCF的法向量为=(x,y,z),则,∴,令z=2得=(2,﹣,2).∴=2,||=,||=1.∴cos<,>==.∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为.(3)设P(0,0,k)(0≤k≤),=λ(0≤λ≤1),则=(1,0,k),=(1,4,),∴=(λ,4λ,λ),∴=(λ﹣1,4λ,λ﹣k).∵DG⊥平面ABEF,∴=(0,0,)为平面ABEF的一个法向量.∵PQ∥平面ABEF,∴,∴=()=0,∴k=.∴||===.∴当λ=时,||取得最小值.18.设a∈R,函数f(x)=.(1)若函数f(x)在(0,f(0))处的切线与直线y=3x﹣2平行,求a的值;(2)若对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)<f(x1),求a的取值范围.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,解方程可得a的值;(2)对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)<f(x1),即为f(x)在x≠﹣a不存在最小值,讨论a=0,a>0,a<0,求得单调区间和极值,即可得到a的范围.【解答】解:(1)函数f(x)=的导数为f′(x)=,x≠﹣a,可得函数f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为,由题意可得=3,解得a=±1;(2)对于定义域内的任意x1,总存在x2使得f(x2)<f(x1),即为f(x)在x≠﹣a不存在最小值,①a=0时,f(x)=无最小值,显然成立;②a>0时,f(x)的导数为f′(x)=,可得f(x)在(﹣∞,﹣a)递减;在(﹣a,3a)递增,在(3a,+∞)递减,即有f(x)在x=3a处取得极大值,当x>a时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.取x1<a,x2≠﹣a即可,当x1<﹣a时,f(x)在(﹣∞,﹣a)递减,且x1<x1+|x1+a|<﹣a,f(x1)>f(x1+|x1+a|),故存在x2=x1+|x1+a|,使得f(x2)<f(x1);同理当﹣a<x1<a时,令x2=x1﹣|x1+a|,使得f(x2)<f(x1)也符合;则有当a>0时,f(x2)<f(x1)成立;③当a<0时,f(x)在(﹣∞,3a)递减;在(3a,a)递增,在(﹣a,+∞)递减,即有f(x)在x=3a处取得极小值,当x>a时,f(x)>0;x<a时,f(x)<0.f(x)min=f(3a),当x1=3a时,不存在x2,使得f(x2)<f(x1).综上可得,a的范围是[0,+∞).19.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点B(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,点B关于原点的对称点为D,若点D总在以线段EF为直径的圆内,求m的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.【分析】(1)由题意列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=0,|EF|=2,点B在椭圆内,由,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围.【解答】解:(1)由题意,得,又∵a2=b2+c2,解得a=,b=1,c=1,∴椭圆C的方程为.(2)当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x=0,此时,E,F为椭圆的上下顶点,且|EF|=2,∵点D总在以线段EF为直径的圆内,且m>0,∴0<m<1,∴点B在椭圆内,由方程组,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0,∵直线l与椭圆C有两个公共点,∴△=(4km)2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)>0,设E(x1,y1),F(x2,y2),则,,设EF的中点G(x0,y0),则,,∴G(,),∴|DG|==,|EF|==,∵点D总位于以线段EF为直径的圆内,∴|DG|<对于k∈R恒成立,∴,化简,得2m2k2+7m2k2+3m2<2k4+3k2+1,整理,得,而g(k)==1﹣≥1﹣=,当且仅当k=0时,等号成立,∴m2,由m>0,.解得0<m<,∴m的取值范围是(

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