信号与系统 傅里叶变换基本性质

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3.3傅立叶变换的基本性质对称性线性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性频移特性时域微分频域微分时域积分频域积分卷积定理

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一、对称性1.f(t)F()F(t)2f()

1证明：f(t)2

1F()edf(t)2jt

F()ejtd

变量互换2f()

F(t)ejtdtF(t)2f()

2.若f(t)f(t),则f(t)F()F(t)2f()

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信号与系统—signalsandsystems[例1]:求Gc()的逆变换

解：

f(t)F(),

Gc(t)csa(

c2

)

偶函数F(t)2f(),f()

tF(t)csa(c)222

cSa(ct)G2()[u(c)u(c)]c

矩形脉冲的频谱为Sa函数，Sa形脉冲的频谱必为矩形函数

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信号与系统—signalsandsystems[例2]:求()的逆变换解：f(t)F(),

(t)1

偶函数

F(t)1F(t)2f(),()22

直流信号的频谱冲激函数，冲激函数频谱必为常数

二、线性fi(t)Fi()aifi(t)aiFi()i1i1nn

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三、奇偶虚实性1.f(t)为任意函数

①基本定义i)f(t)F()f(t)ejtdtii)F()F()ej()R()jX()X()iii)F()R()X(),()arctgR()f(t)f(t)iv)fe(t)2v)fo(t)f(t)f(t)2vi)f(t)fr(t)jfi(t)22

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信号与系统—signalsandsystems②基本性质

i)f(t)F()

1jt证明：f(t)F()ed211jtf(t)F()ed221jutF(u)edu2f(t)F()

F(u)ejutd(u)

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ii)f*(t)F*(),f*(t)F*()证明:1f*(t)212

F*()e

jt

1d2

F*(u)ejutd(u)

F*(u)ejutdu

f*(t)F*()

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ystems11iii)fe(t)[F()F()],fo(t)[F()F()]22证明：iii)Fe()

f(t)f(t)jt1edt[F()F()]221Fo()[F()F()]

2

实信号

Fe()R()

Fo()jX()

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信号与系统—signalsandsystems11iv)fr(t)[F()F*()],fi(t)[F()F*()]22j证明:iv)f(t)F(),f*(t)F*()

f(t)f*(t)1[F()F*()]221fr(t)[F()F*()]2

f(t)f*(t)1fi(t)[F()F*()]2j2j

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信号与系统—signalsandsystemsf(t)为实函数2.①实函数偶幅度奇相位，实部偶，虚部奇

i)F()

f(t)e

jt

dt

f(t)costdtj

f(t)sintdt

ii)R()

f(t)costdt,X()

f(t)sintdt

R()R(),X()X()iii)F()F*()F()F(),()()

f(t)实偶F()实偶②特例：f(t)实奇F()虚奇③特例：

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信号与系统—signalsandsystems3.f(t)为虚函数①虚函数偶幅度奇相位，实部奇，虚部偶i)f(t)jg(t),则F()ii)R()

g(t)sintdtj

g(t)costdt

g(t)sintdt,X()

g(t)costdt

R()R(),X()X()iii)F()F(),()()②特例：f(t)虚偶F()虚偶③特例：f(t)虚奇F()实奇

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信号与系统—signalsandsystemsate(t0)的F(),(a0)[例3]:求f(t)ate(t0)

解：F()

0

ee

atjt

dtee0

atjt

/2(0)F()2,()2a/2(0)f(t)

2

2jdt2a2

10

eatt-1

1a

F()

f(t)实奇F()虚奇哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

eat

a0a

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四、尺度变换特性1f(t)F()f(at)F()1.aajt证明：[f(at)]f(at)edt

(a0)

jx11adxF()当a0时，[f(at)]f(x)eaaajx1

1adxF()当a0时，[f(at)]f(x)eaaa

令xat

1f(at)F()aa哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

信号与系统—signalsandsystemsa1f(t)F()2.3.含义i)时域压缩频域扩展ii)时域扩展频域压缩iii)时域反褶频域反褶

(能量守恒)

物理解释：信号波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，所以包含的频率分量增加a倍，即频谱展宽a倍；根据能量守恒定理，各频率分量的大小必然减小a倍

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信号与系统—signalsandsystems1f(t)12

22F(2)

0

t

0

1

f(t)

G(t)Sa(t2f(2t)

2

)

0

F()

2

02

1

044

1F()2242

t

0

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信号与系统—signalsandsystems4.等效脉冲宽度等效带宽

设当t,时,

f(t)0,F()0

通信系统中，通信11jtf(t)F()edf(0)F()d速度与占22用频带宽定义为等效脉冲宽度，B为等效带宽，则度的矛盾F()f(t)f(0)f(0)F(0)F(0)F(0)B2f(0)2BtBf(t)ef(t)dt哈尔滨工业大学自动化测试与控制系

F()

jt

dtF(0)

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五、时移特性1.f(t)F()f(tt0)F()e证明:[f(tt0)]f(tt0)ejt

jt0

dt

xtt0

f(x)ej(xt0)dx

e

jt0

f(x)ejxdxF()ejt0

同理f(tt0)F()ejt0001ja1ja,f(att0)F()e2.f(att0)F()eaaaa

t

t

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信号与系统—signalsandsystems[例