理工类专业课复习资料-专题一(二阶常微分方程解法)

二阶微分方程：x二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：ypyqy中p,q为常数；两个不相等实根(p2-4q>0)x两个相等实根(p2-4q=0)y=(c1+c2x)er1x一对共轭复根(p2-4q<0)r1=a+ib，r2=a-ib二阶常系数非齐次线性微分方程y¢+py¢+qy=f(x)，p,q为常数微分方程的一般形式是y¢¢+py¢+qy=f(x)(1)其中p,q是常数。方程(1)的通解为对应的齐次方程y¢+py¢+qy=0()2的通解Y和方程(1)的一个特解y*之和。即y=Y+y*.我们已解决了求二阶常系数齐下面我们只介绍当方程(1)中的f(x)为如下两种常见形式时求其特解y*的方法。一、f(x)=e入×xPm(x)型由于方程(1)右端函数f(x)是指数函数e入.x与m次多项式Pm(x)的乘积，而指数方程(1)的特解应为y*=e入.xQ(x)(Q(x)是某个次数待定的多项式)y*¢=入e入.xQ(x)+e入.xQ¢(x)y*²=e入.x.[入2Q(x)+2入Q¢(x)+Q¢¢(x)]代入方程(1)，得消去e，得(3)Q¢¢(x)+(2入+p)Q¢(x)+(入2+入p+q)Q(x)ºPm(x)(3)Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bmx幂的系数，就得到以b0,b1,…,bm-1,bm为y*=e入.xQm(x)20、如果入是特征方程r2+pr+q=0的单根。欲使(3)式的两端恒等，那么Q¢(x)必是一个m次多项式。因此，可令Q(x)=x×Qm(x)并且用同样的方法来确定Q(x)的系数b0,b1,…,bm-1,bm。30、如果入是特征方程r2+pr+q=0的二重根。欲使(3)式的两端恒等，那么Q¢¢(x)必是一个m次多项式因此，可令Q(x)=x2×Qm(x)并且用同样的方法来确定Q(x)的系数b0,b1,…,bm-1,bm。论如果f(x)=e入×xPm(x)，则方程(1)的特解形式为y*=xkQm(x)e入.x其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，k的取值应满足条件00例1求y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解。解特征方程为为r2-5r+6=0Y=C1e2x+C2e3xy*=x(b0x+b1)e2x则y*¢=[2b0x2+(2b0+2b1)x+b1]e2xy*¢=[4b0x2+(8b0+4b1)x+2b0+4b1]e2x代入原方程，得(-2b0x+2b0-b1)e2xºxe2x，1y*=-x(1x+1)e2x因此2所以方程的通解为y=c1e2x+c2e3x-x(x+1)e2x二、f(x)=e入x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型由于方程(1)右端函数为e入x[pl(x)coswx+pn(x)sinwx]，这种形式得到非齐次方程的特解y*的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论y*=xke入x[R(1m)(x)coswx+R(2m)(x)sinwx]且k=í根y¢¢+y=xcos2x解特征方程r2+1=0r1,2=±iY=C1cosx+C2sinxy*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x得(-3ax-3b+4C)cos2x-(3Cx+3d+4a)sin2x=xcos2xì-3a=1íï-3b+4C=0íC0a,b=0,C=0,d=y*=