2023年高考最后一轮复习微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究（解析版）

微专题21圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究【秒杀总结】1、基本思路（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证.（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），由此得出问题的结论.（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.2、技巧总结（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在.（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，然后得出结论.【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l1是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线l2：，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2．(1)求抛物线C的方程；(2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线C的焦点为，由抛物线定义知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，显见d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离，故，解之得或（舍）所以抛物线C的方程为x2＝4y．（2）由（1）知直线l1的方程为，当点M在特殊位置时，显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上．故设M，N，，，抛物线C的方程为，求导得，所以切线MP1的斜率，直线MP1的方程为，又点M在直线MP1上，所以，整理得，同理可得，故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，由韦达定理得，，可见n＝1时，恒成立，所以存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立．例2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点（t≠1），问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值，若不存在，说出理由．【解析】（1）设点M的坐标，点M在线段AB上，满足，∴，，故，，因为，∴，解得：a＝2，∴椭圆E的方程；（2）设直线l方程：，代入，得，设，则，，假设存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B，则．∴，，即，得，整理得，∵，∴，故当时，符合题意．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为.(1)求双曲线的方程；(2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点.①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.②证明：直线恒过定点.【解析】（1）由题意知，直线的斜率为，设，由题意，两式相减得：，整理得：，即，又，所以，即双曲线，经检验满足题意.（2）①因为的斜率存在且，设，，联立，消去整理得：，由题意得，解得又，设直线，联立，整理得，由韦达定理得，又，，于是，故，同理可得，，，为定值，所以的值②由①知（*），由对称性知过的定点在轴上，在（*）令，得，解得直线恒过定点例4．（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设M是直线l：上的一个动点，连结，交椭圆Γ于N（）．直线l与x轴的交点为P，且M不与P重合．(1)若M的坐标为，求四边形的面积；(2)若PN与椭圆Γ相切于N且，求的值；(3)作N关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由椭圆方程可得，∴，，，∴直线为，联立，整理可得：，解得或，由，可得，∴，∴；（2）由于直线PN的斜率必存在，则设直线PN的方程：，与椭圆方程联立，可得：，由相切得，得，且，即，故，，故，解得，而，所以，满足，所以，可得x轴，所以；（3）由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知，四边形是平行四边形，则与平行，故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，由直线斜率，则直线的方程为：，即，当时，由，可得，代入，可得，而，两式联立可得：，解得：或（舍），代入椭圆的方程可得，所以，所以直线的方程为：例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得a＝3b，故椭圆C为，又点在C上，所以，得，，故椭圆C的方程即为；（2）由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，联立两个方程得，消去x得：，得，设，，则（*），，将（*）代入上式，可得：，要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，此时，∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.例6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，，，，由椭圆定义知，即，又，所以椭圆的标准方程为.(2)存在满足题意的直线.由题知直线的斜率存在，设的方程为，，，联立，整理得，其中，，∵，∴，即，化简得：，即，解得，或.当时，直线经过点，不满足题意，故舍去.所以存在直线满足题意，其方程为.例7．（2023·全国·高三专题练习）圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形【解析】（1）设点在圆上，故有，设，又，可得，，即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：.（2）根据题意，可设直线的方程为，取，可得，，可得直线的方程为，直线的方程为联立方程组，可得交点为；若，，由对称性可知交点，若点在同一直线上，则直线只能为：上，以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上.由，整理得设，，则，设与交于点，由，可得设与交于点，由，可得，因为，因为，即与重合，所以当变化时，点均在直线：上，因为，，所以要使恒为等腰三角形，只需要为线段的垂直平分线即可，根据对称性知，点.故存在定点满足条件.【过关测试】1．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)设过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A，B两点，求证：在曲线C上存在点P，使得直线的斜率成等差数列.【解析】（1）设，由题意，得，两边平方并整理，得.故所求C的方程为.（2）证明：C的方程为当直线l的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，存在C上的点，使，显然直线的斜率成等差数列；当直线l的斜率存在且不为0时，可设直线l的方程为，联立消去x，得.设，则.若存在点满足条件，则，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以.所以，将代入得，整理得，因为，所以，代入，得.此时，存在C上的点，使得直线的斜率成等差数列.综上，存在C上的点P使得直线的斜率成等差数列.2．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知双曲线：（，）与双曲线的渐近线相同，点在上，为的右焦点．(1)求的方程；(2)已知是直线：上的任意一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．【解析】（1）依题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入得，∴，∴双曲线：．（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去，得，由，得，①∴，，即切点的坐标为，以为直径的圆恒过点，则，又的坐标为，，，，∴，化简，得，上式对满足①式任意的，成立，则．故存在直线满足题设条件．3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设双曲线的右焦点，则点到渐近线的距离为，即，解得，又渐近线方程为，即，且，解得，，所以双曲线方程为.（2）设，AB的中点为因为，是上不同的两点，中点的横坐标为2．所以，得，当存在时，，因为AB的中垂线为直线l，所以，即，所以过定点，当不存在时，，关于轴对称，的中线为轴，此时也过，所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值．4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知椭圆：的长轴为4，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）因为椭圆：的长轴为4，离心率为，所以，解得，，故，所以椭圆的方程为（2）设，，：，则，，，则①，联立与，消去得，则，得，代入①得则当即时，为定值5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点为，，上、下端点为，.若从，，，中任选三点所构成的三角形均为面积等于2的直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)如图，过点作两条不重合且，斜率之和为2的直线分别与椭圆交于，，，四点，若线段，的中点分别为，，试问直线是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.【解析】（1）解法一：从，，，中任选三点可构成四个三角形，其中，.为此仅需考虑，为面积等于2的直角三角形即可.其中，.因为为等腰三角形，故可得，即有：；同时因为为等腰三角形，故可得，即有：；综上可得：，，即可得椭圆的方程为.解法二：由椭圆的对称性，结合已知条件可知从，，，中任选三点所构成的三角形，均为等腰直角三角形，故四边形是面积为4的正方形，又正方形的边长为，故，即又正方形的对角线相等，所以，即又因为，所以从而椭圆的方程为.（2）解法一：依题意，设直线的方程为：①设直线的方程为：，联立方程①与椭圆的方程可得由韦达定理得，根据中点公式可得：则，即同理可得：从而直线的斜率为：故直线的方程为：因为，将代入上式可得：故直线必过定点.解法二：依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：①，设直线的方程为：②，设直线的方程为：，联立方程②与椭圆的方程可得由韦达定理得根据中点公式可得：同时点是直线和直线的交点，联立方程①②得即可得，整理得④同理可得⑤根据④⑤可以理解为，为关于的一元二次方程的两个根.由韦达定理可得：，即可得：，∴直线的方程为：，故直线必过定点.6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，且离心率是.(1)求椭圆的方程和短轴长；(2)已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知椭圆过点，且离心率是，则，且，故椭圆的方程为，短轴长为.（2）假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为，此时为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点为顶点的等腰三角形；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，当直线与椭圆C有两个不同的交点时，

该方程，整理得，设，则，所以，设的中点为点D，则，即，则,当时，斜率不存在，此时的斜率k为0，不满足，故，由题意可知,即，解得或，由于，故或不适合题意，综合以上，存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形.7．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知圆上的动点P在y轴上的投影为Q，动点M满足．(1)求动点M的轨迹方程C；(2)动直线与曲线C交于A，B两点，问：是否存在定点D，使得为定值，若存在，请求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，，则，由得，即，将代入得，即，所以动点M的轨迹方程；（2）设，，，联立得，所以，因为为定值所以，即，所以存在定点，使得为定值.8．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8.(1)求椭圆的方程；(2)直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）点到两个焦点的距离之和为8，故，,椭圆的方程为，代入，可得，解得，故椭圆的方程为：（2）由题意，设，联立直线与椭圆的方程，可得，，整理得，，化简得，，故；，，又，可设直线：，设直线：，故，，若线段的垂直平分线经过点，必有，故有，整理得，，化简得，，得到，，，，，，，利用韦达定理，得，，，，，，，当时，，此时，直线为：，故令，则必有，满足，此时，满足题意的直线为：（答案不唯一）9．（2023秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．(1)求椭圆C的标准方程(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，，四边形OMPN的周长为，，，，椭圆C的标准方程为．（2）设，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入，整理得，则，．易知，，化简得，或(舍去)，直线l的方程为，即，直线l过定点．当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此时直线l过点．综上，直线l过定点．10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得为定值?若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）方法一：设，，则.当直线经过点，A时，由的面积为，到的距离为，得①，同时得，即②.联立①②，结合，解得，，或，，.因为为钝角三角形，所以，所以，，.故椭圆C的标准方程为.方法二：设，，，则经过，A两点时直线的方程为，即.因为点到直线的距离为，所以①，②因为为钝角三角形，所以为钝角，所以.所以，即③.联立①②③式及得，，.故椭圆C的标准方程为.（2）方法一：由题意设直线的方程为，联立消元得.当，即时满足题意.设，，则，.，若为定值，则上式与无关，故，得，此时.又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立.经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.方法二：由题意设直线的方程为，联立消元得.当，即时满足题意.设，，则，.所以,所以.因为上式为定值，所以上式与无关.所以，得.此时.又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立.经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为.(1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；(2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；(3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意得即，所以离心率.（2）由题意得椭圆①当时，由对称性得.②当时，，故，设，由得，两式作差得，代入椭圆方程，得（负舍），故③当时，根据椭圆对称性可知.（3）由题意得椭圆.设直线，由得.设，则，，，由，得.12．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左右焦点分别为，右顶点为为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中(1)求椭圆的离心率的取值范围(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，，，由可得：代入可得：，，∴，∴，即，故，；（2）当时，可得：，双曲线方程为，设，当⊥轴时，，，，∵，，所以，下面证明对任意点均使得成立，考虑，，由双曲线方程，可得：，，，，结论得证，时，恒成立.13．（2023·高三课时练习）已知曲线，过点作直线和曲线交于A、B两点．(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；(2)若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；(3)过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由．【解析】（1）曲线的焦点为,渐近线方程,由对称性,不妨计算到直线的距离，.（2）设,,从而,又因为点在第一象限,所以,从而,所以直线倾斜角的取值范围是;（3）当直线,直线，,,.当直线,直线时,，不妨设,与双曲线联立可得,由弦长公式,，将替换成,可得，由,可得解得,此时成立.因此满足条件的集合为.14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，点满足，记点的轨迹为，(1)求轨迹的方程；(2)若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于、两点．①过、作轴的垂线、，垂足分别为、，记，试确定的取值范围；②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）由，知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．，，，故，轨迹方程为．（2）直线的方程为，，得，设，，，，由条件得，解得，即．①，由条件，故，故，因为，因此．②设存在点满足条件，由，得对任意恒成立，所以，解得，因此存在定点满足条件．15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．(1)求双曲线的方程；(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）原点到直线的距离，，，双曲线的方程为；（2）假设存在点满足条件，①当直线方程为时，则，；②当直线方程不是时，可设直线，代入整理得，由得，设方程的两个根为，，满足，，当且仅当时，为定值1，解得，不满足对任意，，不合题意，舍去．而且满足；综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值1．16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为，，短轴长为．点在椭圆上，且满足△的周长为6．(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意知：，解得，椭圆方程为：.（2）设，，，，，当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立，得，则，，又，而为定值．只需，解得：，从而．当不存在时，，当时，，综上所述：存在，使得．17．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右顶点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线交于点，，设直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求曲线的方程；(2)动点，在曲线上，已知点，直线，分别与轴相交的两点关于原点对称，点在直线上，，证明：存在定点，使得为定值．【解析】（1）当轴时，把代入双曲线方程中，得，设，，，

所以，得，

所以的方程：；（2）证明：设直线的方程为，，，，整理得，则，，，

直线，分别与轴相交的两点为，，∴直线方程为，令，则，同理，可得∴

∴∴∴∴∴，当时，，此时直线方程为恒过定点，显然不可能，∴，直线方程为，恒过定点

∵，设中点为，∴∴为定值，∴存在使为定值．18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆经过两点，，过点的动直线