医用物理学陈仲本第六章课后习题答案

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第六章磁场

通过复习后，应当:

1.把握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律;

2.理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、自感现象;

3.了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。

6-1一个半径为0.2m、阻值为200Ω的圆形电流回路，接12V的电压，求回路中心处的磁感应强度。

解:已知半径r=0.2m，电源电压U=12V，圆形回路的电阻R=200Ω，根据欧姆定律，可求得回路的电流为

I=U/R=12/200A=0.06A

由圆形电流磁场公式，可得回路中心处的磁感应强度为

4??10?7?0.06B??T?1.88?10?7T

2r2?0.2?0I

6-2一根长直导线上载有电流100A，把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离。

解:长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周边总有一点A，其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。

已知I=100A，B=50G=5.0×10T，根据长直载流导线磁场公式B?-3

?0I，可得A2?a点离导线的距离a为

?0I4??10?7?100a??m?4.0?10?3m?4.0mm?32?B2??5.0?10

6-30.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14Ω，欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏?

-1-2

解:已知螺线管单位长度上的线圈匝数n=100/0.4=250匝·米，B=200G=2×10T，根据螺线管电流磁场公式B=μ0nI，可得螺线管通过的电流为

B2?10?222I??A??10A?63.7A?7?0n4??10?250?已知线圈电阻R=3.14Ω，根据欧姆定律可计算出需加的外电压为U=IR=2/π×102×3.14V=200V

6-4一平面上有两个同心的圆形回路，用一致电动势的电池（内阻忽略不计），通过相

-6

反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.7×10

Ω·cm，内圆用铝线，电阻率为2.8×10Ω·cm，这些导线的截面积一致，外圆直径为200cm，求内圆的直径。

解:设外圆和内圆的半径分别为r1、r2，则外圆和内圆的导线长分别为L1=2πr1，L2=2πr2；它们的电阻率分别为ρ1、ρ2，已知两导线截面积一致，设为S，则由电阻公式可得两圆导线电阻R1和R2分别为

R1=ρ1L1/S=2πr1ρ1/SR2=2πr2ρ2/S

由于两圆导线上加的电压一致，设为U，则它们通过的电流分别为

I1=U/R1=US/(2πr1ρ1)I2=US/(2πr2ρ2)

由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1和B2分别为

?I??USUSB1?01?0??02

2r12r12?r1?14?r1?1?I?USB2?02?02

2r24?r2?2由于圆心处的磁感强度为零，故B1与B2方向相反、大小相等，即B1=B2，则由上面两式可

得

-6

?0US?0US?4?r12?14?r22?2-6

1r12?1?1r22?2

-6

又知r1=1/2×200cm=100cm，ρ1=1.7×10Ω·cm，ρ2=2.8×10Ω·cm，则由上式可得内圆半径为

?1r121.7?10?6?1002r2??cm?78cm?6?22.8?10由此可得内圆的直径为

d=2r2=2×78cm=156cm

6-5电流I=20A，流过半径R2=0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，

-3

细导线的半径R1=1.0×10m，筒的长度为l=20m。求：①筒中离轴线0.02m处P点的B值；②筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）。

IIR2

QPrPCPCQQ

r′

II

习题6-5附图（a）习题6-5附图（b）

解:①由于筒长20m，远大于0.02m和0.10m，故可看作成无限长。如附图所示，在垂

直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP，作为积分回路，由于磁场方向与圆CP的切线方向一致，故θ=0°，cosθ=1，且由于对称分布，在圆CP上B值四处一致，应用安培环路定理得

?CPBcos?dl??0?IB·2πr=μ0I

-7

-1

已知r=0.02m，I=20A，μ0=4π×10T·m·A，则由上式得

?0I4??10?7?20B??T?2?10?4T

2?r2??0.02②同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ，作为积分闭合回路，由安培环

路定理得

?CQBcos?dl??0?I??0(I轴?I筒)?0

故筒外Q点的B=0。

6-6一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见此题附图），求圆心处的磁感应强度。

解:由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2的矢量和。先探讨直线电流产生的磁场B1。由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢

?0Idlsin??0，故B1=0。24?r再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I'=I/2。在上圆弧A点取一电流元I'dl。在下圆弧

I′I′dl对应的A'点也同样取电流元I'dl（见附图）。由毕奥-AR萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心O处产生的磁

场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），OI因此两段圆弧产生的磁场恰好相互抵消，由于圆弧电

A′路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁

I′感应强度也恰好相互抵消，因此B2=0。

由上面的探讨可知，圆心处的磁感应强度为零。习题6-6附图

6-7假使一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否确定这个区域中没有磁场?为什么?

答:运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBsinθ。可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角θ有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，θ=0°或θ=180°，F=0，电子将不受力。所以当电子不偏转时，不能确定这个区域中没有磁场。

6-8一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，假使有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动?假使一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何?

答:它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。由于它们的速度大小一致，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时针方向运动，另一个是顺时针方向运动。假使一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦

径r在一条直线上，sinα=0，由毕奥-萨伐尔定律知dB?兹力相等，方向一致，它们作同方向、同半径、同周期的圆周运动。

-1

6-9一个典型的氢离子（质子）在室温下的速度为300m·s，假使地磁场是1G，那么作用在氢离子上的最大磁场力是多少?

-19-1-4

解:已知q=1.6×10C，v=300m·s，B=1G=10T，由洛伦兹力公式F=qvBsinθ可知，在q、v、B一定的状况下，当θ=π/2时，F最大，这时离子受到的最大磁场力为

Fmax=qvB=1.6×10-19×300×10-4N=4.8×10-21N

6-10彼此相距10cm的三根平行长直导线，各通有10A同方向的电流，试求各导线上每1cm上所受的作用力的大小和方向。

解:彼此相距10cm的A、C、D三根平行导线不在一个平面内，其水平俯视投影图为边长0.1m的等边三角形，如此题附图所示。各导线的电流I=10A，且方向一致，假设电流方向指向纸里（即三导线均垂直于纸面）。

先来探讨导线A所受的力和方向。长直载流导线产生的磁感应线是以导线为中心的一些同心圆，C导线在A导线处产生的磁感应强度B1，应垂直于CA边，D导线在A处产生的磁感应强度B2，应垂直于DA边。根据长直电流磁场公式，B1和B2大小相等，其数值均为

?0I4??10?7?10B1?B2??T?2?10?5T

2?a2??0.1由附图等边三角形的几何关系可知，B1和B2的夹角α=60°，其合磁场B的方向平行于底

边CD，大小为

2B?B12?B2?2B1B2cos??B11?1?2cos??2?10?52?2cos600T?23?10?5T

导线A所受的力，用安培力公式（F=IBLsinθ）计算，由于合磁感应强度与A导线垂直，θ=π/2，所以A导线1cm（0.01m）长度上所受的力为

B2A60°AB1BF1=BIL=23×10-5×10×0.01N≈3.46×10-6N

如附图所示，F1的方向指向三角形的重心。同理，可0.1m0.1mF1求得C、D导线所受力的大小等于F1，方向也是指向重

F2F3心。假使三条导线中，有一条导线的电流方向与另外

两条导线电流方向相反，结果又是怎样?请读者自行分

CD0.1m析。

习题6-10附图

6-11电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度与哪些因素有关?其方向如何确定?

?Idlsin?答:根据毕奥-萨伐尔定律dB?0可知，电流元Idl在空间某点产生的磁感应

4?r2强度dB与Idl成正比，与dl和r之间小于180°的夹角α的正弦成正比，与Idl到该点

的距离r平方成反比。

其方向由右手螺旋法则确定，拇指与四指垂直，四指从Idl经小于180°的角转向r时，则伸直拇指所指的方向即代表dB的方向。

-3

6-12在利用磁场聚焦中，电子在B=2×10T的磁场中沿半径为2cm的螺旋线运动，

螺距为5cm，求电子的速度。

-3-2-31-19

解:已知B=2×10T，h=5cm=5×10m，m=9.1×10kg，q=1.6×10C，根据磁场聚焦的螺距公式h=2πmvcosθ/(qB)可得

vcosθ=qBh/(2πm)=(1.6×10-19×2×10-3×5×10-2)/(2×3.14×9.1×10-31)m·s-1

6-1

≈2.8×10m·s

6-1

在磁场聚焦中，θ一般都比较小，vcosθ≈v，即电子的速度v≈2.8×10m·s。

7-1

6-13有一均匀磁场，B=200G，方向垂直于纸面向里，电子的速度为10m·s，方向平行纸面向上，假使要保持电子作匀速直线运动，应加多大的电场，其指向什么方向?

解:由题意可知，电子将受到一个向右的洛伦兹力作用，要想让电子作匀速直线运动（其运动方向与电流方向相反），可加一向右的电场，使之对电子产生一个方向向左的电场力F2=Eq，其大小等于向右的洛伦兹力F1=qvB，即

Eq=qvB已知B=200G=2×10T，v=10m·s，由上式可得电场强度为

E=vB=107×2×10-2N·C-1=2×105N·C-1

6-14把厚度为1.0mm的铜片放于B=1.5T的磁场中，磁场垂直通过铜片，假使铜片载

28-3

有200A的电流，已知铜的电子密度n=8.4×10m，求：①铜片上下两侧的霍尔电势差；②铜片的霍尔系数。

-3

解:①已知d=1mm=10m，B=1.5T，I=200A，根据霍尔电势差公式得

U=kIB/d=(7.44×10-11×200×1.5)/10-3V=2.23×10-5V=22.3μV

可见，铜的霍尔电势差很小，主要是由于铜的电子数密度大，导致霍尔系数很小。

-1928-3

②已知电子的电量q=1.6×10C，铜的电子数密度n=8.4×10m，代入霍尔系数公式得

28-193-1-113-1

k=1/(nq)=1/(8.4×10×1.6×10)m·C=7.44×10m·C

6-15有三种不同材料的导电薄片，它们的载流子浓度之比为1∶2∶3，厚度之比为1∶2∶3，当通过它们的电流一致，垂直于它们的磁场B也一致时，求它们的霍尔电势差之比。

解:根据霍尔电势差公式U?1?IB，可得三种材料的霍尔电势差之比为

nqd-2

7

-1

U1:U2:U3?I1B1I2B2I3B3::n1qd1n2qd2n3qd3已知I1=I2=I3，B1=B2=B3，n1∶n2∶n3=1∶2∶3，d1∶d2∶d3=1∶2∶3，代入上式得

U1∶U2∶U3=1∶1∶1

94

6-16把直径为0.5cm的血管放在电磁流量计的磁极N、S之间，B=300G，测得感应电

-5

压为1.5×10V，求:①血管中血流的平均速度;②血流以平均速度滚动时的血流量。

-3-5-2

解:①已知D=0.5cm=5×10m，U=1.5×10V，B=300G=3×10T，代入电磁流量法的血流平均速度公式得

U1.5?10?5v??m?s?1?0.1m?s?1?3?2DB5?10?3?10

②血流量Q应等于v与血管横截面积S之积，即

3.14?(5?10?3)23?1Q?v?S?v??0.1?m?s44?1.96?10?6m3?s?1?1.96mL?s?1

6-17一半圆形闭合线圈，半径R=10cm，通以电流I=10A，放在B=5000G的均匀磁场中，磁场方向（假设向右）与线圈平面平行，求线圈所受的力矩大小和方向。

BBMII

F1n-F21-2F11F22

n-题6-17附-I

I

M

习题6-17附图（a）习题6-17附图（b）

解:设线圈平面处于垂直平面内，线圈中的电流方向为顺时针方向，由于磁场方向（假设向右）与线圈平面平行，所以线圈法线方向垂直于纸面，指向纸里，与磁场方向的夹角θ=3π/2（即sinθ=-1）。已知R=10cm=0.1m，I=10A，B=5000G=0.5T，由载流线圈力矩公式可得

?D2M=IBS·sinθ=［10×0.5×1×3.14×(0.1)2×(-1)］N·m=-7.85×10-2N·m

2力矩M的方向向下，力矩M将使线圈按顺时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。

若电流方向为逆时针方向，这时线圈法线方向仍垂直于纸面，但指向纸外，力矩M的大小不变，方向向上，M将使线圈沿逆时针方向转动，使线圈法线方向与磁场方向一致。

假使磁场方向向左，线圈又是怎样旋转?请读者自己分析。

6-18有一边长为20cm的正方形线圈，共10匝，通过的电流为100mA，置于B=1.5T的均匀磁场之中，求：①该线圈的磁矩；②所受到的最大力矩；③当所受力矩最小时，线圈磁矩方向与磁场方向的夹角。

-22

解:①已知S=20cm×20cm=4.0×10m，N=10，I=100mA=0.1A，根据磁矩公式可得正方形线圈的磁矩为

Pm=NIS=10×0.1×4.0×10-2A·m2=4.0×10-2A·m2

②已知B=1.5T，由力矩公式M=Pm·Bsinθ可知，最大力矩为（这时sinθ=1）

M=Pm·B=4.0×10-2×1.5N·m=6.0×10-2N·m

③由力矩公式M=P·Bsinθ可知，当θ=0时，M=0，此时力矩最小，线圈磁矩的方向即线圈法线方向与磁场方向一致，或者说线圈平面垂直于磁场方向。

6-19一根导线长为L，载有电流I，把导线绕成N匝圆形线圈，并置于磁感应强度为

B的匀强磁场中，求证：当线圈只有一匝时，它受的力矩最大，且等于

12

LIB。4?证明:已知导线长度为L，绕成N匝圆形线圈，设其半径为R，则有

N·2πR=LR=

由此可得该圆形线圈的面积为

L2?NL2L2)?S=πR=π(22?N4?N2

由载流线圈的力矩公式可得

L2IBL2M=NIBS·sinθ=NIB··sinθ=sinθ

4?N4?N2从上式可知，在L、I、B一定，且θ=π/2时，只有当N=1，力矩M才最大，其值为

Mmax=

12

LIB4?证毕。

-3-24-1

6-20电量为-10C，质量为10kg的带电粒子，沿X方向以10m·s的速度进入B为2T的磁场，磁场的方向垂直于XY平面并指向纸面向里，求：①磁场对带电粒子作用力的大小和方向；②带电粒子作圆周运动时产生的磁矩大小和方向；③带电粒的动能是否会发生变化?

-3-24-1

解:①已知q=－10C，m=10kg，v=10m·s，B=2T，sinθ=1，则由洛伦兹力公式可计算出带电粒子所受磁场力的大小

F=qvB=10-3×104×2=20N

该带电粒子受力方向向下，即Y的负方向（由于是负电荷）。

②带电粒子在磁场中作圆周运动，旋转一周所需的时间T=运动的等效电流为

2?m，则该带电粒子作圆周qBqBq2BI=q/T=·q=

2?m2?m该圆周的半径R=mv/(qB)，则其面积为

m2v2S=πR=π22

qB2

由磁矩公式可得该运动电荷的磁矩为

q2Bm2v2mv210?2?(104)2A?m?2.5×105A·mPm=IS=·22==

2?mqB2B2?2在此题的条件下，负电荷在洛伦兹力作用下沿顺时针方向作圆周运动，故等效电流方向为逆

时针方向，根据右手螺旋法则，磁矩方向应垂直于纸面向外。

③由于洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向，而不改变其速度的大小，所以粒子的动能不会变化。

6-21根据原子和分子的微观结构，解释物质为什么具有磁性?答:组成物质的分子和原子中的每一个电子都同时参与两种运动，即环绕原子核的轨道运动和绕其自身轴的自旋运动。两种运动都会形成磁矩，对外产生一定的磁效应，所以物质都具有磁性。

6-22就磁性而言，物质可分为哪三类?它们被磁化后的附加磁场各有什么特点?答:就磁性而言，物质可分为顺磁质、抗磁质、铁磁质。顺磁质的附加磁场很微弱，与外磁场方向一致；抗磁质的附加磁场也很微弱，与外磁场方向相反;铁磁质的附加磁场与外磁场方向一致，它可以比外磁场大几十到几千倍。

6-23什么叫超导体、超导态、超导转变温度、迈斯纳效应?答:①具有电阻为零的导电特性的物质叫超导体。②物质处在电阻为零的状态叫超导态。

③电阻突然为零的温度叫超导转变温度，又叫临界温度。④超导体在超导状态时，不仅电阻为零，而且具有抗磁性，外界磁场不能渗入超导体内，这种现象称为迈斯纳效应。

6-24涡旋电场与静电场有何不同，你能仿照磁场写出涡旋电场的高斯定理吗?答:涡旋电场与静电场有两点区别：

①静电场是无旋场，电场线起于正电荷而终究负电荷；涡旋电场是有旋场，其电场线是无头无尾的连续闭合曲线。

②静电场是位场（无旋场），可以引入电势概念；涡旋电场是涡旋场（非位场），不能引入电势概念。由于涡旋电场的电场线是闭合曲线，假使在涡旋电场中做一闭合曲面，则由闭合曲面的一侧穿入的电场线必从曲面的另一侧穿出，设穿入的电通量为负，穿出的为正，则通过涡旋电场中任意闭合曲面的电通量为零，即E?dS?0。

S?6-25如下图，矩形线圈在长直载流导线周边分别作以下的运动，请判断哪些运动线圈内将产生感应电流，并标出其方向。①以速度v平动，方向分别沿导线方向，在纸面上靠近直导线，垂直纸面向纸内；②绕OO′轴转动。解:根据电磁感应定律，当通过一个闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变化时，回

路中就产生感应电流，且感应电流产生的磁场总要阻碍引起

Iv感应电流的磁通量的变化。

O′O①由长直载流导线周边磁场公式B=

?0I可知，当线圈以2?a速度v沿导线电流方向平动时，各处与载流导线距离a未改变因而通过矩形线圈的磁通量没有变化，线圈中无感应电流。

O′当线圈在纸面上靠近直导线时，磁场加强，磁通量增加，线圈中会产生一个顺时针方向滚动的感应电流;当线圈垂直纸

O′O×v面在向纸内运动时，远离载流导线，磁场减弱，磁通量减小，线圈会产生一个逆时针方向滚动的感应电流。

习题6-25附图②绕OO′轴转动时，虽然上、下两个矩形线圈所处的磁

场未改变，但由于正对磁场方向的有效面积发生变化，因此

当它们从平行于纸面转到垂直于纸面时，通过它们的磁通量不断减少，这时感应电流的方向为顺时针方向，而从垂直于纸面转到平行于纸面时，磁通量不断增加，这时感应电流的方向

v为逆时针方向。中间的矩形线圈转动时，由于正对磁场方向的有效面积变化以及相对于直导线的距离变化，所以通过它的磁通量发生了改变。当线圈从右边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流的方向为顺时针方向，而从垂直于纸面转到左边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。从左边平行于纸面转到垂直于纸面时，磁通量减小，感应电流为顺时针方向，而从垂直于纸面转到右边平行于纸面时，磁通量增加，感应电流为逆时针方向。

2

6-26长直螺线管长15cm，共绕120匝，截面积为4cm，内无铁心。①当电流在0.1s内自5A减少到0时，求螺线管两端的自感电动势；②若是通I=15sin100πt的交流电，则线圈中感应电动势的最大值是多少?

2-32

解:已知l=15cm=0.15m，N=120匝，S=40cm=4×10m，因管内无铁心，故螺线管内磁感应强度为

B=μ0nI=μ0

通过N匝线圈的磁链为

NIlN2IΦ=NBS=μ0S

l而Φ=LI，故

N21202-7-3-4

L=Φ/I=μ0S=4π×10××4×10H=4.8×10H

0.15l①当电流在0.1s内自5A减少到0时，螺线管两端的自感电动势为

ε

自

=－LdI0?5-4-2

=－4.8×10×V=2.4×10V

0.1dt②若是通过I=15sin100πt的交流电，则

ε

自

=－LdI=－L（1500π×cos100πt）dt当cos100πt=1时，线圈中感应电动势最大，其值为

-4

εmax=1500πL=1500×3.14×4.8×10V=2.3V

6-27如下图，在B=0.01T的磁场中，一长20cm的金属棒AB在垂直匀强磁场的平面

-1

上①以v=5cm·s的速度平动，求棒的两端A，B之间的感应电势差；②绕自身的中点O

-1

转动，转速为5r·s，求棒的两端A，B之间的感应电势差及一端A与中点O之间的感应电势差。

??解:已知B=0.01T，l=20cm=0.2m，且v⊥B

①当棒以如下图的方向，大小为v=5cm·s=0.05m·s的速度平动时，单位正电荷受到的洛仑兹力F=v×B与棒的段元dl（方向从A指向B）的夹角为θ，棒两端A、B间的感应电势差为

ε

AB