2023年高考数学大招2极化恒等式

大招2极化恒等式

大招总结

结论:设。力是两个平面向量,则有恒等式=夕3+为2-3—“，在三角形中，也

可以用三角形的中线来表示，ABAC=AMi-MB^

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差,

因此，当两个向量之和或之差为定值时;常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.

典型例题

例1.（2012浙江15）在_钻。中，M是的中点，AA/=3,8C=10,则AB-AC=

解方法1:设立4“？=氏则„。=乃—夕又=—MA,AC^MC-MA,

：.ABAC=（MB-MAj-（MC-MA）

^MBMC-MBMA-MAMC+MK

=-25-5x3cos6-3x5cos（万一。）+9=-16.

故答案为-16.

A

.22

方法2:由极化恒等式得4S.AC=AA/——用3=32-52=-16.

例2.如图，在_ABC中，。是8。的中点，是A。上的两个三等分点,

BA•C4=4,8尸•CF=—1,则BECE的值是

解方法k。是6c的中点，E,尸是A。上的两个三等分点，

BF=BD+DF,CF=-BD+DF,BA=BD+3DF,CA=—BD+3DF,

.2-22•2-213

BFCF=DF'-BD=-\,BACA=9DF'-BD=4,DF'=-,BD'=—,

88

又BE=BD+2DF,CE=-BD+2DF,

-227

:.BECE=4DF-BD

8

7

故答案为

8

，•・2<2

方法2:由极化恒等式得BACA=AD-BD=4,

-2-21

BFCF=FD-BD=-l,AD=3FD.

分别解出口炉和的值,即可求解.

例3.已知为圆。的直径，M为圆。的弦C。上一动点，A8=8,C0=6,则

的取值范围是,

解方法1:

以A8所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示,

且圆。的直径为AB,设M（x,y）,则A（4,

0）,3（T,0）,M4=（4—x,—y）,MB=（T—羽一y）;

M4-MB=（4-x）（-4-x）+（-y）2=x2+/-16,

又M是圆。的弦CD上一动点,且8=6,

所以16—紧好+V16,即7别16

其中最小值在C。的中点时取得，

所以K4.MB的取值范围是［―9,（）］.

故答案为卜9,0].

方法2:直接使用极化恒等式得MAMB=MS-Q42,

s/7^MO\4,|OA|^4,:.MAMBE[-9,0].

例4.(2013•浙江)设,ABC,4是边AB上一定点，满足=且对于边AB上任一

点P,恒有尸3/。.///。，则()

A.ABC=90B.NBAC=90C.ABACD.AC=BC

解方法i：设,q=4,则,q=i,

过点。作AB的垂线,垂足为〃，在AB上任取一点P,设"6=a,

则由数量积的几何意义可得，PBPC工PHH呐=|阳2—(a+1)网，

RB・q)C=—a,

于是而•PC..-EC恒成立，

整理得|函2-(a+1)阀+a..0恒成立，

只需,=3+1)2-4。=(。-1)2,,0即可,于是〃=1,

因此我们得到“8=2,即”是AB的中点,

故」ABC是等腰三角形,所以AC=8C.故选D.

方法2:PB-PC=PM2—BM\RB-RC=RM22-BM2

?-2

因为PB•PC..日声•兄。所以PM-.f；）M2

从而匕附_LAB,过C作“〃［附交ABf”，

则CH1AB考虑E,B=；AB,

所以47=8"，故AC=8C,

选D

例5.（2021•温州二模）如图，矩形ABCD中，AB=3,5C=4,点M、N分别为边BC,CD

上的动点，且肱V=2,则AM•AN的最小值是（）

A.13

B.15

C.17

D.19

DNC

解方法1：

以AB,AO为坐标轴建立平面直角坐标系，

设CW=x，则CN=yjMN2-x2=V4-x2(喷(k2)

,AM-A7V=3(3-尤2)+4(4-x)=25-4x-3^-x2.

令/(x)=25—4X-3A/4-X2,贝ij/'(x)=—4+产,

V4-x2

Q

令ra)=o,解得x=e.

QQ

当0,,尤<彳时，/r(x)<0,当一<x<2时，/z(x)>0

・•・〃力在(0,|)上单调递减，在（|,21

上单调递增,

8

/⑼=19,/=15,*2)=17.

•••源⑺=/(£)=15.

故选B.

方法2:

**2

如图5,K为MN的中点，由极化恒等式，AM•AN=AK-1.

显然，K的轨迹是以点C为圆心,1为半径的圆周在矩形内部的圆弧.

所以|AK|=5-1=4,

IImin

AM-AN=AK2-L.42-1=15

例6.（2021•淮安二模）如图,在平面四边形ABCD中，。为BO的中点，且。4=3,OC=5,

若A8-AZ>=—7,则的值是

D

BJ

解方法1:平面四边形ABCD中，。为8。的中点，且QA=3,OC=5,，O8+OO=0

若A8A0=—7,则（AO+O8）«AO+OO）

=AOi+AOOD+AOOB+OBOD

2，22

=AO'+AO（OD+03）-OB'=32-OB'=-7;

OB2=I6,.-.|OB|=|OD|=4

BCDC=（BO+OC）（DO+OC）

^BODO+BOOC+DOOC+OC2

=-BO2+OC-^BO+DO）+OC2=-42+0+52=9

.，2，2-—2

方法2:如图4,A8-AZ）=AO~-=-7,得O。=16,

又BCDC=CBCD=COJO1^^25-16=9

例7.已知直线A3与抛物线/=4x交于A,8两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个

动点，若C。满足C<ACoB=min{C4-CB},则下列一定成立的是（）

A.C0M1AB

B.,其中/是抛物线过Co的切线

C.C0A1C()B

D.C()M

解方法1:CACB=(CM-AM^-(CM-BM^

^CM1-CM-(AM+BM)+AMBM=|CA/|2-|AM|2,

/.minjcACfi}即求ICM京，

，CW.其中/是抛物线过c0的切线.

故选反

方法2:由CoA•=min{C4•同得4A•C(£,CACB,

由极化恒等式，Co"--4M,,CM-AM，即COM'CM,

即抛物线/=4x上所有点到M的距离最近的点为Co,

故以M为圆心，MC°为半径的圆与抛物线内切,

故选8.

例8.如图，已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,E为线段6c上一动点，延长AE交

圆。于点/，则E4•尸B的取值范围是

解方法1：取的中点则OM=O4-sin30=1,44。8=120.

则FAFB=（OA-0尸）•（08-OF）

-OAOB-OAOF-OBOF+OF2

^OAOB-OF（OA+OB）+OF2

=2x2xcosl20-OF-2OM+4

二一2-2x2xcosNMOf+4=2-4xcosNMO尸.

当点E与点C重合吐点尸和点C重合，Z.M0F=4，即E4•所的取值为6.

TT

当点E与点B重合时，点产和点8重合，ZMOF=-,^lFA-FB的取值为0,

3

即FA-FB的取值范围是[(),6],故答案为:[0,6].

方法2:如图6,过点C作CD_LA3,垂足为。，则。是AB中点连接ED有AB=26,

212•2

由极化恒等式，FAFB=FD'一一AB=FD-3

4

因为点/在劣弧BC上,有百领TO3,

所以E4.EBe[0,6].

例9.（2021•衡阳三模）在三棱雉S-ABC中，&4,58,5。两两垂直且必=53=5。=2,

点M为三棱锥S-ABC的外接球上任意一点,则MAMB的最大值为

解方法1：如图所示:

M

图1

因为SA,SB,SC两两垂直且以=SB=SC=2,

所以三棱锥S-ABC的外接球就是分别以SC为棱的正方体的外接球（如图1）,外

接球的球心为正方体的体对角线的中点。，易知球的半径为

设线段AB的中点为a，A3=2j，

^MA-MB=(MOt+«A)•(MOi+O]B)=(MOt+«A)•(MOt-«A)

=MO；2-0IA?=-2,当MOX取得最大值时，MA-MB有最大值.

而当",A,5在同一个大圆上且1AB,

点M与线段AB在球心的异侧时，■«］最大（如图2）,

此时，加0=出,0。="M0/—2=（石+1『-2=2且+2.

得："A•MB的最大值为26+2.

故答案为：26+2

方法2:由极化恒等式有MAMB=\M0^-2

如图，当M、48在同一个大圆上且MQ_LAB,点M与线段AB在球心的异侧时，

\M0\最大,此时线段长为M0=73,00,=1,

所以|勿0/一2=（6+1）2-2=2百+2

所以•MB的最大值为+2

例10.（2021•湖州二模）正方体ABC。-ABCQ的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦

（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.

PMPN的最大值为

M

解方法1：设点。是此正方体的内切球的球心,半径R=1.

当弦MN最长时，MN为球。的直径，

此时.PN=(P0-MO).(P0+QN),而MO=ON,

：.PMPN=PO2-R2=PO?-1,

当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，

・•.(PM-PN)max=(竽]-1=2.

故答案为2.

方法2:由正方体的棱长为2,得内切球半径为1,正方体的体对角线为20.

当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.

设内切球的球心为。，则PM-PN=PO-ON=P。?一1.

由于P为正方体表面上的动点,故OPe[1,6].所以WNe[0,2].

D

自我检测

1.（2021•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形A8C0的顶点A、O分别在x轴、y轴正

半轴上（含原点）上滑动,则OBOC的最大值是

第1题图

2.（2018*天津）如图，在平面四边形ABCD中，AB1BC,ADLCD,

ZBAD=120,A8=AO=1.若点E为边CO上的动点，则AEBE的最小值为（）

cfi

D.3

A

第2题图

3.（2017•新课标H）已知一ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则

24・（28+尸0）的最小值是（）

A.—2

B.-2

2

C.-1

3

D.—1

4.（2021春•龙山区校级月考）已知圆。为RJA8C的内切圆，AC=3,BC=4,NC=90,

过圆心。的直线/交圆。于P,Q两点，则8PC。的取值范围是（）

A.（-7,1）

B.[0,1]

C.[-7,0]

D.[-7,1]

5.（2021•绍兴一模）已知点A,8分别在直线x=l,x=3上，。为坐标原点，且—=4.

当\OA+。8|取到最小值时，OA-OB的值为（）

A.0

B.2

C.3

D.6

6.（2021•日照一模）在锐角二ABC中，已知/6=色，,。卜2,则A8SC的取值范围

是.

7.（2021•绍兴二模）设锐角ABC的面积为1,边丹民人^的中点分别为旦工2为线段后尸

上的动点，则PBPC+PC2最小值为

8.（2021秋•苏州期末）如图，在AABC中,已知A6=4,AC=6,NBAC=60，点0,E分别

在边AB,AC上，且A8=2AD,AC=3AE,点尸为DE中点，则BFDE的值为_「

9.（2021•浙江模拟）已知ABC的斜边A8的长为4,设尸是以C为圆心1为半径的圆上

的任意一点，则PAPB的取值范围是（）

35

A.

252

c.[-3,5]

D.[1_261+2间

10.（2021*江苏模拟）己知AB为圆。的直径，M为圆。的弦8上一动点，

AB=8,CD=6,则MA.MB的取值范围是

11.（2021•闵行区校级模拟）已知点P是棱长为1的正方体ABCO-A4GA的底面

上一点（包括边界），则PA-PC的取值范围是.一

12.（2021•上城区校级模拟）已知点M为单位圆/+>2=i上的动点，点。为坐标原点，点

A在直线％=2上，则AM•AO的最小值为,

13.在RfABC中，ZBAC=90,AB=4,AC=3,当3、C分别在平面直角坐标系，的

x轴、y轴上运动时，。4-OC的最大值是,

14.（2021-余杭区校级模拟）如图,49CD是边长为4的正方形，动点P在以A3为直径的圆弧

APB上，则PC-PD的取值范围是.

答案：方法1：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐

标系，则圆弧APB方程为x2+y2=4,(y..0),C(2,4),0(-2,4)

因此设P(2cosa,2sina),aG[0,TV]/.PC=(2-2cosa,4-2sina),

PD-(-2-2cosa,4-2sin<z),

由此可得PC-PD=(2-2cosa)(-2-2cosa)+(4-2sina)(4-2sina)

=4cos26Z-4+16-16sina4-4sin2a=16-16sinez

化简得PC・PO=16-16sina

,/ae[0,乃],sinae[O,1J

当a=0或乃时，PCPDmax=16；

当a=-时，PCPDmin=Q

由此可得PCPD的取值范围是[0,16j故答案为：[0,16]

方法2:取CD中点M,由极化恒等式得

PCPD^PM2-CM2,\PM\^[2,2y/5],CM^4,PC-PD&◎16]

15.已知过原点的直线交椭圆上+y2=1于A,3两点，若点M

3

为抛物线旷=无Z+2上的一个动点，则MAMB的最小值为

()

A.1

B.2

C.2

D.-5

答案：

方法1:如图，设A（x0,y0）,则3（-%,一%）,