高一数学期末考试复习知识点

第第#页共20页--r12(答：飞)3.b在a上的投影为IbICOS0，它是一个实数，但不一定大于12(答：飞)已知1a\=3，IbI—5，且ab—12，则向量a在向量b上的投影为r.4.a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模1aI与b在a上的投影的积。―b<frrrrrr2rab，特别地,a2二a•arrrrrr2rab，特别地,a2二a•a—aa则：rr•a；当a与b反向时,；③非零向量a,b夹角0的计算公式：cos9②当a，b同向时，a•b=rrabrrrr:④Ia•bI<IaIIbI。如arrrr:④Ia•bI<IaIIbI。如a•b=—a•b—rralibi；⑴已知a—(九,2九)，b—(3九,2)，如果a与b的夹角为锐角，则九的取值范围是(答:"—4或九〉0且“1)；六.向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但r平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外，向量加法还u利用u三角形法则”：设AB—a，BC—b，那么向量AC叫做a与b的和，即a+b—AB+BC—AC；；uuurruuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则”：设AB—a,AC—b,那么a-b—AB-AC—CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意讪此处减向量与被减向量的起点相同。血uuruuu(luU化ur简uu：①AB+BC+CD—一；②AB—AD—DC—一③(AB—CD)-(AC—BD)—uuuruuurruuurruurruurr(答:①AD；@CB；®0)(2)若正方形ABCD的边长为1，AB—a,BC—b,AC—c，则Ia+b+cI=答：rr2.坐标运算：设a=(r,yi)，b=(x2,y2)，则:①向量的加减法运算：a土b=(xi土x2，y1土y丿。如121uuur2uuuruuur(1)已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP—AB+九AC(XeR)，则当九=____时，点p在第一、三象限的角平分线上1(答：2｝；uuuuuuuruuuuuu(2)已知作用在点A(l,l)的三个力F—(3,4),F=(2,—5),F=(3,1)，则合力F=F+F+F的123123终点坐标是实数与向量的积：Xa—X(实数与向量的积：Xa—X(x，y)—(Xx，九y)。1uuu1若A(x,y),B(x,y)，则AB—(x1122有向线段的终点坐标减去起点坐标。如uuur1uuu设A(2,3),B(—1,5)，且AC—3AB，AD—3AB,11—x,y—y212uuuruuu答：(9,1))1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的则C、D的坐标分别是（答：（1斗）,（-7,9））；rr平面向量数量积：a•b=x1x2+y1y2。如兀已知向量a=（sinx,cosx）,b=（sinx,sinx）,c=（—1,0），若x=_，求向量a、c的夹角;r（答：（1斗）,（-7,9））；rr平面向量数量积：a•b=x1x2+y1y2。如兀已知向量a=（sinx,cosx）,b=（sinx,sinx）,c=（—1,0），若x=_，求向量a、c的夹角;rrr向量的模：IaI=Jx2+y2,a2=IaI2=x2+喘。如^已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么1a+3b1=两点间的距离：若A（x,yj，B（x,yJ,1122则IAB1=、(x2-yi七■向量的运算律r交换律1．2．结合律：3．分配律：rra+b=b+arrra+b+c=rrr(rr\rr(九+y)a=Xa+pa,九a+b丿=Xa+九b,(r)rrrrrXVga丿=(Xp)a,a•b=b•a；(rr)rrrrr(rr)(r)r(rr)r(r)a+b丿+c,a一b-c=a一U+c丿,0a^•b=XQ•b^=a•Eb丿;rrrrrr(rr)a+brrrrrr-21aI•丨bI+1bI2；④若b=0,则a=0或b=0；⑤若a•b=c•b,则a=c；rrra•bbrrrrrrrrrr⑦r:⑧（a•b）2=a2•b2‘⑨（a一b）2=a2一2a•b+b2。其中正确的是（答：①⑥⑨）a2a提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约—■—■—«■—n—n—•去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律即a（b•c）丰（a•b）c,为什么？八rrrrrrrr向量平行(共线)的充要条件：a〃boa=Xbrrrrrrrr向量平行(共线)的充要条件：a〃boa=Xbo(r-br=(|a11b|)2oxiy2—yix2=0。如若向量a=(x，l)，b=(4,x)，当x=时a与b共线且方向相同(答：2)；rrrrrrrr已知a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，则x=uuuruuuruuur设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k=rrrrrrrra丄boa•b=0oIa+b1=1a一bIrr答：4）；向量垂直的充要条件：oxx+yy=向量垂直的充要条件：uuuruuuruuuruuur(1)已知OA=(uuuruuuruuuruuur(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA丄OB，则m=3（答：）；（2）以原点0和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，则点b的坐标是（答：（1,3）或（3,-1））；（答:（b,-a）或（-b,a））rtrn=mur,则m的坐标是.rrur(3)已知n=(a,b),向量n丄m，且数列知识点总结一、等差数列与等比数列等差数列等比数列定义a—a=dn+1na—=q(q丰0)a通项公式a=a+(n—1)dn1a=aqn-1(q丰0)n1

递推公式a=a+d,a=a+(n—m)dnn-1nma=aqa=aqn-mnn—1nm中项a+方、、a+aA=推广：A二(n,k^22<eN+;n>k>0)G2—ab。推广：G=±Jaa(n,keN+;n〉k〉0)。任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个前n项和cnS二一(a+a)n21ncn(n-1)S=na+dn12a(1-qn)s二一1n1-q小a-aqs=——n-n1-q性质(1)若m+n=p+q，贝ya+a=a+a；(—i$minpq(2)数列纭X\aX\ai仍为等差数2n-12n2n+1列，s，ss，ss仍为等差数n2nn3n2n列，公差为n2d；(3)若三个成等差数列，可设为a-d,a，a+d若a，b是等差数列，且前n项和分别nnc〒as^为s，T，贝0-m——2m-1nnbT「、m2m-1la1为等差数列os—an2+bnnn(a，b为常数，是关于n的常数项为0的一次函数)a—ad-n(m丰n)m-n(7)d>0递增数列d<0递减数列d-0常数数列(1)若m+n—p+q，贝ya•a—a•amnpq(2)s，s-s，s-s……仍n2nn3n2n为等比数列,公比为qn二、求数列通项公式的方法1、通项公式法：等差数列、等比数列2、涉及前n项和S求通项公式，利用a与S的基本关系式来求。即TOC\o"1-5"\h\znnn例1、在数列｛a｝中，S表示其前n项和，且S二n2，求通项a.nnnn例2、在数列｛a｝中，S表示其前n项和，且S=2-3a，求通项annnnn3、已知递推公式，求通项公式。[S]=a、(n=1)\o"CurrentDocument"a=<11叠加法：递推关系式形如a-a=f(n)型"Kn-Sn-i(n-2)n+1n例3、已知数列｛a｝中，a=1,a-a=n，求通项a\o"CurrentDocument"n1n+1nn练习1、在数列｛a｝中，a=3，a=a+2n，求通项an1an+1nn叠乘法：递推关系式形如十二f(n)型a例4、在数列｛a｝中，a=1,a=a，求通项aTOC\o"1-5"\h\zn1n+1n+1nn练习2、在数列｛a｝中，a=3，a=a•2n，求通项an1n+1nn构造等比数列：递推关系式形如a=Aa+B(A,B均为常数，AM1,BM0)n+1n

例5、已知数列｛a｝满足a=4,a=3a-2，求通项an1nn-1n练习3、已知数列｛a｝满足a=3,a=2a+3，求通项an1n+1nn(4)倒数法，求数列的通项a，求数列的通项an例6、在数列｛a』中，已知ai=1,an+1=a+n2四、求数列的前n项和的方法1、利用常用求和公式求和：n(a+a)n(n-1)等差数列求和公式：S=+n=na+dn212等比数列求和公式：Sn等比数列求和公式：Snnai=<a(1-qn)a—aq—1=—1n—、1—q1—q(q=1)(q丰1)2、错位相减法：主要用于求数列｛a・b｝的前n项和，其中｛a｝、｛b｝分别是等差数列和nn2、错位相减法：主要用于求数列｛a・b｝的前n项和，其中｛a｝、｛b｝分别是等差数列和nnnn等比数列2462n.［例1］求数列牙，亍,，…,，…前n项的和.222232n［例2］求和：S—1+3x+5x2+7x3+•••+(2n—1)xn—1n3、倒序相加法：数列｛a｝的第m项与倒数第m项的和相等。即：na+a—a+a=K—a+a1n2n—1mn—m+1［例4］函数f(x)对任xeR都有f(x)+f6—x)：1_2，求:［例3］求sin2lo+sin22。+sin23。卜sin28&+sin289。的值f+A+f4、分组求和法：主要用于求数列何+"｝的前n项和，其中叫｝、｛b｝分别是等差数列和n等比数列1111［例5］求数列：1+亍2+才3+§,A,n+,A的前n项和2482n［例6］求和：-1)+(2-2)+(3—3)+A+(n—n)5、裂项相消法：通项分解111(1)a———nn(n+1)nn+12)n(n+k)knn+k3)an3)an=、n+1mvn+1+、n4)an=—(蓄n+k—、：n)<n+k+、nk[例7]在数列｛an｝中,12[例7]在数列｛an｝中,a=——+——+A+——-，又b二，求数列