第六讲幂级数

第六讲幂级数第1页，共56页，2023年，2月20日，星期一(2)幂级数的收敛半径与收敛域任何幂级数在0都收敛。由例1知其收敛域是一个区间。第2页，共56页，2023年，2月20日，星期一定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.在的一切x,该幂级数也发散.点发散,则对满足不等式发散发散收敛收敛发散第3页，共56页，2023年，2月20日，星期一阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题

,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得

到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,第4页，共56页，2023年，2月20日，星期一证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,第5页，共56页，2023年，2月20日，星期一下面用反证法证之.假设有一点满足且使级数收敛,级数在点的x,原幂级数也发散

.

则对一切满足不等式则由前可知也应收敛,与所设矛盾。证毕设发散,第6页，共56页，2023年，2月20日，星期一界点讨论：在界点处函数项级数是否有相同敛散性？答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论.

因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，后来遇到的全部是发散点.起初只遇到收敛点，第7页，共56页，2023年，2月20日，星期一定义1若幂级数在这个R称为幂级数的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。幂级数在(－∞,+∞)收敛，规定R=0；幂级数仅在x=0收敛，R=

。(1)幂级数的收敛域是区间；(2)幂级数在(a,b)内收敛，在(a,b)外发散，第8页，共56页，2023年，2月20日，星期一例3.

设在处收敛，则此级数在处收敛性如何？（A）条件收敛（B）绝对收敛#2012022801（C）发散（D）太难确定了第9页，共56页，2023年，2月20日，星期一例3.

设在处收敛，则此级数在处收敛性如何？解:

令设级数的收敛半径为R。收敛，由阿贝尔定理第10页，共56页，2023年，2月20日，星期一1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径性质为思考#2012022802第11页，共56页，2023年，2月20日，星期一幂级数由它的系数数列所确定，故其收敛半径R也应由唯一确定第12页，共56页，2023年，2月20日，星期一定理2.

若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则第13页，共56页，2023年，2月20日，星期一证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,因此级数的收敛半径2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此第14页，共56页，2023年，2月20日，星期一注意（1）缺项的幂级数不能直接用此定理解决：（ii）用一般级数收敛域求法（i）作变换（2）也可以由根值法求收敛半径第15页，共56页，2023年，2月20日，星期一对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

第16页，共56页，2023年，2月20日，星期一例2.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由比值第17页，共56页，2023年，2月20日，星期一例3.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2

时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即第18页，共56页，2023年，2月20日，星期一例4.求下列幂级数的收敛域.解:(1)令级数变为于是

的收敛区间为第19页，共56页，2023年，2月20日，星期一解:(1)令级数变为于是

级数在收敛，第20页，共56页，2023年，2月20日，星期一2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数它的收敛半径?思考#2012022803第21页，共56页，2023年，2月20日，星期一2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.因为当时级数收敛,时级数发散,说明:

可以证明:比值判别法成立根值判别法成立第22页，共56页，2023年，2月20日，星期一三、幂级数的性质1.四则运算性质其中设有幂级数与，它们的收敛半径分别为与，记，且.则(1)(2)第23页，共56页，2023年，2月20日，星期一说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是第24页，共56页，2023年，2月20日，星期一2.幂级数的和函数的分析性质(4.8)性质1幂级数的和函数在其收敛域I上连续.即有或(4.7)性质2幂级数的和函数在其收敛域上可积，并且可以逐项积分，即有逐项求极限第25页，共56页，2023年，2月20日，星期一性质3幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并且可以逐项求导，即有并且逐项求积或逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径.(4.9)反复应用上述结论可得，幂级数的和函数在其收敛区间内具有任意阶导数.你发现这三条性质的条件有什么不同吗？逐项求极限、逐项积分是在收敛域I上；而逐项求导限制在收敛域区间(-R,R)内.第26页，共56页，2023年，2月20日，星期一例1.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,第27页，共56页，2023年，2月20日，星期一例2.

求级数的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,第28页，共56页，2023年，2月20日，星期一因此由和函数的连续性得:而及第29页，共56页，2023年，2月20日，星期一解:

级数的收敛半径R＝+∞.例3.则故有故得的和函数.因此得设第30页，共56页，2023年，2月20日，星期一例4.解:

设则第31页，共56页，2023年，2月20日，星期一而故第32页，共56页，2023年，2月20日，星期一内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.第33页，共56页，2023年，2月20日，星期一第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数

第十一章第34页，共56页，2023年，2月20日，星期一一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项

.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n

阶泰勒公式

,该邻域内有:第35页，共56页，2023年，2月20日，星期一为f(x)

的泰勒级数

.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,第36页，共56页，2023年，2月20日，星期一定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有第37页，共56页，2023年，2月20日，星期一定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.第38页，共56页，2023年，2月20日，星期一二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开第39页，共56页，2023年，2月20日，星期一例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x

,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数第40页，共56页，2023年，2月20日，星期一例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足第41页，共56页，2023年，2月20日，星期一类似可推出:(见P281页)第42页，共56页，2023年，2月20日，星期一例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,第43页，共56页，2023年，2月20日，星期一推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为第44页，共56页，2023年，2月20日，星期一称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m

为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得第45页，共56页，2023年，2月20日，星期一对应的二项展开式分别为第46页，共56页，2023年，2月20日，星期一2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.第47页，共56页，2023年，2月20日，星期一例5.

将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1