高三数学数列放缩法

^=—=-5^=—=-5数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩,二是先放缩再求和.一•先求和后放缩例1.正数数列仏」的前总项的和筑,满足2賦叫+\,试求：（1）数列仏」的通项公式；虬=a1卫-（2）设气线+i，数列的前总项的和为，求证：2解：（1）由已知得，用时，，作差得：4吗！二%+2碍!-aH_i一2珀一1，所以（仏+&—）（%-口皆1一2）二0，又因为为正数数列，所以叭-7=2，即3」是公差为2的等差数列，由2低二©+1，得眄=1,所以理二曲-1(2)丽需而冷吕-占），所以(2)丽需而冷吕-占），所以111\2^+r2-2(2«+1)2注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前总项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列依』满足条件弧+1-比二了4））求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.二•先放缩再求和1•放缩后成等差数列，再求和例2.已知各项均为正数的数列仪』的前"项和为凡，且⑴求证：.2丄.2b①十“林1;（2）求证：

2解：（1）在条件中，令用=1,得，丁眄®二1，又由条件有，上述两式相减，注意到厲+1二汕+i-也得H沁「-比+1+口卅＞0•吗+L■比二1二心+1)所以,吗二1+lx@-1)二旳H_所以,占+1髭，所以占+1髭，所以（2）因为23円+1<——+——q——+J272忑2.放缩后成等比数列,2.放缩后成等比数列,再求和例3.（1）设a,n£N*,a±2,证明：八一（—町5（小「护1=~~1证明：B<2.n（2）等比数列｛aN｝中，前n项的和为A”，且A7，A1证明：B<2.n一做，数列｛Bn｝前n项的和为Bn，解:（1）当n为奇数时，an三a，于是，~当n为偶数时，a—121,且an^a2，于是Q*=（茂十1）仏一1）•必"二（僅十1）Q*=（茂十1）仏一1）•必"二（僅十1）•◎(2)：..儿_舛=片+务斗一凡=_务吗+坷(2)：..儿_舛=片+务斗一凡=_务吗+坷7,・・・公比1…厂芒T…

A111<+Hp3-23-223-2a3.瓦二垃+®+…妇丄（1-—）丄（1-—）显（1一丄）崇[—丄32™3例4•已知数列S满足：廿1,叫十】二（1+和讥二心…）.求证:±3—莎亍>0，即玉+1所以数列血｝为递增数列，所以%"二'>2L_2H累加得：2兀―1—a,2—+—-+…+—1222>0，即玉+1所以数列血｝为递增数列，所以%"二'>2L_2H累加得：2兀―1—a,2—+—-+…+—12222B_112=——H-―—+■・・T222肖-1，所以钗12肖—1=十+■■■+22252H，两式相减得:111~2+2^+?+"，+1挖-1尹-亍,所以=2-^±1，所以44.放缩后为裂项相消，再求和例5.在m（m±2）个不同数的排列PfyP中,12n故得若iWiVjWm时P>P（即前面某数大于后面某数）则称P.与P.构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数ij记排列S+1加也-1）…艾1的逆序数为a,如排列21的逆序数1",排列321的逆序数(1)求a4、a5,(1)求a4、a5,并写出a的表达式;45n(2)，证明山詛+6+•吨<划+\〃=1,2，….(2)因为旳+2宀——+>2aK程+2«札二旦+空二2+J丄'=1*又因为所以宀…"所以宀…"222^+3——<2^+3皿十1k-\-2综上2总uh\+b?+…虬<2«+3,?^=A,2,■■■肌去一1）配注：常用放缩的结论：（1肌去一1）配注：常用放缩的结论：（1）匸币—肌£+1）审“在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论屈、2忑为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型,则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论总十1世十？为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可.虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条