人教版高中数学必修1第三章《几类不同增长的函数模型》教案1

本文格式为Word版，下载可任意编辑——人教版高中数学必修1第三章《几类不同增长的函数模型》教案13.2函数模型及其应用

3.2.1几类不同增长的函数模型

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．

三维目标

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．

3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．重点难点

教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．

教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时

教学过程

第1课时

：林大华

导入新课

思路1．(事例导入)

一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？

解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝2m.

可能同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2．(直接导入)

请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．

推进新课新知探究提出问题

(1)假使张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．(2)正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．

(3)某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．

(4)分别用表格、图象表示上述函数．(5)指出它们属于哪种函数模型．(6)探讨它们的单调性．(7)比较它们的增长差异．

(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关．

活动：先让学生动手做题后再回复，经教师提醒、点拨，对回复正确的学生及时表扬，对回复不确凿的学生提醒引导考虑问题的思路．

(1)总价等于单价与数量的积．(2)面积等于边长的平方．

(3)由特别到一般，先求出经过1年、2年?(4)列表画出函数图象．

(5)引导学生回忆学过的函数模型．

(6)结合函数表格与图象探讨它们的单调性．(7)让学生自己比较并体会．

(8)其他与对数函数有关的函数模型．探讨结果：(1)y＝x.(2)y＝x2.

(3)y＝(1＋5%)x.(4)如下表x123123y＝x2149y＝xx1.051.101.16y＝(1＋5%)它们的图象分别为图1，图2，图3.44161.2255251.2866361.34

图1图2图3

(5)它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．

(6)从表格和图象得出它们都为增函数．

(7)在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．

(8)另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．应用例如

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？

活动：学生先思考或探讨，再回复．教师根据实际，可以提醒引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长状况，为选择投资方案提供依据．

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可

－

以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长状况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长状况.方案一方案二方案三x/天y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.2

64006074007084008094009010400100????30400300再作出三个函数的图象(图4)．1010101010?1012.825.651.2102.4204.8?214748364.86.412.825.651.2102.4?107374182.4图4

由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长状况很不一致．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长〞，其“增长量〞是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．

下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：

因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．

针对上例可以思考下面问题：

①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样的结论．

答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数．②让我们体会每天回报数的增长变化．

③上述例子只是一种假想状况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.

变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通〞使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行〞不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用一致；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化状况，为选择哪种通讯提供依据．(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回复；(4)求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．(2)图象如图5所示．图5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费一致．(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．另解：当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；10001000当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝.显然375＞，33∴选用“全球通〞更合算．点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个鼓舞销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

活动：学生先思考或探讨，再回复．教师根据实际，可以提醒引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观测函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．

解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图6)．

图6

观测函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

下面通过计算确认上述判断．

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0

满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，ylog7x＋1是否有＝≤0.25成立．

xx

图7

令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此

f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

log7x＋1

所以当x∈[10,1000]时，＜0.25.

x

说明按模型y