苏州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析数学试卷（试题卷)一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1。复数（2‒i)i（i是虚数单位）的虚部是（）A。2i B.2 C。1+2i D.‒2【答案】B【解析】【分析】化简复数即得复数的虚部.【详解】由题得，所以复数的虚部为2.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题。2.有三对师徒共6个人,站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（)A。72种 B。48种 C.54种 D。8种【答案】B【解析】【分析】因为每对师徒必须相邻，所以，三对师徒进行捆绑，则有，捆绑后再次进行排列，则有种组合拍列，所以,每对师徒相邻的站法共有种【详解】由题意得每对师徒相邻的站法共有故选：B【点睛】本题考查排列组合中的相邻问题，属于简单题3。已知随机变量服从正态分布，若，则等于（)A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】根据正态密度曲线的对称性得出，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量服从正态分布，则，故选C.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率,解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4。从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（）A.40 B.50 C.60 D。70【答案】D【解析】【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解.【详解】根据题意，可分为2种情况,①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有种不同的取法；②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有种不同的取法,由分类计数原理，可得不同的取法共有种。故选：D.【点睛】本题主要考查了分类计数原理,以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.函数的单调递减区间为（)A. B。C。 D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域,解导数小于0的不等式，即可得答案。【详解】∵函数的定义域为，且，令，解得,∴函数的单调递减区间为.故选C.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，求解时注意定义域优先法则的运用。6.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，。附表：0。0500。0100.0013.8416。63510。828参照附表，得到的正确结论是（）A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”;C。有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关";D。有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．【答案】C【解析】【分析】根据给定的的值，结合附表,即可得到结论.【详解】由，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关。故选：C。【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中正确理解附表中数据的意义是解答本题的关键，属于基础题。7.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，），则P(ξ≤3）等于（）A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】由及二项分布的概率公式即可求解。【详解】.故选:A【点睛】本题考查二项分布及其概率求解，属于基础题。8.已知，若,则（)A。－32 B。1 C。32 D.1或－32【答案】B【解析】【分析】由求出a，再利用赋值法令代入等式即可得解.【详解】由题意知，,令得.故选：B【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数、赋值法求二项式系数和，属于基础题.二、多项选择题（本大题共有4小题,每题5分，共20分）9.在5件产品中,有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为的事件是（)A.至多一件一等品 B。至少一件一等品C.至多一件二等品 D。至少一件二等品【答案】AD【解析】【分析】从5件产品中任取2件，有种结果，至多一件一等品有种情况，至少一件一等品有种情况，至多一件二等品有种情况，至少一件二等品有种情况,结合古典概型概率计算公式可得结果【详解】从5件产品中任取2件，共有种结果，∵“任取的2件产品至多一件一等品”有种情况,其概率是,故A正确;“任取的2件产品中至少一件一等品"有种情况，其概率是，故B错误;“任取的2件产品中至多一件二等品”有种情况，其概率是,故C错误;“任取的2件产品在至少一件二等品"有种情况，其概率是,故D正确；故选：AD。【点睛】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦,属于中档题。10。定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项。【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减,在区间上,，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选:ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题11.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A。某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确；对于B，用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则，，，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确;对于C，设“从甲袋中取到白球"为事件A，则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则，故取到同色球的概率为,故C正确；对于D，易得，即,即∴,又，∴,∴,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积，考查独立事件，熟练掌握概率的求解公式是解题关键12。已知函数,则下列结论正确的是（）A。函数存在两个不同的零点B。函数既存在极大值又存在极小值C.当时,方程有且只有两个实根D。若时，，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项。【详解】A。，解得，所以A正确；B。，当时，,当时，或是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确。C.当时,,根据B可知,函数的最小值是，再根据单调性可知，当时,方程有且只有两个实根，所以C正确；

D。由图像可知，的最大值是2，所以不正确。故选A,B，C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0,判断零点两侧的正负，得到函数的单调性,本题易错的地方是是函数的单调递减区间,但当时，，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题（本大题共有4小题，每题5分,共20分)13。已知复数满足，其中是虚数单位,则_____________．【答案】【解析】复数z满足z（1＋i）＝i，所以。所以.故答案为.14.的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．【答案】15【解析】∵二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，，

则展开式中的通项公式为．

令，求得,故展开式中的常数项为，

故答案为15.15.将A，B，C，D四个小球放入编号为1,2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．【答案】30【解析】【分析】先假设可放入一个盒里，那么方法有种,减去在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果．【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球,先假设可放入一个盒里,那么方法有。再减去在一起的情况,就是种．把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有种．∴根据分步计数原理知共有种．故选：C．【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法．16。设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值,再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解【详解】设，，由题设可知存在唯一的整数,使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时,，,故当且,解之得故答案为：．【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想,属于难题四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.已知函数,在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．求实数的值和切线的方程．【答案】，.【解析】【分析】求得，根据题意可知方程只有一个实数解，可知二次函数的最小值为，求得实数的值及对应的的值，可得出切点的坐标，利用点斜式可得出切线的方程。【详解】因为，所以。由题意可知，方程有两个相等的实根．则，又，，解得，则，所以切点坐标为，因此，切线的方程为，即。【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题。18。设.已知。（1)求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；(2）—32.【解析】【分析】（1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值,然后求解关于的方程可得的值；（2）解法一：利用（1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a，b的值,然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2)由(1)知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二:．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力。19。某设备的使用时间x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计数据:使用时间x/年23456维修费用y/万元2。23.85。56.57.0若由数据知x与y具有线性相关关系。（1)试求线性回归方程；（2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少？参考公式：线性回归方程中，【答案】（1）;(2)使用年限为10年时的维修费用是12.38万元.【解析】【分析】（1)根据所给数据，求出的平均数，再由公式计算出即得；（2）将代入（1)中的线性回归方程，即得维修费用的估计值.【详解】(1）由题得，，，则，，故线性回归方程为。（2）由(1）知线性回归方程为，当时,(万元),即使用年限为10年时，估计维修费用是万元。【点睛】本题考查求线性回归方程，以及它的应用，解题关键是掌握线性回归方程的求法，难度不大。20。已知函数f(x)＝(a≠0)．（1）当a＝－1,b＝0时，求函数f(x)的极值；（2）当b＝1时,若函数f（x)没有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）极小值为，无极大值；(2).【解析】【分析】（1）当时,求得函数的导数,利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义,即可求解；（2）把函数没有零点，转化为方程ax－a＋ex＝0无实根,令，利用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1)当时，函数，则，当时，单调递减;当时，单调递增．所以的极小值为，无极大值．（2）当时，函数，因为函数没有零点，即方程无实根，即ax－a＋ex＝0无实根，令，则，若时，则在R上单调递增，此时存在，使得，不合题意；若时,令,即，得;令，得,所以当，函数取得最小值，最小值为，要使得函数没有零点，则满足,即，解得,综上所述，实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数,应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力。21.经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买商品的概率分别为，，，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买两种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求的分布列．【答案】（1);(2)见解析。【解析】【分析】（1)由题意和概率的乘法公式可得进而可求购买两种商品的概率。（2）由题意知列出的可能取值,再求出每种取值下的概率。【详解】解:(1）由题意知,至少购买一件的概率为，所以一件都不买的概率为。①.因为最多购买两件商品的概率为所以三件都买的概率为。即②.联立①②解得或。因为，所以。(2）。由题意知.则,，则的分布列为051015【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了相互独立事件的概率.对于列分布列的问题,在写出分布列后，可将得到的概率加起来，判断是否为1，从而可以检验自己的计算有没有出错。22。已知函数，.（1)若,则,满足什么条件时,曲线与在处总有相同的切线？（2）当时，求函数的单调减区间；（3）当时，若对任