向量值映照积分学00体积分换元公式含广义

1.2.ΩRm为开集,且为允许集（Ω∂Ω为零测集）,Ω|Ω|=lim

Ω为允许集,∫

dx

2:Ω χΩ(x)dx|

P|→0 1-网格,I(α)Ω,χ(ξ(α)|I(α)|=|I(α)|.I(α nχΩ(ξ(α))=0.n χΩ(ξ(α)|I(α)|

|I(α)|=∫

nn{|In|}单调增加,

χΩ(x)dx=|Ω|,|Ω|=sup|In|=lim 性质1.3(微分同胚下相关结论).设有微分同胚x=ϕ(t)∈C1(DtDx),考虑EtDt,Exϕ(Et),EtDt,Et为有界闭集, 内点映射至内点:ϕEt边界映射至边界:ϕ(∂Et)=零测集映照为零测集:ΛtDt为零测集,ϕ(Λt)=Λx⊂Dx为零测集ϕϕtϕttt 3: λ4:Et 证 1.证明ϕ(Et)=◦∀t0∈Et,∃Bλ(t0)⊂Et,ϕ(t)∈C1(DtDx),ϕ(t)∈C1(Bλ(t0 ϕ(Bλ(t0⊂Ex为开集x0∈Ex.ϕEt⊂Exϕ−1(Ex⊂E Exϕ(Et)综上ϕ(EtEϕ(∂Et)=ϕ(∂Et⊂Ex.∀tx∈∂Et∃{tn}⊂Ettn→t∗ϕ(tt∗的连续性ϕ(tn→ϕ(t∗).{ϕ(tn)}⊂ϕ(EtEx,ϕ(∂Et⊂∂ 假设∃t∗∈∂Et,ϕ(t∗)∈Ex,考虑到ϕ(Et)=Ex,可有t∗∈Et,故产 .综上,可有ϕ(Et)=ϕ(Et ϕ(Et)⊂Dx为有界闭集（Ex⊂Dt为有界闭集假设ϕ(Et),则∃{tn}⊂Et满足|ϕ(tn)|Rm→∞.由于Ex为有界闭集,tnkEttnk→tEtϕ(tt处的连续性有ϕ(tnk→ϕ(t∗∈故产生,亦即ϕ(Et)⊂Dx有界xn=ϕ(tn)}⊂ϕ(Et),xn→x∗∈Rm,{tn}⊂Et,tnk}⊂EttnktEtϕ(tnkϕ(t∗),ϕ(t∗xϕ(Et),ϕ(Et为闭Ex=ϕ(Et)⊂ϕ(Et)⊂Dx为有界闭集,Ex⊂Dx为有界闭集.综上所述,可有ϕ(Et)=Ex. ϕ(Et)=ϕ(Et∪∂Et)=ϕ(Et)∪ϕ(∂Et)=Ex∪∂Ex= ϕEt)=Ex为开集,ϕ(∂Et)⊂∂Ex,ϕEtϕ(∂Et)=∅.◦Ex∂Ex∅,ϕ(∂EtDt

In,In为有界闭集（实际可为有界闭方块）,Λt

(InΛt),ϕ(Λt) ϕ(In∩Λt).ϕ(In∩Λt),n∈N为零测集,则有ϕ(Λt)为零测集.以下ϕ(InΛt)为零测集t

ˆisup|Dϕ(t)|Rm×mdiam i=1Λt为零测集Iii=1

InInΛt

Ii

i|ε. |ϕ(t)−ϕ(tc)|Rm|Dϕ(tc+θ(t−cm|t−tc|RmsupDϕtmmdiammmIi为正方块,(diam

=m2|Ii|,Iˆi

2sup|Dϕ(t)|Rm×mdiam

=

mm2iIi非正方块,(diamIi)mi,就此,I⊂Rm,设其∆1,∆2,···,∆m,∆1为最小的边长l1∆1,∆1li<2∆1(i=2,···,m),由此可有 2 (l1+l2+···+lm)2[1+4(m−1)]2 (4m−3)2l1··· 就此Ii为非正方块时,可按上述的分割进行划分.4m3m(m1),

2sup|Dϕ(t)|Rm×mdiam

=

m(4m−3)2i对任意方块成立.ˆˆIi

∞m(4m−3)

i|<ϕ(InΛt)为零测集1.4(微分同胚的局部简单微分同胚分解).证明ϕ(t)∈C1(DtDx),t0∈Dt, ··

detDϕ(t0)

(t0)̸= ··,∂(ϕ1,···,

∂(t1,···,tk)(t0)̸= k=1,···,θk(t

..

k1···mD(ϕ1,···,ϕk)(t

D(ϕ1,···,

(t ∂(ϕ1,···, k

(t)̸=detDθk(t0) D(t,···,t ,···,t

∂(t1,···, 根据逆映照定理（局部微分同胚存在性定理）,有∃Bδ(t0)⊂Dt,θk(t)∈C1(Bδ(t0),考虑如下过程如图7所示ψm=θm◦δψ=

◦◦

θ1=:ψ3=θ3◦ ψ2=θ2◦ ψk(xk−1)θk◦θ−1 k=1,···,C1-微分同胚则有xkψk(xk−1),k1···m1 x(t)1

x(x)

··

m x m. ·· ,x ) xk(x )

. .x x

ϕ(t)=θm(t)=(θm◦ )◦···◦(θ2◦θ−1)◦ =ψm◦ψm−1 ◦Bδ(t0)上获得微分同胚的简单微分同胚分解引理1.5(简单微分同胚积分换元).设Dt,Dx均为有界开集且边界均为零测集ϕ(t)∈C1(Dt;Dx)为简单微分同胚,detDϕ(t)Dt上有界.∀f(x)∈R(Dx),f◦ϕ(t)detDϕ(t)∈R(Dt),∫且成 f(x)dx f◦ϕ(t)det DD(ti截线

D(xi−截线D 1···

◦

◦.

图8:简单微分同胚积分换元首先fϕ(tdetDϕ(tR(Dt).f(xR(Dx)fϕ(tDtΛxf(x)Dx中不连续点的全体,Λtf◦ϕ(t)Dt中不连续点的全体, ∃

f(x)=ϕ(t)=

⇒∃

f◦ϕ(t)=f◦ϕ(t0)⇒ϕ−1(Dx−Λx)⊂Dt− À亦即,Dt,Dx均为允许集

f◦ϕ(t)=f◦ϕ(t0)ϕ−1(x)=ϕ−1(x0)=t0

⇒∃

f(x)=f(x0)⇒ϕ(Dt−Λt)⊂Dx−Dx−Λx⊂ϕ(Dt−Λt)=ϕ(Dt)−ϕ(Λt)⊂Dx−Λx⇒Dx−Λx=ϕ(Dt)−ϕ(Λt)⇒Λx=Λt=ϕ−1(Λx).Λx为零测集,Λt为零测集,f◦ϕ(t)Dt上几乎处处连续.再由detDϕ(t)在Dt上有连续且有界,则有f◦ϕ(t)detDϕ(t)∈R(Dt). .. i1

ϕ(t) ϕ(t,···,t detDϕ(t)

(t)̸=

m ∫

.. .. ∫Dxf(x)dx∫

f(x)χDx]=∫=

f(x1,···,xi,···,xm)χD(x1,···,xi,···,x1I1]x f(x1,···,xi,···,x

(x1,···,◦i,···,xm)dx1···dx◦i···∫∫

xi]

χDx1···= f(x1,···,xi,···,xm)dxidx1···dx◦i···

m =D

f(x1,···,ϕ(x,···,t,···,x),···,x)∂ti(x,···,t,···,xx···x =

]f(t1,···,ϕi(t1,···,tm),···,tm)det

◦dt1···dti···D1◦ D]t··· ] i∫

f◦ϕ(t)detDϕ(t)χDtt

(ti)dti∫

◦···t

(t1,···,ti,···,tm)dt1···dti···=

f◦ϕ(t)detDϕ(t)χDt(t)dt

f◦ϕ(t)detDtDx均为允许集f(xR(Dx),detDϕ(tC定理1.6(微分同胚下内含紧支集上的积分换元).设有ϕ(t)∈C1(Dt;Dx),∀f(x)R(Dx)suppf(x)Dx为有界闭集,fϕ(tdetDϕ(t)R(Dt), f(x)dx f◦ϕ(t)det 证 1.suppf◦ϕ(t)=ϕ−1(suppf(x))⊂Dt为有界闭集. ) ϕ−1(suppf(x))=

{x∈xf̸=

=ϕ−1({x∈xf̸=={t∈t◦ϕ(t)̸=0}=suppf◦suppf(x)⊂Dx为有界闭集,suppfϕ(t)=ϕ−1(suppf(x))⊂Dt为有界闭集fϕ(t)detDϕ(t)∈R(Dt).f(x)Dx上有界,fϕ(t)Dt上有界,且detDϕ(tsuppfϕ(t上有界fϕ(tdetDϕ(tDt上有界.f(x)Dx上几乎处处连续fϕ(tdetDϕ(t)Dt上几乎处处连续.fϕ(tdetDϕ(t)∈Kt=suppfϕ(t),d(KtDC)=:d>0.Ktδ)∀ttKt,δ(t)<d,ϕ(t)在Bδ(t)(t)上具有简单微分同胚分解 另

Bδ(t)2

⊃Kt,Kt

Bδi δi=2∪N

δmin{δ1···δM}PIDt的分割,I

Iα满足|P|< 2IαKt̸∅,t∗IαKt,t∗B(ti),IαBδi2 f◦ϕ(t)detDϕ(t)dtIα

=∫

=2α)

=···ψ∫

1ψ1α

f◦ψm(xm−1)det∫=ψm1α

f(x)dx

tt∗∈Iα∩2ϕmϕm−1◦···◦ϕ2◦ ϕm−1·· ∫∪

Iαf◦ϕ(t)detDϕ(t)dt

Iα∩Kt̸=∅

∫=Iα∩Kt̸=∅

f(x)dx

I

ϕ

)

αϕ(Ktsuppf(x),综上,∫f◦ϕ(t)detDϕ(t)dt

∫定理1.7(微分同胚下内含允许集上的积分换元).设有ϕ(t)∈C1(Dt;Dx),Ex⊂Dx为允许集,Ex⊂Dx,ϕ−1(Ex)=Et⊂Dt为允许集,Et⊂Dt,f(xR(Ex),有f◦ϕ(t)detDϕ(t)∈R(Et),且有 Ef(x)dxE

f◦ϕ(t)det∂Iα∩证明考虑到f(x)χEx(x)在Dx上有界,且在Dx上几乎处处连续（因为∂Ex为零测集◦f(xEx

几乎处处连续）,suppf(x)χEx(xExDx.由定理1.6 Exf(x)dx∫

f(x)χEx(x)dx

f◦ϕ(t)χEx◦ϕ(t)det∫ f◦ϕ(t)χEt(t)detDϕ(t)dt

f◦ϕ(t)det定理1.8(具有零测集修正的积分换元).设有函数ϕ(t)∈C1(Dt;Dx),其中Dt,Dxϕ(Dt均为有界开集EtDtEtDt,Exϕ(EtDxExϕ(EtDx.f(x)∈R(Ex)（∂Ex为零测集）,fϕ(tdetDϕ(t)∈R(Et), Dxf(x)dx

f◦ϕ(t)det◦∂Et=ϕ−1(∂Ex),∂Ex为零测集时,∂Et也为零测集.ΛxExf 的不连续点全体ΛtEtfϕ(t)的不连续点全体.ϕ1(ExΛx)⊂EtΛt, ExΛxϕEtΛtϕEtϕ(Λt).ExϕEt),ϕ(ΛtΛx.Λx为零测集ϕ(Λt)为零测集,Λt=ϕ−1(ϕ(Λt))为零测集.f(x)Ex上有界,f◦Et上有界.detDϕ(tC(Et),detDϕ(t)Et上有界.综上,fϕ(tdetDϕ(tR(Et).Exf(x)dx

xIx⊃Dxf(x)χEx(x)dx=x∫

f(x)χEx∫ f◦ϕ(t)χEx◦ϕ(t)detDϕ(t)dt f◦ϕ(t)det

f◦ϕ(t)χEt(t)det1.9.ϕ(tEt∋t7→ϕ(t)∈Ex,Ex=ϕ(Et),EtEx均为允许集,StEtSxEx均为零测集,ϕ(tC1(EtStExSx),detDϕ(tC(EtSt有界,f(x)∈R(Ex),fϕdetDϕ(t)∈R(EtSt),∫f(x)dx

f◦ϕdet进一步,detDϕ(t)在Et上有定义且有界,则有f◦ϕdetDϕ(t)∈R(Et),且 f(x)dx f◦ϕdet 1.首先证明∂(Et−St)和∂(Ex−Sx)为零测集.计∂(Et−St)⊂∂Et∪∂St⊂∂Et∪St=∂Et∪(St∪∂EtSt∂St.∂(EtSt∂EtSt为零测集.由St⊂Et,有St⊂Et=Et∪∂Et,因此∂St⊂Et∪∂Et=(Et−St)∪St∪(EtSt∂St=∅,∂St⊂St∂Et.同理,∂(ExSx)为零测集注:此处tEtStt∂St,EtSt为开集,Bδ(t0EtVx:=Ex− 满足Bδ(t0)∩∂St=∅,这同t∗∈∂St相,故有(Vx:=Ex− Ex−Vt=VxEVt=Et−12:由于∂(Ex−Sx)⊂∂Ex∪Sx为零测集且有界,则∃ 满足∂Ex∪Sx

◦Ii |Ii|<ε.由∂Ex∪Sx

NI

iEx

Ii⊂ExSx.Ex

Ii

Ex−∂Ex∪Sx⊂Ex−Sx,假设∃x∗∈Ex Ii,满足x∗/∂(Ex−Sx)⊂∂Ex∪Sx,◦

ix

i,Bδ(x∗)⊂

i.又由∃{xn}⊂Ex Ii满足xn→x∗,则◦nNδ时xnBδ(x∗

i,与xn∈Ex IiEEt−Vδ(Et−13:WtEtStVt⊂WtEtSt|EtStWt|ε.Vt⊂Et为有界闭集,EtSt为开集,d(Vt(EtSt)C)=:δ>0.EtSt集,则有Et—St In,

为有限个宽度为1的闭方块的并且 ⊂E—S{|I |EtSt|VtInεEtSt(nε1)|EtStInε|FtEtStWt⊂Ft⊂Ft⊂EtSt,|Et−St−Ft||Et−St−Wt|<VxFxϕ(FtFxExSx|Ex−Sx−Fx||Ex−Sx−Vx|<另 f(x)dx

f◦ϕ(t)detFx=Vx=ϕ(VVEt−|Et−St−Wt|<14:

Ex−|Ex−Sx−Vx|<估 ∫Exf

f(x)dxsup|f(x)||Ex−Fx|<∫E

∫f◦ϕdetDϕ(t)dt

f◦ϕdet综上,

∫

[f◦ϕ|detDϕ(t)]|Et−St−Ft|< ∀ε>∫Exf(x)dx

f◦ϕ(t)det补充说明:f(x)∈R(Ex),fϕ(tdetDϕ(t)∈R(Et−St).f(x)Ex上有界,f◦ϕ(t)在Et上有界,f◦ϕ(t)在Et−St上有界.设Λx为Ex−Sxf(x)的不连续点全体,Λt为Et−Stf◦ϕ(t)的不连续点全体,ϕ−1(Ex−Sx−Λx)⊂Et−St−Λt以及Ex−Sx−Λx⊂ϕ(Et−St)−ϕ(Λt),由此可得ϕ(Λt)⊂Λx.由Λx为零测集,则ϕ(Λt)为零测集,Λt为零测集.fϕ(t)EtSt上几乎处处连续,detDϕ(t)在Et−St上点点连续且有界.故有f◦ϕ(tdetDϕ(t)∈R(Et−St).detDϕ(tSt上有定义且有界,fϕ(tEtEtStSt上几乎处处连续（EtSt上几乎处处连续St为零测集）f(xEx上有界有f◦ϕ(t)在Et上有界.另一方面,∂StSt∂Et,∂St为零测集,St为零测度允许集,∫Sf◦ϕ(t)detDϕ(t)dt=St f◦ϕ(t)detDϕ(t)dt=

f◦ϕ(t)detDϕ(t)dt f◦ϕ(t)det f◦ϕ(t)det定理2.1(体积分换元(考虑零测集修正)).有映ξxX(ξ,η,ζ):Eξηζη7→X(ξ,η,ζ)y(ξ,η,ζ)∈ ExyzX(Eξηζ),EξηζExyz均为允许集.如果,SξηζEξηζSxyzExyz均为零测集,使得X(ξ,η,ζ)∈C1(Eξηζ/Sξηζ;detDX(Eξηζ)∈C(Eξηζ/Sξηζ)在Eξηζ/Sξηζ上有界则有如下论:f(xyzR(Exyz),fX(ξηζdetDX(EξηζR(Eξηζ/Sξηζ),∫

f(x,y,z)dxdydz

Eξηζ

f◦X(ξ,η,ζ)|detDX(ξ,η,ζ)|进一步,detDX(Eξηζ)在Sξηζ上亦有定义且有界,则有f◦X(ξ,η,ζ)detDX(Eξηζ)R(Eξηζ), f(x,y,z)dxdydz

X(ξ,η,

应用体积分换元,一般有二个目的:(1)将几何形态不规则的物理区域变化至几何形态规则的参数区域,Fubini定理;(2)将难以直接处理的被积函数变换成可以处理的被积函数,积分由物理区域变换至参数区域,Jacobi矩阵的行列式.实际应用体积分换元,有时需要同时考虑上述二方面.1.x2y2xy围成

∫(x+ΩÀX(ξηζEξηζ/SξηζExyz/SxyzC1−微分同胚亦即有:(aX(ξηζEξηζ/Sξηζ上为单射;(bdetX(ξηζ)̸=0,(ξ,ηζ)∈Eξηζ/Sξηζ.(解.方法一:显然积分区域为圆,其圆心在点1(

1,

.2 x=2+√2rcosy=1+√1rsin 2∂(x, 2

cosθ2

rsinθ=∂(r,θ)

√sin

rcosDrθ={(r,θ)|0r1,0θ∫ ∫2π( ) ∫1 I 2+√2cosθ+2+√2sin

dθ=2

dr x=u+2y=v+2Jacobi∂(x,y)=1,∂(u,Duv={(u,v)|u2+v2

I∫

(u+v+∫

ududv∫

vdudv=I

dudv=S(Duv)=2事例2.计算积 ∫

ΩI 1−a2−b2Ω

Ω=(x,y)

y2a2+.x=arcosy=brsin∂(x,y)=acosθ−arsinθ=∂(r,

bsin brcosDrθ={(r,θ)|0r1,0θ

√ ∂(x,

√ IDrθ

1−∫

∂(r,θ)drdθ=

1−= 0

1 1—r2dr0

3.Ωx2y29x2y2=16z2=x2y2z0围成的区域,∫解.

I (x2+y2)32Ω2x=rcosy=rsinz=Erθξ={(r,θ,ξ)|3r4,0θ2π,0ξr I r3rdrdθdξ

∫r4dξ

∫

4r5dr

4.

I

∫Ωzh√x2y2,(R0h0)zh围成的区域R15:解.方法一:{

Ω (x,y,z)0zh,x2+y2∫ I

zdxdy

dz

1方法二:

x2+y22h2

x=rcosy=rsinz=Jacobi∂(x,yz)=r,∂(r,θ,

Drθz

(r,θ,

rzh,0rR,0θR∫ ∫

∂(x,y,

∫ ∫ ∫ I

z∂(r,θ,rhRrh

dz

zrdzrr

45.计算牟合方盖的体积,牟合方盖即半径相等的两个正交圆柱体相交而成的立体,即圆柱体x2+y2R2与圆柱体x2+z2R2的公共部分.16:.,.x=rcosy=rsinz=√首先根据x2+y2R2可得0rR,然后根据x2+z2R2可得0ξ R2−r2cos2Erθξ

(r,θ,ξ)0rR,0θ

π,0ξ

√ R2−r2cos2

∫ ∫ ∫√R2−r2cos2V dxdydξ=

rdrdθdξ=

r ∫ ∫

R2−

cos2

dr

R3

π21−sin3θ ∫1−sin3

dθ=tanθ

∫sin2cos2θdcosθ=tanθ

∫1−cos2

dcosθ=tanθ −cosθ+θθ∫21−sin3

π π

dθ=tanθ

—coscos

=li2θ→2

tanθ

–coscos

+2=

V=8

2R3

16 :,π6.

∫I

(x+y+解.方法一:y=rsinθsinz=rcos∂(x,y,∂(r,θ,ϕ)=r2sincos−rsin0Drθϕ={(r,θ,ϕ)|0R,0θπ,0ϕ∫

∫ ∫I

sin=1∫R

r3sin2θdθ=π2 π注ϕθr“三角函数的奇数次方在其周期内的积分等于0”的结论.方法二:根据对称性, xdxdydz ydxdydz zdxdydz= I xdxdydz zdxdydz= 7.

I Ω

√ x2+y2+ 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1与圆锥面z 3(x2+y2)围成的区域.17:问题: Ω={(x,y,z)|3(x2+y2)z 1−x2−y2,(x,y)∈DxyxOy平面上的投影,根据此题区域的特点,z获得,

=(x,y)x2+y2Fuini

I ∫√1−x2−y2√ dd 22

2

xy3(x+y

x2+y2+z2dz=

(x2+

+z)2√ 23(x+y2 2 2=

21−8(x2+y2)2

dxdy π

(x+y)2Dxy的面积.x=rcosy=rsinDxy经变换后的区域 =(r,θ)0r ,0θ

8I π

3∂(x,y)

drdθ

8π

12 =1:

∂(r,

3

} Ω (x,y,z)0z3,x2+y2

(x,y,

3z1,x+2

1−√

∫ I 0

3x2+y23

x2+y2+z2dxdy

√ 2 2

x2+y2+z2 Drθ√

(r,θ)0r3

z,0θ√∫

√ 2∂(x,

∫2

∫13z√ I1

r+

=

r2+z

∂(r, =3

∫√3 3

–1z4dz

310 D{D=r =r

1−z2,0θ∫ √ ∂(x,y) ∫ ∫ ∫√1−z2√ I2

√

r2+z2 =

r2+D2D2πrπ

∂(r, 300 3 00=3

√(z−z)dz= 2πI=I1+I2=: Drθϕ

(r,θ,ϕ)0r1,0θ

,0ϕ2π∫ I

∫66

r2

∂(x,y,

∫

∫66

=1

∂(r,θ,

8.Ωx2y2z22z围成的区域,∫解.

I (x+y+z)2 2y=rsinθsinErθϕ

z=rcos{}(r,θ,ϕ)0r2cosθ,0θ}

π,0ϕ ∫

∫ ∫2cosI

π∫π

r7sin 09.

32sinθcos8θdθ=64 ∫I ΩΩx2y2z2R2x2y2z22Rz(R>0)的公共部分18:解.方法一:将积分区域{示为两部分的并 RΩ=(x,y,z)0z1

,x2+y22Rz−

Ω2

(x,y,

zR,x2+y2R2−2∫ 2I

z2dxdy

∫ 22

∫ ∫

2= z2π(2Rz−z2)dz z2π(R2−z2)dzR2

方法二:

∂(x,y,

y=rsinθsinz=rcos此变换的Jacobi行列式为 =r2sinθ,变换之后积分区域可以表示为两部分的并∂(r,θ, πΩ1={(r,θ,ϕ)0r2Rcosθ,3θπ

,0ϕ

(r,θ,ϕ)0rR,0θ

,0ϕ2π∫ 0I 0

∫2Rcos22

r2cosθr2sinθdr

∫

R3R r2cosθr2sin0π03 方法三:

x=rcosy=rsin

z=Jacobi∂(x,yz)=r,√ ∂(r,θ, √√ √

(r,θ,ξ)R R2−r2ξ R2−r2,0r R,0ϕ2

∫I

∫√ 2

√

z2rdξ R−

19:10.Ωx2+y2=z2x2+y2+z2=8围成的区域,∫I x2Ω.Ω为Ω中z0的部分.

I x2dxdydz x2 y=rsinθsin

z=rcos Erθϕ44

(r,θ,ϕ)0r

2,0θ

,0ϕ2π ∫

∫ ∫

22 I rsinθcosϕrsinθdrdθdϕ

sin r

∫√∫2

√

1280r4dr 0∫ 534sin3θdθ 300∫cos2ϕdϕ=02π(2πI′=

5√)128 2

(2562

64 即(512I=2I′ 2

128π11.Ω

2

2=1围成的区域a2+b2+∫

√x2+y2+.

eI a2b2Ω

ddxy∂(x,y,有 =abcr2sinθ,此∂(r,θ,

x=arsinθcosy=brsinθsinz=crcosErθϕ={(r,θ,ϕ)|0r1,0θπ,0ϕ2π∫I

∫ ∫

sin

∫r2er∫

∫

∫ r2erdr= −000∫ ∫

rerdr=e—2

er0

=e− sinθdθ=

I=4π(e−12.Ω

+y2+z2=x

y+z围成的立体,

1∫( z2I=|Ω|

a2+b2+ ∫ Ω.( 1 ( 1 ( 1 a−

b− c− =即 x

y

c+2(√ (+2

z)2+(√

)2=3a,

3b

3c|Ω|=4

(√3

3 u u=x2v=y−2w=z−2∂(xy∂(u,v,

1, (u,v,

2 (√3a (√3b (√3c2

2 (

3I

a2+

+

∫ududvdw ( w2

∫

vdudvdw

∫

wI′

a2+b2+

,∂(x,yz)abcr2sinθ,

w=crcos∂(r,θ,

=(r,θ,ϕ)0r

3,0θπ,0ϕ2∫39 ∫ ∫ ∫39I′

θr

ϕ=

θ r4dr

3

dd

sin √93I=32

+3= 13.S,ρ=f(ϕψ)0ϕ2π,πψπ1∫

∫V 23 −2

f(ϕψsin4ϕsin4ψV的值解.证明一

y=rcosψsin有∂(x,y,∂(r,ϕ,

z=rsincosψcosϕ−rsinψcosϕ−sin=cosψsin cosϕ=r2cossin cos

(r,ϕ,ψ)0rf(ϕ,ψ),0ϕ2π,{2{

ψ}2}π ∫ π2

∫fV

2 − 2

r2cosψ1∫

∫ 23 −2

x=λf(ϕ,ψ)cosψcosy=λf(ϕ,ψ)cosψsinz=λf(ϕ,ψ)sin20:r(ϕψsin4ϕsin4ψ有fcosψcosϕλ(fϕcosϕ−fsinϕ)cos λ(fψcosψ−fsinψ)cos∂(x,y,∂(λ,ϕ,

=fcosψsin λ(fϕsinϕ+fcosϕ)cos λ(fψcosψ−fsinψ)sinfsin λfϕsin λ(fψsinψ+fcos=λ2f3(ϕ,ψ)cos

Eλϕψ

(λ,ϕ,ψ)0λ1,0ϕ2π,

πψ ∫V

dxdydz

λ2f3(ϕ,ψ)cosψ∫ 0

∫f22—0π—02

λ2f3(ϕ,ψ)cosψ=∫=

f3(ϕ,ψ)cosψ23 −2f(ϕ,ψ)=sin4ϕsin4ψ时,V=1∫

∫22

(ϕ,ψ)cosψdψ

1∫ 22

22

3 −

3 −∫2sin12ψcosψdψ

sin13ψ =—21π 2 − —21π 2Jn

∫2π

sinnϕdϕ=∫2π

∫2π

sinn−1ϕdcosϕ=−sinn−1ϕcos2π+(n−ϕϕ

∫2π

=(n−0

sinn−2ϕ−sinn

dϕ=(n−1)Jn−2+(n−J=n−1 ∫ dϕ=2π,所以0 =11·9

=11!!14.

12=12

12·V∫

8=···=12!!11!!12!!

2I (x2+y2+z2)52Ωx2y2z22z围成.y=rsinθsin{

z=rcos∂(x,y,z)=r2sin∂(r,θ,

(r,θ,ϕ)0r2cosθ,0θ

,0ϕ2π∫ ∫

∫2cos

∂(x,y,2I 5 5

∂(r,θ,ϕ)1∫ ∫ 8

(2cosθ)8sinπ=−1×28×2πcos9θ2=π2 0{ 2事例15.设一元函数 ,令Ω∈C(0, (x,y,

x2+y2+z2t

(

z2F(t) 证明:F(t)C1(0

a2+b2+ 1.证明:首先按积分区域及被积函数的特点,做广义球坐标变z=crcosasinθcosϕarcosθcosϕ−arsinθsin∂(r,θ,∂(x,y,z)=bsinθsin brcosθsin brsinθcosϕ=∂(r,θ,ccos −crsin Drθϕ={(r,θ,ϕ)|0rt,0θπ,0ϕ∫

∂(x,y,

∫ ∫ ∫F(t)

t

f(r2)r2sin=

f(r20f(xC1(0+∞)按积分上限函数的性质F(tC1(02.同样按积分上限函数的性质F′(t)=16.求质量分布均匀,R的球体对一条直径的转动惯量解.l∫Il Ω为该物体所占区域,ρ为物体的质量分布,d(x,yz)l的距离.对于球来讲,以该直径为z轴,建立坐标系,则对该轴的转动惯量即可表示为∫Iz ρ(x2+方便起见ρ1.求解此积分可有两种方法 Ω={(x,y,z)| R2−x2−y2z R2−x2−y2,x2+y2 ∫ √ ∫Iz

√ (x2+y2)dz=2 (x2+—

R2−x2−做极坐标变换

∫

∫ √ Iz

r2R2−r2rdr

R5

5其中M 4

Drθϕ={(r,θ,ϕ)|0rR,0θ2π,0ϕ

∫Iz

r2sin2

∂(x,y,

drdθdϕ

∫

∫ ∫

r2sin2θr2sin=4πR5=

25

∂(r,θ,

17.

,a2+b2+ 对任意过原点,(αβ,γ)轴的转动惯量（α2+β2+γ2= 1.不妨设此椭球的密度为1,则根据转动惯量的计算方法,可∫Iz

x2y2

(x2+

+ a2b2Jacobi

z=crcos∂(x,y, =abcr2sin∂(r,θ,

Drθϕ={(r,θ,ϕ)|0r1,0θπ,0ϕ∫I (a2r2sin2θcos2ϕ+b2r2sin2θsin2

∂(x,y,

∂(r,θ,∫ ∫ ∫=

(a2sin2θcos2ϕ+b2sin2θsin2ϕ)sin0=

∫

(a2

ϕ+b2

= 4πabca2+ =

πabc

+b注:如果a=b=c=R,则椭球为球,转动惯量Iz

2mR2与上题结果吻合52.对此轴的转动惯量可以表示

Il

x2+

+z2

a2b2d=|AP×l为直线的单位方向向量,A为直线上任意一点.l过原点,A即取为原点,可有OPd2=|→×l|2=(γy−βz)2+(αz−γx)2+(βx−OP∫Il

(γy−βz)2+(αz−γx)2+(βx−αy)2Ω =

Ω(y2+z2)dxdydz+

Ω(x2+z2)dxdydz+

Ω(x2+记∫

Ω

xzdxdydz−Ω∫

Ω∫Ixx

(y2+z2)dxdydz,Iyy

(x2+z2)dxdydz,Izz

(x2+Ixy=

Iyz=Ω

Ixz=Ω

ΩI称为惯量矩阵其中对角元一般称为惯量矩而非对角元则称为惯量积.椭球的惯量矩阵可1I 15

b2+ a2+ 2 a+Il

β

Ixy 1[1 2

2mα(b

+c)+

+c)+

+b18.DR2x2y21,∫I f(αx+Dh

√ α2β2.证明:Ih∫2I(h)= f(hu)(1−u2)12本问题的积分区域为圆可以采用平面极坐标变换但被积函数较为复杂就此考虑如( ( 式中未确定的项由线性代数中补基的方法确定,Gram-Sit单位正交化过程可使得上述线性变化的过渡矩阵为正交阵,1.另一方面,1的正交变化对应坐标旋转,由此原积分区域变换后仍然为圆Duv={(u,v)|u2+v21},或者表示为Duv={(u,v)|−1u

√ 1−u2v

1−由此,∫

∫ ∫ I(h)

∫∫1

∂(x,∂(u,

2= f(hu)(1−u2)12yyyyθOxx21:,

=i

cosθ−sinθsin cos

()((x)((r= =

)

x′

cos sin

)(x −sinθcos 19.ΩR3x2y2z21,∫I cos(αx+βy+Ωh

√ α2β2γ2.证明:hI(h)=

sinhr−cosh 式中未确定的项由线性代数中补基的方法确定,基于Gram-S it单位正交化过程可使得上述线性变化的过渡矩阵为正交阵,且行列式为1.由于变换是定点旋转,u2v2w21,∫F(h)

u=rcosv=rsinθcosϕ w=rsinθsinϕu轴作为球坐标的南北极轴.由此∫

∫ ∫

∫ ∫F(h)

0

0

02π∫ 4π(sin =

sin(hr)dr

−cos (

(

)

(

)

=( ( ( ∑

+

=

,

ai3xi=±h(h> 此处均有det ̸=解

a12a22 =AT T2TAxR3=

ATx=

x=MAATA非奇异M为对称正定矩阵M正交相似对角化,即存在正交矩阵Q,使得QTMQ=Λ=diag(λ1,λ2,λi(i=123)M的特征值,M对称正定,λi都是正数.M=QTxTMx=xTQΛQTx=(QTx)TΛ(QTx)=yTΛy=λ1y2+λ2y2+λ3y2= yQTx.

R√

+ 22R2√

+ 3)=2R2√∫

Ey∋y7→x(y)=Qy∈

V dx1dx2dx3

π

λ1λ2λ

3det(AT

3detEy∋y7→x=(ATE{(yy,y)|y2y2y2R2}Jabobi∂xdet(AT)−1, T

V dx1dx2dx3

det(A

dy1dy2dy3

Ey∋y7→x=(ATE{(yyy)|y2y2y2hyh}Jabobi

∂x=det(AT所以 V

|EEy即为两个锥体,

V 2 det

·h=3det21.

∫I Ωx2+ x2+其中Ω为曲面z= ,z= ,xy=c,xy=d,y=αx,y=βx围成的立体,其 0<a<b,0<c<d,0<α<yyOxx2+

22:问题x2+解.z

z

x2+ x2+ Ω (x,y,

zb

,(x,y)∈Dxy如图22所示.Fubini定理,I

∫a

x2y2zdz

1( 1)a2—

x2y2(x2+∂(x,

(∂u,

u=v=x x ∂(u,v)

(x,

=—

=2y=

Duv={(u,v)|cud,αv

1( 1)∫ ∫

( )2I

+

2

b2) α

2− = 1−

(d5−c5)

1−

)+2

[

2−α2)+2lnI

(d−c

+ 22.z=x2y2xy=a2,xy=2a2y=x,y=2x,z=02y=2y=2xy=xy=Ox23:问题解.ξ=η=yζ=a2ξ2a2,1η2,0ζξη+ξ,2V=|Exyz|

∫

∫dxdydz

xdet y(ξ,η,z η(x,y,z)= ξy故有det η(x,y,z)=2x=2η̸=0,即Jacobi矩阵非奇异,所以ζ∫V detD (ξ,η,ζ)dξdηdζ

dξdηdζ

ζξη+ξζ

ξ 1

Eξηζξ

1∫

)∫2 =Eξη9

ξηη

dξdη

2

ξ dξdη

12

1+ 4123.z=xyy=x2,y=2x2,y2=x,y2=2xz=0y= y= x=xOx=224:问题解.ξ= =ζ=1ξ2,1η2,0ζxyξη,V=|Exyz|

dxdydz

det yz − (x,y,z) y x − x ξ可有det η(x,y,z)=3,以ζ∫V

dξdηdζ

1 ∫

dζ=

Eξηζ1∫ ∫

33

3 ηdη3 24.

I |cos(x+.,,u=v=x+

∂(x,y)∂(u,

∂(u,v)−1∂(x,

1 =1Duv={(u,v)|0uπ,uvu+

∫I

∫ ∫

|cos

∫u+π

|cosv|dv∫

2cosvdv=—π—225.

I=0∫IΩ

du=x=a(t−sin其中Ωy=a(1−cos

(0t2π)x轴围成的区域yy{x=a(1−siny=a(1−cosy=fΩOx25:解.根据反函数定理,x′(t)=a(1−cost)̸=0,t∈(02π),t=t(x),xy=y(t)=y(t(x))=Ω={(x,y)|0x2πa,0y

∫

∫f

∫131I

dy3

(f(x))xx(ta(tsint),f(xf(x(ty(ta(1cost),1∫2π a4∫3I a(1−cost)dt3

(1−4cost+6cos2t−4cos3t+cos4利用0的结论可以得到[I=

2π+

∫

(1+cos2t)dt

∫2π(1

cost23a4=

2π+6π

1∫2π

1+2cos2t+cos22t3=

8π+1π

2π1+cos4t

35π

arαsinβθcosγErθϕ θ y(r,θ,ϕ) brαsinβθsinγ ∈ crαcosβ αrα−1sinβθcosγϕrαβsinβ−1θcosθcosγϕrαsinβθγcosγ−1ϕ(−sindet (r,θ,ϕ)=abcαrα−1sinβθcosγ rαβsinβ−1θcosθsinγ sinβ αrα−1cosβ rαβcosβ−1θ(−sin sinβθcosγϕsinβ−1θcosθcosγϕ−cosγ−1ϕsin=abcαβγr3α−1sinβθsinβθcosγ sinβ−1θcosθsinγ sinγ−1coscosβ −cosβ−1θsin sinβθcosγϕsinβ−1θcosθcosγϕ−cosγ−1ϕsin=abcαβγr3α−1sinβθcosβ−1θsinβθcosγ sinβ−1θcosθsinγ sinγ−1cos[

cos −sin sinβ−1θcosγϕ−cosγ−1ϕsin=

α−1sinθ

θsinβ−1θsinγ sinγ−1ϕcos]+sin2

sinβ−1θcosγϕ−cosγ−1ϕsinsinβ−1θsinγ sinγ−1ϕcos=abcαβγr3α−1sinβθcosβ−1θsinβ−1θcosγ−1ϕsinγ−1ϕcos sin cos=abcαβγr3α−1sin2β−1θcosβ−1sinγ−1ϕcosγ−1此种变换的处理B函数 事例26.计算由曲面 an+bn+

1n0)x0,y0,z0所围的体积解.

ar1sin2θcos2 Erθϕ y(r,θ,ϕ) brnsinnθsinn ∈ crncosn

(r,θ,ϕ)=abc4r3−1sin4−1θcos2−1sin2−1cos2−1

z

V

dxdydz

abc

3rnr

4

2θθ

2

2cos

=

∫1

3−1dr

2sin

−1θ

−1

2sin

−1cos

−1 (=abc 2

1,n nB(p,q)B函数,∫B(p,q)=0

π2sin2p−1θcos2q−1zy1y1FCEGB1AOxExy={(x,yz|x0y0z0xy+z1}为单位直角四面体（如图26所示，有A(0,0,ξ),B(ξ,0,0),C(0,ξ,0)，而G(x,yz)x η(⃗⃗B)η)(⃗zξ(1−η)(1−ζ)⃗η)ζ⃗ ξ(1−

∂(x,y, (1−η)(1− −ξ(1− −ξ(1−(ξ,η,ζ)∂(ξ,η,

(1−η)ζ ξ(1−η) (1−η)(1−ζ)−(1−ζ)=ξ2(1− (1− =−ξ2(1− ∫

dxdydz

ξ