高一下学期数学(人教版必修4)第二章章末综合检测

AA.(2,7)B.(2,AA.(2,7)B.(2,章末综合检测y(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB+AC-BC+BA化简后等于()B.ABA．3B.ABC.BAD.C.BA解析：选B.原式=(AB+BA)+(AC-Bc)=(AB-AB')+(AC+CB')=0+AB=AB,故选B.2.已知i=(l,0),，/=(0,1),则与2i+3/垂直的向量是()B.-2i＋3jDB.-2i＋3jD.2i-3jC.-3i＋2j解析：选C.2i+3j=(2,3),C中-3i+2j=(-3,2).因为2x(-3)+3x2=0,所以2i+3j与-3i＋2j垂直．下列说法正确的是()A.两个单位向量的数量积为1若a・b=a・c,且a^O,则b—cAB=()A-(JB若b丄c,^\(a+c)^b=a^b解析：选D.A中，两向量的夹角不确定，故A错；B中，若alb,a丄c,b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为AB=OB-(Oa,故C错；D中，因为b丄c,所以bc=0,所以(a+c)b=a・b+c・b=a・b,故D正确.TOC\o"1-5"\h\z已知向量a—(1,1),b—(2,x),若a+b与4b—2a平行，则实数x的值是()A.-2B.0C.1D.2解析：选D.因为a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由于a+b与4b-2a平行，得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.已知两个非零向量a,b满足la+bl—la—bl,则下面结论正确的是()A.a〃bB.albC.lal—lblD.a+b—a—b解析：选B.因为la+bl=la-blo(a+b)2=(a-b)2oa・b=0,所以alb,选B.已知向量a—(3,4),b—(—3,1),a与b的夹角为0,则tan0等于()11a.3B.-3C.3D.—3解析：选D.由题意，得a・b=3x(-3)+4x1=-5,lal=5,lbl=I远，a・b-51则cos0=丽=顾=一而.•/0G[0,n],.°.sin0=\<1-cos20=7.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(—1,—2),C(3,1),且BC—2AD，则顶点D的坐标为()C．(3，2)解析：选A.设DC．(3，2)解析：选A.设D(x,y),D．(1，3)则BC=(4,3),AD=(x,y—2).又BC=2AD,鼻=2x,故[3=2(y—2)x=2,解得’7卜=2.8•两个大小相等的共点力巧，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N,则当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A.40NB.10违NC.20迈ND^^N解析：选B.对于两个大小相等的共点力F],F，当它们的夹角为90°，合力的大小为20N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10\：2N;当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10-应N.A，B，C，D为平面上四个互异点，的形状是()A.直角三角形B.C.等腰直角三角形D.且满足(DB+DC—2DA).(AB—AC)=0,则oabc等腰三角形等边三角形解析：选b.t(DB+DC-2DA)・(AB-AC)=(DB—DA+DC—DA)・(AB—AC)------=(AB+AC).(AB—AC)=AB2—AC2=0,.•・iAbi=iAci,.・.aabc为等腰三角形.在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A,B,C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数久，使得(-c=a(-a+(1—X)(-b成立，此时称实数久为“向量OC关于OA和OB的终点共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(—1,3),且向量方3与向量a=(1，1)垂直，贝『'向量0?3关于O-]和方2的终点共线分解系数”为()A.—3B.3C.1DC.1解析：选D.设OP3=(x,y),则由O?3丄a知x+y=0,于是OP3=(x,—x),设O-3=aO-1+(1—A)Op2,(x,—x)=A(3,1)+(1-久)(-1,3),.••久=-1.二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中横线上)已知点A(—1,—5),a=(2,3),若AB=3a，则点B的坐标为解析：设B(x,y),(x+1,y+5)=3(2,3),x+1=6,、yx+1=6,、y+5=9,

答案：(5,x=5,

解得｛[y=4.4)12.设e1，e2是两个不共线的向量,e1+2e2，即e1+2e2=Aa+〃b，贝1」久+〃=—3竹+4勺,b=e1—2e2.若以a,b为基底表示向量解析得e1：由a=3e1+4e2,b=e1—=la+lb，詁2e2,11l=|./.e1+2e2=2a—Jb,即久+〃11l=|...x=答案：5向量a=(l,2),〃=(—1,m),向量a,b在直线y=x+l上的投影相等，则向量b解析：直线y=x解析：直线y=x+1的方向向量为c=(1,-1+m,解得m=4,所以b=(-1,4).答案：(—1,4)1),a-cb-c则可知订=百’贝Ua*c=b・c.所以1+2=如图所示，在正方形ABCD中，已知届1=2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则AB.AB.AN的最大值是解析：•.•AB・AN=ABi・ANi・cosZban,iANtcosZban表示AN在AB方向上的投影.又ABi=2,.・.AB・AN的最大值是4.答案：415.设向量a,b满足：lal=3,lbl=4,a・b=0,以a,b,a—b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为.解析：由题意可知该三角形为直角三角形,其内切圆半径恰好为1,它与半径为1的圆最多有4个交点.答案：4三、解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知lal=4,lbl=3,(2a—3b)・(2a+b)=61.求la+bl；求向量a在向量a+b方向上的投影.解：(1)T(2a-3b)・(2a+b)=61,.•・4la|2—4a・b—3lbP=61.•.•|al=4,lbl=3,.・・a・b=—6..•la+bl=pal2+Ibl2+2a・b=：J42+32+2x(—6)=冷13.10=1^13汩=13(2)•a(a+b)=lal2+a^b=42—6=10.a・(10=1^13汩=13•••向量a在向量a+b方向上的投影为:~la+bl17.已知向量a与b的夹角为Q,ai=2,Ibl=p3.⑴当a〃b时，求(a—b)・(a+2b)的值；⑵当Q=~6时，求I2a—bl+(a+b)(a—b)的值;⑶定义ab=lal2—：'3a*b,若ab^7,求Q的取值范围.解：(1)：°a〃b,.cosQ=±1.•(a—b)・(a+2b)=lal2+a・b—2lbl2=—2+2\；3cosQ=—2±2\/3.

(2)Vl2a-b|2=4la|2-4a-b+lb|2=16-4x2x\hxcos普+3=31,.・l2a-bl=V31,又(a+b)・(a-b)=lal2-lbl2=1,/.l2a-bl+(a+b)・(a-b)=V31+1.(3)*/ab=lal2-3a・b=4-,,，3x2^；r3cos匪7,.cos3<-2，又0丘又0丘[0,n],.•・呻普,n].18.在"AB的边OA,OB上分别有一点P,Q,已知OP:PA=1:2,OQ:QB=3:2,连接AQ,BP,设它们交于点R若OA=a,OB=b.用a与b表示OR若lal=1,lbl=2,a与b夹角为60°,过R作RH丄AB交AB于点H,用a,b表示OH.解：(1OQ=|b,由A,R,Q三点共线，可<AR=mAQ.故OR=OA+AR=a+mAQ=a+m(OQ-OA)=a+m(|b-a)=(1-m)a+|mb.同理，由B,R,P三点共线，可设BR=nBP.故OR=OB+BR=b+n(OP-<OB)=na+(1-n)b.3<由于a与b<由于a与b不共线,则有1_m=3,l|m=1-n,<解得

m=2,61

s=2・OR=活+2b.(2)由A,H,B三点共线，可设B&=%BA,则OH=Aa+(1-A)b,RH=OH-(OR=(A-1)a+(|-久)b.又RH丄AB,.・.RH・AB=o..[(久-6)a+(|-久)b].(b-a)=0.=lallblcos60°=1,1-2=1-2=/.dH=2«+|b.19•已知a=(2+sinx,1),b=(2,—2),c=(sinx—3,1),d=(l,k)(x^R,k^R).nn若xU[—2，2〕，且a〃(b+c),求x的值；若函数fx)=a・b，求fx)的最小值；是否存在实数k和x,使得(a+d)丄(b+c)?若存在，求出k的取值范围；若不存在,请说明理由.解：(1)Tb+c=(sinx-1,-1),又a〃(b+c),-(2+sinx)=sinx-1,即sinx=-2>nn又nn又兀丘［-2，2〕，n6.°：a=(2+sinx,1),b=(2,-2),「•fx)=a*b=2(2+sinx)-2=2sinx+2.又xUR,.••当sinx=-1时，fx)有最小值，且最小值为0.a+J=(3+sinx,1+k),b+c=(sinx-1,-1),若(a+d)丄(b+c),则(a+J)・(b+c)=0,即(3+sinx)(sinx-1)-(1+k)=0,「k=sin2x+2sinx-4=(sinx+1)2-5.由sinxU[-1,1],得sinx+1U[0,2],.「(sinx+1)2U[0,4],故ku[-5,-1].「・存在ku[-5,-1],使得(a+d)丄(b+c).20．在平面直角坐标系中,A(1,1)、B(2,3)、C(s,t)、P(x,y),△ABC是等腰直角三角形,B为直角顶点．(1)求点C(s,t)；(2)设点C(s,t)是第一象限的点，若AP=AB-mAC,mUR，贝I」m为何值时，点P在第二象限？解：(1)由已知得AB丄BC,「・AB・BC=O.:AB=(2,3)-(1,1)=(1,2),BC=(s,t)-(2,3)=(s-2,t-3),.「(1,2)・(s-2,t-3)=0,即s+2t-8=0.①又lABl=lBCl,即V5=\：(s-2)2+(t-3)2,即s2+